如何選擇參數與消去參數求軌跡方程
2012-04-29 00:00:00李杰
數學學習與研究 2012年3期
【摘要】本文對如何選擇參數與消去參數求軌跡方程的一般規律和常用方法進行了初步探索，以培養學生分析問題和解決問題的能力
【關鍵詞】軌跡方程；選擇參數；消去參數
參數方程在建立軌跡方程、計算有關幾何量、證明幾何量之間的關系、研究曲線的性態等方面應用較廣.學生在學習中常感到參數難選又難消.因此，掌握選擇參數的一般規律和消去參數的一般方法，對培養學生分析問題和解決問題的能力很有益處，本文僅對選擇參數與消去參數求軌跡方程做初步探索.
為建立參數方程x=f(t)，y=φ(t)(t為參數)，應選影響動點成跡，起制約作用的那些關鍵量作為參數，如角度、點、斜率、截距、長度等等.具體怎樣選擇要根據題給條件，結合圖形特點進行.
根據問題的需要往往要消去參數.消參的方法常用代入法、加減法、乘除法、平方法，特別要注意三角中的同角關系式、一元二次方程根的判別式和韋達定理的應用，要善于聯合使用上述各種方法.
圖 1
例1 如圖1，圓x2+y2=a2交x軸正向于A點，BC平行OA，當B點在圓內y軸正向上運動時，求AB，OC交點P的軌跡方程.
分析1 設∠AOC=α，如果α變化，OC，OB也隨著變化，因此它們的交點P也隨著變化，如設法把P點坐標用α表示就可以了.
解法1 取∠AOC=α0≤α≤π2為參數，設點的坐標為P（x，y），則x=OPcosα，y=OPsinα.
∵△OAP∽△CBP，∴OPPC=OABC.
即OPa-OP=aacosα，解得OP=a1+cosα.
∴x=a1+cosα，y=asinα1+cosα.（1）（2）
由（1）解出cosα，并應用sin2α+cos2α=1，代入（2）式的平方中，便消去α，得y2=a(a-2x)，其中0≤x≤a2，0≤y≤a(所求軌跡為拋物線在上述范圍內部分).
分析2 因P點隨B點的變化而變化，故可設B（0，y0），取y0為參數.
解法2 設B點坐標為B（0，y0），y0為參數.由于OC=a，則C(a2-y20，y0).又設P（x，y）為AB，OC的交點，于是
y=y0a2-y20x，0≤y0≤a，
xa+yy0=1.(1)(2)
由（2）解出y0，代入（1）中，便消去y0，得y2=a(a-2x)，其中0≤x≤a2，0≤y≤a.
分析3 因為P點隨C點的變化而變化，故可設C（x0，y0），取x0，y0為參數.
解法3 設C點坐標為（x0，y0），其中x0，y0為參數.
∵kOC=kOP，∴y0x0=yx.（1）
∵kAP=kAB，∴ya-x=y0a.（2）
又 C點在弧AD上，∴x20+y20=a2.(3)
用代入法解（1），（2），（3）組成的方程組，消去x0，y0，得y2=a(a-2x)，其中0≤x≤a2，0≤y≤a.
由解法1我們可以看到，如有關線段可構成直角三角形，用三角函數容易表示出各有關線段時，可選角為參數.
解法2、解法3都是選點為參數，解法2選一個參數，解法3選兩個參數.如果點在某已知曲線上，或影響、制約動點的關鍵點為垂足、中點、定比分點、切點等，可選點作為參數.
利用參數求軌跡方程時，未知數個數（包括參數）必須比方程個數多一個，這樣才能消掉參數.
以上三種解法中，都用到代入法消參，解法1中還用到了三角中同角關系式消參.
圖 2
例2 如圖2，過焦點引拋物線各切線的垂線，求垂足的軌跡方程.
分析 由題給垂直條件，如設拋物線切線斜率為k，那么過焦點與這切線垂直的直線斜率也可表出，垂足隨k的變化而變化.
解 設拋物線為y2=2px，則焦點為FP2，0.選切線的斜率k為參數（k≠0），建立切線PT、垂線EP的方程：
y=kx+p2k，（1）
y=-1kx-p2，（2）
即y=-1k+p2k.（3）
（1）-（3），得x=0，所求軌跡方程為x=0（軌跡為y軸）.
由例2知，在求交點所成軌跡時，如有兩直線垂直相交的條件，或形成交跡的直線方程易于用斜截式、點斜式表示，可考慮設斜率為參數.
根據（1），（3）兩端有相同項的特點，用加減法消去了參數k.
圖 3
例3 圖3在矩形ABCD中，EF∥AB，MN∥AD，當EF不動，而MN平行移動時，求EN與MN交點的軌跡方程.
分析 P點隨AM變化而變化的，故可選|AM|=t為參數.
解 選|AM|=t（t＞0）為參數，設|AB|=a，|AD|=b，|AE|=c，A，B，C，D，E，F及M，N各點的坐標如圖，又設MF與EN的交點為P（x，y），建立EN，MF的方程：
y=b-ctx+c，（1）
y=ca-t(x-t).（2）
解（1），（2）組成的方程組，得
x=cac-ab+bt，(3)
y=bac-ab+bt.(4)
(4)÷(3)，得yx=ba，即所求的軌跡方程為y=bax（軌跡為通過原點的直線在第一象限部分）.
由（3）可知，如果動點坐標可由某線段長度表出，或形成交跡的直線方程易于用斜截式、點斜式、截距式表出，可選長度為參數.
根據（3），（4）右端分子含t，分母相同，左端不含t的特點，用乘除法消去了參數t.
例4 求橢圓4x2+y2=4的互相垂直的兩切線交點的軌跡方程.
分析 由題給垂直條件，可考慮選直線斜率k為參數，又由相切條件，應注意判別式的應用.
解 設P（x′，y′）是橢圓的互相垂直的兩切線交點，則過P點的切線方程為y-y′=k(x-x′)，其中k為參數.
由方程組4x2+y2=4，y-y′=k(x-x′)，(1)(2)
消去y，得
（k2+4）x2+2k(y-kx′)x-(y-kx′)2-4=0.
由相切條件知，
Δ=4k2(y′-kx′)2-4(k2+4)［(y′-kx′)2-4］=0，
即(x′2-1)k2-2x′y′k+y′2-4=0，此方程兩根k1，k2分別是兩切線的斜率.
又 k1k2=-1，則y′2-4x′2-1=-1，即x′2+y′2=5.
例4先用代入法消去了y，又用Δ=0，消去了x，最后用韋達定理消去了參數k.
在解析幾何中，涉及直線與曲線位置關系時，常用根的判別式；涉及一元二次方程根的問題時，往往不求出根，而用韋達定理進行計算.
【參考文獻】
中學數學教材實驗研究組.坐標系與參數方程.北京：人民教育出版社，2007.
