淺談導數在求函數最值中的應用
2012-04-29 00:00:00顏世芹
數學學習與研究 2012年3期
【摘要】函數是中學數學的重要知識點，掌握函數最值的求法對解決數學問題有極大的幫助.而解此類題最重要的手段就是通過求導來解決，文章列舉了導數在求函數最值中的多種運用.
【關鍵詞】函數最值；函數單調性；函數思想；等價轉化思想；求導
求函數最值是歷年高考考查的重要內容，它除了在函數綜合題中經常出現，還常出現在其他類型題中，如平面幾何、立體幾何的綜合題中，在實際問題中考查最值也是常見考題，而解此類題最重要的手段就是通過求導來解決，現對導數在求最值時的應用小結如下：
應用一 求簡單函數的最值
若函數y=f(x)在［a，b］上連續，在(a，b)內可導，在［a，b］內必有最大值與最小值，此類問題只要通過求導數，列表求極值，再將所求極值與兩端點處函數值f(a)，f(b)進行比較就可最終確定下來最大值、最小值了.
例1 求函數f(x)=12x+sinx在區間［0，2π］上的最大值與最小值.
解 f′(x)=12+cosx，
令f′(x)=0，解得x1=23π，x2=43π.
列表：
x00，23π23π23π，43π43π43π，2π2π
f(x)0π3+3223π-32π
從表可知，函數f(x)的最大值是π，最小值是0.通過本例可見，此類題求解的關鍵是一定要將極值與端點處所對應的函數值進行比較，從而最終確定最大值、最小值.
應用二 利用導數求較復雜的函數最值問題
解決此類問題一般要運用等價轉化思想、換元等思想，將復雜的函數最值問題轉化為較簡單的函數最值問題來求解.
例2 已知x，y為正實數，且滿足x2-2x+4y2=0，求xy的最大值.
分析 本題中有兩個變量，屬于條件最值問題，可將xy轉化為某一變量的函數，再利用導數求函數的最大值即可.
解 4y2=2x-x2.
∵y>0，∴y=122x-x2，xy=12x#8226;2x-x2.
由x>02x-x2≥00 設f(x)=12x2x-x2(0 當0 令f′(x)=0，得x=32或x=0（舍去）. 當x在(0，2］內變化時，f′(x)，f(x)有如下變化情況： ∴當x=32時，f(x)的極大值為383，亦即xy的最大值為383. 另外，此題亦可運用換元法轉化為三角函數解決，但無論用什么方法都要注意在轉化過程中變量的取值范圍，必須滿足題設條件. 應用三 利用導數求解與最值有關的證明問題 此類問題一般是不等式的證明問題，通常將不等式問題轉化為求函數最大值與最小值來求解，在此類題中函數思想、轉化與化歸思想等在其中都有體現. 例3 求證：lnx+1x-12(x-1)2≥1+23(1-x)3. 分析 要證lnx+1x-12(x-1)2≥1+23(1-x)3， 只需證lnx+1x-12(x-1)2-1-23(1-x)3≥0(x>0)， 成立即可，而要證明lnx+1x-12(x-1)2-1+23(1-x)3≥0成立，只需令f(x)=lnx+1x-12(x-1)2-1+23(x-1)3，求f(x)在(0，+∞)上的最小值即可. 證明 設f′(x)=1x-1x2-(x-1)+2(x-1)2=(x-1)3#8226;2x+1x2. 令f′(x)=0，結合x>0，得x=1. 當0 所以f(x)在（0，1）上為減函數，在(1，+∞)上為增函數，所以當x=1時，f(x)取最小值f(1)=1，從而當x>0時，f(x)≥1恒成立. 即lnx+1x-12(x-1)2≥1+23(1-x)3成立. 綜上可見，與函數最值有關的問題雖然形式多樣，但只要運用求導的思想，所有問題都可以迎刃而解.
