怎樣講好“充要條件”這一概念

在中學數學教學中，有一個很重要概念——充要條件，它是學生們學習中的一個難點，往往學過以后還不能真正理解、分清，不能正確判斷出充分條件、必要條件和充要條件，給以后的學習帶來許多不便.

在實際教學中，我謹以自己的理解和教學體會得出一點看法，供大家參考.

我們知道命題都由條件和結論兩部分組成，而數學命題的條件和結論之間都有某種聯系，這就是充分條件、必要條件和充要條件問題.

為了使學員們能在參閱書本，認真領會的基礎上，輕松地、有規律地認識清楚，現就此變換一下說法，來分清充分條件、必要條件和充要條件的關系.

1充分條件、必要條件和充要條件

用A，B分別表示命題的條件和結論.

（1）如果A成立，那么B成立（A→B），則A是B成立的充分條件；

（2）如果B成立，那么A成立（B→A），則A是B成立的必要條件；

（3）如果A→B且B→A，則A是B成立的充要條件.

注意 （1）充分有“足夠”的意思，即要有B，有條件A就足夠了；

（2）必要條件是結論成立“必不可少”的條件；

（3）A是B的充要條件，同樣B也是A的充要條件.

以上這些是教材所給的，難就難在對“足夠了”“必不可少的”這些詞語的真正理解，使學生的學習存在不少障礙.

2如何判斷一個條件是結論成立的什么條件

我們知道判斷的方法，不外乎分三個步驟：

第一步：找出題中所說的條件、結論各是哪一部分，分別用A，B表示；

第二步：試一試能否有A→B成立或B→A成立；

第三步：根據定義判斷出它們各是什么條件.

綜合上述1，2，我們知道這些與教材是相吻合的，在分析這些知識時，我把判斷方法總結為以下幾個步驟，結果在教學中得到了事半功倍的效果，學員們都覺得易懂且易掌握.

①先搞清討論的問題：什么（A）是什么（B）的什么條件.

分清以后，創造一個命題：條件A，結論B，并視為一個原命題；

②判斷這個原命題及其逆命題的成立性；

③若原命題成立，則原命題的條件（A）是結論（B）成立的充分條件；

若其逆命題成立，則原命題的條件（A）是結論（B）成立的必要條件；

若原命題、逆命題均成立，則原命題的條件（A）是結論（B）成立的充要條件.

④若在判斷原命題、逆命題的成立性有困難時，則注意轉化引用等價命題判斷其成立性來解決.

例 （1）“x=y”是“x2=y2”的什么條件？

（2）“x≠y”是“x2≠y2”的什么條件？

（3）“x≠y”是“x2=y2”的什么條件？

（4）“x=±y”是“x2=y2”的什么條件？

解 （1）組織一個原命題：如果“x=y”，那么“x2=y2”.

其逆命題：如果“x2=y2”，那么“x=y”.

顯然易得：原命題成立，而逆命題不成立.

故“x=y”是“x2=y2”的充分條件，但不是必要條件，即充分但不必要條件.

（2）創造一個原命題：如果“x≠y”，那么“x2≠y2”.

其逆命題：如果“x2≠y2”，那么“x≠y”.

在判斷其原命題、逆命題時比較困難，此時就要運用其等價命題來解決：

原命題的等價命題=其逆否命題：如果“x2=y2”，那么“x=y”.

其逆命題的等價命題=其否命題：如果“x=y”，那么“x2=y2”.

這樣，我們很容易知道：其逆否命題不成立，即原命題不成立；其否命題成立，即其逆命題成立.

故“x≠y”是“x2≠y2”的不充分條件，但是必要條件，即必要但不充分條件.

（3）創造一個原命題：如果“x≠y”，那么“x2=y2”.

其逆命題：如果“x2=y2”，那么“x≠y”.

顯然易得：原命題不一定成立，而逆命題也不一定成立.

故“x≠y”不一定是“x2=y2”的充分條件，也不一定是“x2=y2”的必要條件，即不是充分條件也不是必要條件.

（4）組織一個原命題：如果“x=±y”，那么“x2=y2”.

其逆命題：如果“x2=y2”，那么“x=±y”.

顯然易得：原命題成立，而逆命題也成立.

故“x=±y”是“x2=y2”的充分條件，也是必要條件，即充分必要條件，亦即充要條件.

以上這一問題的提法，是我在近幾年實際教學工作中總結出的一看法，在教學中學生們也對此有更深的理解，現提出來供同行們討論，希望同行們能提出一點善意的寶貴意見，以供大家共同提高，謝謝了！