平面向量基本定理的拓展及應用

【摘要】平面向量是高中數(shù)學的一個重要考點，特別是對平面向量基本定理的應用更是常考的內(nèi)容.該定理是聯(lián)系平面向量幾何運算和代數(shù)運算的紐帶，它能將平面圖形中任何向量表示為任意兩個不共線向量的線性組合，是進行向量幾何運算的基礎(chǔ)和重要途徑.本文意將該定理加以適當?shù)耐卣梗⒔Y(jié)合近幾年高考題型闡述它的應用，有利于學生深化對該定理的理解，也有利于學生系統(tǒng)、全面地理解和掌握平面向量相關(guān)的基礎(chǔ)知識.

【關(guān)鍵詞】平面向量基本定理；拓展；應用

在數(shù)學教學中，若能引導學生對教材中一些數(shù)學命題進行適當?shù)耐卣梗粌H能幫助學生鞏固、深化所學知識，揭示數(shù)學知識的內(nèi)在規(guī)律，使紛繁復雜的知識變得井然有序，形成一個系統(tǒng)，而且能培養(yǎng)學生深入細致地分析數(shù)學現(xiàn)象和積極主動地參與到數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程中的良好學習習慣.

一、平面向量的基本定理及拓展

1平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

注 (1)基底：不唯一，共面不共線；

(2)基底確定，對于平面內(nèi)的每個向量來說，實數(shù)對λ1，λ2的值唯一確定.

2平面向量基本定理的拓展

若OA，OB不共線，O為平面內(nèi)任一點，則A，B，P三點共線的充要條件是OP=λOA+μOB，其中λ，μ∈R且λ+μ=1.

證明 OP=λOA+μOB且λ+μ=1，

OP=λOA+(1-λ)#8226;OBOP-OB=λ(OA-OB)

BP=λBAA，B，P三點共線.

注 (1)條件OP=λOA+μOB且λ+μ=1也常寫成OP=λOA+(1-λ)OB的形式.

(2)當P是AB的中點時，λ=μ=12，即OP=12OA+12OB.

(3)由BP=λBA，∴|BP|=|λBA|，∴|λ|=|BP||BA|，

∴λ#8226;AP=μ#8226;PB，當且僅當P在線段AB內(nèi).

二、平面向量的基本定理及拓展應用

例1 (2007年全國卷Ⅱ)在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若AD=2DB，CD=13CA+λCB，則λ等于（ ）.

A23

B13

C-13

D-23

解析 由平面向量的基本定理的拓展，CA，CB不共線且A，D，B三點共線CD=13CA+λCB且13+λ=1，∴λ=23.答案：A.

例2 (2008年廣東數(shù)學理科高考)在ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若AC=a，BD=b，則AF等于（ ）.

A14a+12b

B23a+13b

C12a+14b

D13a+23b

解析 如右圖，過點A作向量AG=BD，則C，F(xiàn)，G三點共線.

由平面向量的基本定理的拓展，AF=λAC+μAG且λ+μ=1.

由已知，得DE=13EB.又△DEF∽△BEA，∴DF=13AB=13CD，∴FG=2CF，且λ#8226;CF=μ#8226;FG，∴λ=2μ，∴λ=23，μ=13，∴AF=23AC+13AG，即AF=23a+13b.答案：B.

例3 (2009年安徽高考)在ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點.若AC=λAE+μAF，其中λ，μ∈R，則λ+μ=.

解析 由已知，有AF=12AB+12AC，

AE=12AD+12AC.

又12AB+12AD=12AC，∴AE+AF=32AC，

即AC=23AE+23AF，∴λ+μ=43.答案：43.

例4 (2010年全國卷Ⅱ)△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB.若CB=a，CA=b，|a|=1，|b|=2，則CD等于（ ）.

A13a+23b

B23a+13b

C35a+45b

D45a+35b

解析 如圖所示，A，D，B三點共線，由平面向量的基本定理的拓展，CD=λCB+μCA，且λ+μ=1.

又 ∠1=∠2，∴|λCB|=|μCA|，

∴λ|CB|=μ|CA|，∴λ=2μ，

∴λ=23，μ=13，∴CD=23a+13b.答案：B

引導學生將平面向量基本定理進行拓展并自覺地在解決有關(guān)問題中加以應用，可以使學生將所學知識由“點”成“線”，再成“網(wǎng)”，分層次組成一個知識系統(tǒng)，從而改進和完善學生的認識結(jié)構(gòu)，也可使學生在解決一個問題時，能思考一類問題，達到舉一反三的功效，有利于提高學生的應變能力，也有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.

總之，對一些數(shù)學命題適當進行引申推廣，是一項富有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性的活動，它不僅有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力，而且對培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)和數(shù)學素質(zhì)起著不可低估的作用.