向量在平面幾何中的應(yīng)用

平面向量在平面幾何中的應(yīng)用，是以平面幾何的基本圖形（三角形、平行四邊形、梯形等）為背景，重點(diǎn)考查平面向量的幾何運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算和幾何圖形的性質(zhì).

例1 如圖所示，若點(diǎn)D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足AB2-AC2=BD2-CD2，求證：AD⊥BC.

分析 要證明AD⊥BC，只需證明AD⊥BC.通過(guò)向量的運(yùn)算求解本題.

證明 設(shè)AB=c，AC=b，AD=m，則

BD=AD-AB=m-c，CD=AD-AC=m-b.

∵AB2-AC2=BD2-CD2，

∴c2-b2=(m-c)2-(m-b)2.

化簡(jiǎn)，得2m#8226;(b-c)=0.

即AD#8226;(AC-AB)=0，∴AD#8226;BC=0，∴AD⊥BC.

方法技巧 一般情況下，用向量解決問(wèn)題時(shí)要用不共線向量表示題中的向量，再用向量的運(yùn)算法則和性質(zhì)解決問(wèn)題.

例2 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，求|PA+3PB|的最小值.

解析 方法一：設(shè)PD=x，CP=y，

由圖知PA=PD+DA，PB=PC+CB，

PA2=(PD+DA)2=PD2+2PD#8226;DA+DA2=x2+4，

同理PB2=y2+1，PA#8226;PB=xy+2，

|PA+3PB|2=PA2+6PA#8226;PB+9PB2

=x2+4+6(xy+2)+9(y2+1)

=x2+6xy+9y2+25

=(x+3y)2+25≥25，

∴|PA+3PB|的最小值為5.

方法二：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC所在的直線為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，且設(shè)DC=m，P(0，y)，則

PA+3PB=（-2，-y）+3(-1，m-y)=(-5，3m-4y)，

∴|PA+3PB|=52+(3m-4y)2≥5，

當(dāng)且僅當(dāng)y=3m4時(shí)取等號(hào)，

即|PA+3PB|的最小值為5.

例3 給定兩長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是什么？

方法一 設(shè)∠AOC=α，構(gòu)造方程組：

OC#8226;OA=xOA#8226;OA+yOB#8226;OA，

OC#8226;OB=xOA#8226;OB+yOB#8226;OB，

即cosα=x-12y，cos(120°-α)=-12x+y，

∴x+y=2sin(α+30°)≤2.

方法二 由OC=xOA+yOB，得

OC2=(xOA+yOB)2=x2OA2+2xyOA#8226;OB+OB2.

由|OA|=|OB|=1且OA和OB的夾角為120°，

∴1=x2-xy+y2

=(x+y)2-3xy≥(x+y)2-3#8226;(x+y)24

=(x+y)24，

從而有x+y≤2.

方法技巧 以上是考查向量與平面幾何等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解此類問(wèn)題，可通過(guò)建立坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角或代數(shù)問(wèn)題解決.

例4 在△ABC中，AB=3，AC=5，若O為△ABC的外心，則AO#8226;BC的值為.

解析 數(shù)形結(jié)合法.

如圖，EO為AB的垂直平分線，F(xiàn)O為AC的垂直平分線，則O為△ABC的外心，設(shè)∠EAO=β，∠FAO=γ，

則AO#8226;BC=AO#8226;(AC-AB)

=AO#8226;AC-AO#8226;AB

=|AO||AC|cosγ-|AO||AB|cosβ.

由圖知|AO|cosγ=AF=AC2，|AO|cosβ=AE=AB2，

∴AO#8226;BC=12AC2-12AB2=252-92=8.

由于向量具有代數(shù)形式和幾何形式雙重身份，特別是坐標(biāo)化以后，可以與解析幾何聯(lián)系，解題時(shí)思路清晰，有意想不到的神奇效果.