由高中課本中的習題聯想到函數的凹凸性

大學知識點下放到高中是新課程中的一個特點，蘇教版將這些知識點的下放有的放于章節學習中，有的放于課后“探究拓展”中，雖沒有明確指出大學所講的嚴格定義，但從感性的角度給學生一個認識，對這些知識點的了解，有時對學生的思維拓展起到很好的作用.

如蘇教版必修1中就有這樣兩道思維拓展題：

1對于任意的x1，x2∈R，若函數f(x)=2x，試比較f(x1)+f(x2)2與fx1+x22的大小關系.

2對于任意的x1，x2∈(0，+∞)，若函數f(x)=lgx，試比較f(x1)+f(x2)2與fx1+x22的大小關系.

這兩道題的比較應該是比較簡單的，只需要將兩式作差即可，如下證明第一題：

f(x1)+f(x2)2-fx1+x22=2x1+2x22-2x1+x22-122x122+2x222-2#8226;2x1+x22=122x12-2x222≥0，所以，對于函數f(x)=2x，f(x1)+f(x2)2≥fx1+x22.

同理我們可以知道對于函數f(x)=lgx，則有f(x1)+f(x2)2≤fx1+x22.

我們的學生有可能做到這就結束了，沒有去反思為什么出現這樣的情況，其實這要從函數的凹凸性來說起.

什么叫函數的凸性呢？我們先以兩個具體函數為例，從直觀上看一看何謂函數的凸性.如函數y=x所表示的曲線是向上凸（即凹）的，而y=x2所表示的曲線是向下凸的，這與我們日常習慣上的稱呼是相類似的.或更準確地說：從幾何上看，若y=f(x)的圖形在區間I上是凸的，那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的上方；若y=f(x)的圖形在區間I上是凹的，那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的下方.

設函數f(x)在區間I上是凸的（向下凸），任意x1，x2∈I（x1

曲線y=f(x)上任意兩點A(x1，f(x1))，B(x1，f(x1))之間的圖像位于弦AB的下方，即任意x∈(x1，x2)，f(x)的值小于或等于弦AB在x點的函數值，弦AB的方程y=f(x2)-f(x1)x2-x1(x-x1)+f(x1).

對任意x∈(x1，x2)有f(x)≤f(x2)-f(x1)x2-x1(x-x1)+f(x1)，整理得f(x)≤x2-xx2-x1f(x1)+x-x1x2-x1f(x2).

令t=x2-xx2-x1，則有0

定義 設函數(x)為定義在區間I上的函數，若對I上任意兩數x1，x2和任意實數t∈(0，1)總有f［tx1+(1-t)x2］≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，則稱函數f(x)為I上的凸函數.反之，如果總有f［tx1+(1-t)x2］≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，則稱函數f(x)為I上的凹函數.

當令t=12時，就變成了我們前兩個問題的答案，所以，我們可以知道函數f(x)=2x在R上定凸的，而函數f(x)=lgx是凹的.

其實高中所學的好多函數都具有這樣的凹凸性，像我們所學的指數函數、對數函數、冪函數、三角函數在一定的區間上都有凹凸性，其實利用這些性質可以解決我們所熟悉的一些問題.像我們所學的基本不等式就可以用函數的凹凸性來構造函數證明.

例1 證明21x1+1x2≤x1x2≤x1+x22，x1>0，x2>0，當且僅當x1=x2時等號成立.

證明 當x1=x2時等號顯然成立.只需證x1≠x2時，不等號成立即可.

取f(x)=-lgx，則y=f(x)在(0，+∞)上是凸函數，

-lgx1+x22<-lgx1-lgx22=-lgx1x2.

因f(x)=-lgx單調減，故有x1x2

又將用1x代換x，得1x1#8226;1x2<1x1+1x22，

即21x1+1x2

也可以運用y=x2的凹凸性來證明.當x>0，y>0時，x2+y22≥x+y2，當且僅當x=y時等號成立.這種證明方法能夠培養學生的思維能力及構造函數的能力.

例2 已知a>0，b>0，a3+b3≤2，求證：a+b≤2.

解 在高中階段我們對這個式子的證明通常用反證法.

假設a+b>2，那么b>2-a，代入a3+b3>a3+(2-a)3=2［a2-a(2-a)+(2-a)2］=2(3a2-6a+4)=2［3(a-1)2+1］≥2.

所以出現矛盾，所以a+b≤2.

但如果運用函數的凹凸性，很快可以得出結論：

函數f(x)=x3在(0，+∞)內嚴格凸.

(a+b)38=a+b23=fa+b2≤f(a)+f(b)2=a3+b32≤22=1，∴(a+b)3≤8，∴a+b≤2.

函數凹凸性的定義本身就是一個不等式，所以在比較一些較難的代數式的大小時可以考慮構造函數運用函數的凹凸性來比較.同時可以將凹凸性的定義用特殊值代換，變為中點的形式來解決相關問題.