巧求空間角

眾所周知，高中立體幾何中空間角有:線線角、線面角、二面角.其求法較復(fù)雜，也較靈活.如二面角的基本求法就有:定義法、垂面法、三垂線法、射影面積法、向量法.在求角的過程中，如果能結(jié)合圖形的特征，靈活巧妙地運用一些結(jié)論，就可以巧求空間角.

一、巧用三余弦公式

三余弦公式簡介：如圖，PO⊥α，則有cos∠PAB=cos∠PAO#8226;cos∠BAO.

注意 ∠PAB是直線PA與平面α內(nèi)的直線AB所成的角，∠PAO是直線和平面α所成的角，∠BAO是直線PA在平面α上的射影OA與平面α內(nèi)直線AB所成的角.

例1 (2009年全國卷Ⅰ理科)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為( ).

A34

B54

C74

D34

解 設(shè)BC的中點為D，連接A1D，AD，易知θ=∠A1AB，即為異面直線AB與CC1所成的角，由三余弦定理，易知cosθ=cos∠A1AD#8226;cos∠DAB=ADA1A#8226;ADAB=34.故選D.

例2 ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ是從點Ｐ出發(fā)的三條射線，每兩條的夾角為６０°，求直線ＰＣ與面ＡＰＢ所成的角.

解 如圖，過點Ｃ作ＣＥ⊥面ＡＰＢ于Ｅ，由題意可證得，ＰＣ在面ＡＰＢ上的射影ＰＥ為∠ＡＰＢ的角平分線，所以∠ＥＰＡ＝∠ＥＰＢ＝３０°.

由三余弦公式，可得

cos∠CPA＝cos∠ＣＰＥ#8226;cos∠ＥＰＡ＝cos60°cos30°＝33.

故線ＰＣ與面ＰＡＢ所成的角的余弦值等于33.

點評 以上兩題求角的關(guān)鍵是:正確地找出三余弦公式中的三條特征直線，從而求出三個特征角，代入公式快速求解.

二、巧用法向量

向量法是在建立空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，以向量為工具，通過空間向量的數(shù)量積計算角，思路簡便，化證為算.缺點是計算量較大，尤其是法向量的計算.如果綜合幾何法與向量法的優(yōu)點，巧用法向量就能快速求角.

例3 正方體ABCD-A1B1C1D1的截面A1B1CD和截面AB1C所成的二面角的大小是( ).

A45°

B60°

Carccos63

Darccos62

解 由正方體的性質(zhì)，得BC1⊥平面A1B1CD，BD1⊥平面AB1C.故BC1，BD1分別是平面A1B1CD與平面AB1C的法向量，它們的夾角∠C1BD1就是截面AB1C和截面A1B1CD所成二面角的平面角.

設(shè)正方體棱長為1，Rt△C1BD1中，易知

cos∠C1BD1＝BC1BD1＝23＝63.故選C.

點評 尋找兩截面的垂線(即平面的法向量所在直線)，把求二面角的大小轉(zhuǎn)化成求法向量的夾角，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想.求角時，直接解直角三角形，快速、準(zhǔn)確.從而避免了求法向量的繁雜計算.

例4 （2009年江蘇卷文科）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以BD的中點為球心、BD為直徑的球面交PD于點M.（1）求證：平面ABM⊥平面PCD.（2）求直線PC與平面ABM所成的角.

解 （1）只需證ＰＤ⊥平面ＡＢＭ.(略)

（２）由（1）知：PD為平面ＡＢＭ的法向量，故直線ＰC與平面ABM所成的角的余角就是ＰC與ＰＤ所成的角即∠CＰD，易求:PD＝42，PC＝6.

Rt△CＰD中，cos∠CＰD＝PDPC＝426＝223.

故所求角為arcsin223.

點評 第二問求線面角時，充分利用了第一問的結(jié)論，把求線面角的問題轉(zhuǎn)化成求法向量的夾角，值得同學(xué)們學(xué)習(xí).