“由果索因”攻破立幾難關

【摘要】無論是普通高中還是職業學校，數學難是學生的一個普遍的心聲.立體幾何更是困擾學生學好數學的一個方面.遇到一個題目，找不清條件和結論的遠近關系，不知如何下手，使學生對數學望而卻步.怎樣降低學習數學的難度，使學生由“不喜歡學”轉化為“主動學”，由“要我學”轉化為“我要學”，是每個數學教師都應該思考的問題.其實數學只要找對方法，就能找到思路，題目就能迎刃而解.正難則反，我覺得使用逆向思維的“由果索因”方法從結論入手反方向去尋找可以得到結論的條件，不僅可以分清條件與結論的直接和間接的聯系，降低題目難度，還能使學生思路清晰，效果好.

【關鍵詞】課改；由果索因；逆向思維；轉化；因材施教

從教十年來，發現無論是在普通高中還是現在的職業學校，數學總是擺在學生面前讓人頭疼的一個科目.數學難是學生的一個普遍的心聲.特別是數學中的立體幾何這一塊內容，更是令學生聞之變色，望而卻步.其實立體幾何只要找對方法就能降低難度，輕松解決.幾年的摸索使我覺得用“由果索因”的方法處理立體幾何的證明問題可以讓學生思路清晰，步驟明確規范，效果好，關鍵是降低了他們對學習立體幾何的恐懼心理，提高了學好數學的自信心.

立體幾何證明題主要是利用已知條件和我們已經學習到的公理、定理、定義去證明幾何問題，而且要求證明過程有理有據（也就是說每得到一個結論都要有理論依據）.其實通過對大量學生的了解得知，除了一部分學生基礎知識不牢固以外，大部分學生對于題目所涉及的知識點已經掌握，定理、定義也已經記熟，問題是拿到一個立體幾何題目，他們不能或者不能很好地運用這些知識，沒有找到一條切實可行的解題思路，從而無從下手做題，一而再，再而三，形成了惡性循環，造成了學生學習立體幾何的恐懼心理，看見這樣的題目就自動放棄，失分嚴重，學生的成績越來越差.

我覺得學生之所以不會做立體幾何證明題目，關鍵是他們不會很好地甄別、篩選出和問題有關的條件，給出的已知條件也不知道怎么去用，其實這些給出的條件肯定和我們要證明的結論有著千絲萬縷的聯系，但是學生卻很難找到哪些條件和問題有著必然的聯系，當然也就看不出使用條件的先后順序，從而很難得到最后的解答，這也就是傳統意義上的解題方法“由因導果”.其實如果我們很難從有著千絲萬縷的聯系中找到和結論有必然聯系的直接條件，何不反過來，從問題入手，反方向尋找和問題有直接聯系的條件呢？這就是我今天要闡述的“由果索因”.

“由果索因”的方法其實是屬于逆向思維思考問題的一個具體表現，也是探究式教學模式的實際操作方法.它可以解決立體幾何的大部分證明題目.“由果索因”要求分析思考問題從結論入手，（１）要得到這個結論，需要什么樣的條件即可？（２）這個條件在已知條件中有沒有或者利用題目的已知條件能不能直接求得？（３）要是沒有這樣的條件，那么要得到這個條件又需要什么樣的條件即可？這樣的條件在已知條件中有沒有或者利用題目的已知條件能不能直接求得？（４）按上述步驟循環往復，直到所需要的條件在已知條件中可以找到或利用題目的已知條件可以直接求得為止.（５）按“由因導果”來書寫證明題步驟.下面就通過我在課堂上講解的一個典型例題來看這個方法在立體幾何證明題中的應用.

圖 1

例 如圖1所示，ABCD和ABEF是兩個全等的正方形，M，N分別是對角線AC，BF上的點，且AM=FN.若這兩個正方形不在同一個平面內，

求證：MN∥平面BCE.

分析過程：

師：題目要證明線面平行，那我們來想一下，只要有什么樣的條件就可以？

生1：只要有MN這條線和平面BCE內的一條線平行就可以了.

師：很好，他想利用線面平行的判定定理來完成這個題目.還有沒有其他條件也能滿足這個結論？

生2：如果知道MN所在的一個平面和平面BCE平行也能說明MN∥平面BCE.

師：也很好，他想利用面面平行的性質定理來完成這個題目.這有兩種思路，我們先來看第一種思路——證明兩直線平行.好，那題目的已知條件能不能找到？（沒有.）那要證明兩直線平行，只要有什么條件就能說明呢？

生3：三角形中有分線段對應成比例，兩直線平行.

生4：平行四邊形的對邊平行且相等.

師：都很好，又有了兩個思路，我們先看第一個思路.要想用對應成比例來證明平行，那首先要創建三角形，M，N作為三角形兩邊分線段的兩個點，三角形中和MN平行的邊應該在平面BCE內，滿足這些條件的三角形應該怎樣創建？

圖 2

生5：如圖2，連接AN交直線BE于P點，連接CP，構造△ACP.

師：哦，有了三角形了，現在怎么證明MN∥CP？題目中的條件能不能證明？

生6：只要能說明AM∶AC=AN∶AP就能證明.

師：那怎么證明這個對應成比例呢？已知條件中有沒有呢？或者可以利用已知條件可以證明呢？

生7：可以證明.因為AF∥BP，兩直線平行對應邊成比例，所以有AN∶AP=FN∶FB.又因為已知條件有AM=FN，BF=AC，從而就有AM∶AC=AN∶AP.

師：好了，我們已經知道由已知條件怎么證明了，注意：書寫過程應該和我們的分析過程倒過來，要“由因導果”.現在找一名同學在黑板上板書，其余同學在自己的練習本上書寫.（找學生板書，并規范步驟.）

生8：板書（簡略）.

師：剛才我們用三角形中對應成比例來證明平行.現在我們來看另一個證明線線平行的思路——利用構造MN作為邊的平行四邊形來證明平行.怎樣構建呢？

圖 3

生9：如圖3，在△BEF中，過點N作NG∥EF，NG交直線BE于G.在△ABC中，過點M作MH∥AB，MH交直線BC于H，連接GH，構造四邊形MNHG.

師：非常好，那么怎么證明這個四邊形是平行四邊形呢？那就要證明MH∥NG，MH=NG.(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形或兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.)

生9：在△BEF中，因為NG∥EF，所以有NG∶EF=BN∶BF.在△ABC中，因為MH∥AB，所以有MH∶AB=CM∶CA.由于AB∥EF，根據平行的傳遞性知道NG∥MH.又因為已知條件中AC=BF，AM=FN，所以CM=BN，AC=BF，AB=EF，從而得到NG=MH.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以MNGH是平行四邊形，MN∥GH.

師：那你在黑板上書寫步驟.

師：除了上述的兩個方法以外，我們最初分析時還有一個思路，就是通過面面平行來證明線面平行（若兩平面平行，其中一個平面內的任何一條線都和另一個平面平行）.找到M，N所在的一個平面，使其和平面BCE平行就能得到我們要證的結論.（思考）

師：那么怎么確定這個平面呢？我來提示：不共線三點確定一個平面，所以只需要找到一個點T就行了.這個點具備什么樣的特征呢？根據面面平行的判定定理（一個平面內的兩個相交直線分別平行于另外一個平面內的兩條直線，這樣的兩個平面平行），TM，TN要和平面BCE內的兩條直線能平行，這樣的點在哪呢？你能找到嗎？

圖 4

生10：如圖4，在△ABC內，過M點做MT∥BC且MT與AB交于T點，連接NT.△MNT是我們要找的平面.

師：怎么樣證明這兩個平面平行呢？

生10：在△ABC中，因為MT∥BC，所以有AM∶AC=AT∶AB.又因為AM=NF，AC=BF，因而在△ABF中有AT∶AB=NF∶BF，所以TN∥AF.又因為AF∥BE，根據平行的傳遞性知道TN∥BE.所以兩個平面平行.

師：好，板書步驟.

經過了一段時間的摸索，“由果索因”的教學方法使數學課堂有了可喜的變化：

1“由果索因”方法教學雖然“速度慢”但效益高.教學所關注的是學生參與學習活動的質量而不是追求練習題的數量，所以應該轉變傳統應試教學課堂中的題海戰術.利用這種方法學習是比較費時的，我們一節課通常只能研究一個例題（可以進行一題多變、一題多法），有時下課了還沒有研究結束，但學生的學習熱情很高，教學效果很好，有時甚至學生主動要求延長下課時間也要完成本節課的討論.因此，我覺得在教學中，應該多關注學生的探究問題過程和方法，激發學生的探究熱情，使學生終身受益.

2有利于培養學生數學的興趣和自信心，同時也讓課堂教學煥發出勃勃生機.以前上課都是老師提問題，學生回答問題，很被動，現在課堂很“熱鬧”，學生善于發現問題，勇于提出問題，并創造性的解決問題.經常是下課了還有很多學生緊追我不放，問個不停，師與生、生與生之間的合作性大大提高.教師教得輕松，學生學得愉快，學生在上課時可以自由地討論和發言，有什么想法都可以提出來，我也鼓勵我的學生這樣做，課堂氣氛寬松.

教師要注意發揮學生在教學中的主動性和創造性，引導學生從繼承性學習轉向到創新性學習，引導學生從自己的情感體驗出發去獲得獨特的感受、體驗和理解.只有這樣，學生才能在主動積極的思維活動中，加深理解和體驗，有所感悟和思考，不由自主地去學習、去鉆研、去體驗、去創造，而這些活動又必然會反過來促進數學教學的進一步發展和教學質量的提高.