淺談幾何概型及其應(yīng)用

幾何概型，是新課改新增考查內(nèi)容之一.它以其形象直觀的特點倍受人們青睞，它又可以與定積分等知識緊密相聯(lián)系，以此為載體設(shè)計的試題情景新穎，還可以極大地提高學(xué)生接受信息、處理信息、創(chuàng)新探究的學(xué)習(xí)能力.

一、幾何概型的概念

如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.

二、幾何概型的基本特點

(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個.

(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

三、幾何概型概率計算公式

事件A發(fā)生概率P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）.

四、幾何概型的應(yīng)用

（一）與長度有關(guān)的幾何概型

1.如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為：

P(A)＝構(gòu)成事件A的區(qū)域長度試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度.

2.將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機(jī)會都一樣，而一個隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解.

例1 公共汽車在0～5分鐘內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)車站，求汽車在1～3分鐘之間到達(dá)的概率.

分析 將0～5分鐘這段時間看作是一段長度為5個單位長度的線段，則1～3分鐘是這一線段中的2個單位長度.

解 設(shè)“汽車在1～3分鐘之間到達(dá)”為事件A，則P(A)=3-15=25.

所以“汽車在1～3分鐘之間到達(dá)”的概率為25.

（二）與面積(或體積)有關(guān)的幾何概型

1.如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公式為：

P(A)＝構(gòu)成事件A的區(qū)域面積試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積.

2.“面積比”是求幾何概率的一種重要類型，也是在高考中常考的題型.

3.如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計算公式為：

P(A)＝構(gòu)成事件A的區(qū)域體積試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積.

例2 在線段［0，1］上任意投三個點，問由0至三點的三線段，能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個事件中哪一個事件的概率大？

解析 設(shè)0到三點的三線段長分別為x，y，z，即相應(yīng)的右端點坐標(biāo)為x，y，z，顯然0≤x，y，z≤1.這三條線段構(gòu)成三角形的充要條件是：

x+y>z，x+z>y，y+z>x.

在線段［0，1］上任意投三點x，y，z，與立方體0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1中的點(x，y，z)一一對應(yīng)，可見所求“構(gòu)成三角形”的概率等價于邊長為1的立方體T中均勻地擲點，而點落在x+y>z，x+z>y，y+z>x區(qū)域中的概率，這也就是落在圖中由△ADC，△ADB，△BDC，△AOC，△AOB，△BOC所圍成的區(qū)域G中的概率.

由于V(T)=1，V(G)=13-3×13×12×13=12，

∴p=V(G)V(T)=12.

由此得出能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大.

（三）綜合問題

隨著對幾何概型的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，幾何概型與二次方程、線性規(guī)劃、定積分、立體幾何、不等式等知識的綜合應(yīng)用將成為今后一個主要復(fù)習(xí)方向.

例3 隨機(jī)地取兩個正數(shù)x和y，這兩個數(shù)中的每一個都不超過1，試求x與y之和不超過1、積不小于0.09的概率.

解析 0≤x≤1，0≤y≤1，不等式確定平面域S.

A=‘x+y≤1，xy≥009’.

則A發(fā)生的充要條件為0≤x+y≤1，1≥xy≥009，不等式確定了S的子域A，

故P(A)=A的面積S的面積=∫09011-x-09xdx

=04-018ln3=02.

總之，幾何概型是高中的新生事物，在平時模擬試題中多有出現(xiàn)，試題難度以中低檔為主，在平時學(xué)習(xí)中應(yīng)注意不斷總結(jié)各種題型，同時注意與其他知識的綜合應(yīng)用以及在實際問題中的應(yīng)用，可以較好提高學(xué)生解決實際問題的能力.