矩陣問題中的連續(xù)性推證

【摘要】本文主要借助于矩陣分析中矩陣序列連續(xù)性的概念，得到了連續(xù)性推證的思想，并利用這一思想，解決了一些矩陣問題中當(dāng)所涉及元素為零元素或矩陣為非奇異矩陣時(shí)的相關(guān)命題.

【關(guān)鍵詞】矩陣；連續(xù)性推證；慣性

【基金項(xiàng)目】河南省自然科學(xué)基金（072300440190）

一、預(yù)備知識(shí)

在文獻(xiàn)［1，2］中，都提到了如下定義和結(jié)論：

定義1 已知F為任意數(shù)域，對(duì)于矩陣序列A(k)=(a(k)ij)∈Mm，n(F)，k=1，2，…，如果limk→∞a(k)ij=aij，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n，則稱矩陣序列{A(k)}收斂于A=(aij)∈Mm，n(F)，或它有極限A，記作：A(k)→A(k→∞)或者limk→∞A(k)=A.

定理2 A(k)→A(k→∞)的充要條件是對(duì)于任意廣義矩陣范數(shù)‖#8226;‖，都有‖A(k)-A‖→0，(k→∞).

利用該定理和文獻(xiàn)［1］中P55引理2，我們可以得到許多很有意義的推論.

二、主要結(jié)果及應(yīng)用

定理3 如果對(duì)于矩陣A=(aij)∈Mn，n(F)，B=(bij)∈Mn，n(F)，令A(yù)(k)=A+εkB，這里ε為任意充分小量，limε→∞εk=0，則我們?nèi)匀挥衛(wèi)imk→∞a(k)ij=aij，i=1，2，…，m;j=1，2，…，n成立，此時(shí)對(duì)于矩陣范數(shù)‖#8226;‖，‖A(k)‖→‖A‖(k→∞).特別地，用ε替換εk時(shí)，可以得到：

定理4 如果對(duì)于矩陣A=(aij)∈Mn，n(F)，B=(bij)∈Mn，n(F)，令A(yù)(ε)=A+εB，這里ε為任意無窮小量，則A(ε)→A(k→∞)，且有|A(ε)|→|A|(ε→0).

我們稱定理4的思想為連續(xù)性推證(在有的文獻(xiàn)中也稱為攝動(dòng)法)，運(yùn)用該方法，在高等代數(shù)或線性代數(shù)特別是矩陣?yán)碚撝械男辛惺接?jì)算和矩陣問題分析方面，對(duì)于一些用代數(shù)辦法不易求解或者求解過程相當(dāng)繁瑣的問題，可以極為巧妙的解決.

命題1 設(shè)A，B，C，D都是n階矩陣，當(dāng)AC=CA時(shí)，證明:ABCD=|AD-CB|.

說明 對(duì)于該問題，一般情況下題目都要求|A|≠0，此時(shí)該問題容易求解，下邊我們給出當(dāng)矩陣A不可逆時(shí)該結(jié)論仍然成立的證明.

證明 如果A為可逆矩陣時(shí)，結(jié)論很容易給出證明.

當(dāng)|A|≠0時(shí)，因?yàn)镋n0-CA-1EnABCD=AB0D-CA-1B，所以ABCD=AB0D-CA-1B=|A||D-CA-1B|=|A(D-CA-1B)|=|AD-ACA-1B|=|AD-CB|，結(jié)論成立.

當(dāng)|A|=0時(shí)，令A(yù)(ε)=A+εE，這里E為n階單位矩陣，ε為充分小量，注意到矩陣A有有限個(gè)特征值，于是有無窮多個(gè)充分小的ε使|A(ε)|≠0，且A(ε)依然和C可交換，于是有A(ε)BCD=|A(ε)||D-CA(ε)-1B|=|A(ε)D-CB|.

由定理4，當(dāng)ε→0時(shí)，對(duì)上式兩端同時(shí)取極限后，結(jié)論成立.

注 本題中，若題設(shè)條件改為AB=BA，可以類似的證明ABCD=|DA-CB|.

命題2 設(shè)A，B∈Mn，n(F)，(n≥2)，證明:(AB)*=B*A*，這里A*表示A的伴隨矩陣，即A*A=AA*=|A|E.

證明 （1）當(dāng)A，B均可逆時(shí)，由(AB)*(AB)=|AB|E，得(AB)*=|AB|(AB)-1=|B|B-1×|A|A-1=B*A*.

（2）若A，B中至少有一個(gè)不可逆，令A(yù)(ε)=A+εE，B(ε)=B+εE，注意到矩陣A，B有有限個(gè)特征值，于是有無窮多個(gè)充分小的ε使|A(ε)|≠0，|B(ε)|≠0.

于是由（1），可得(A(ε)B(ε))*=B(ε)*A(ε)*.①

令(A(ε)B(ε))*=(fij(ε))n×n，B(ε)*A(ε)*=(gij(ε))n×n，由上式得

fij(ε)=gij(ε)(i，j=1，2，…，n).②

由于有無窮多個(gè)ε使①式成立，故有無窮多個(gè)ε使上式成立.但fij(ε)，gij(ε)都是ε的多項(xiàng)式，從而②式對(duì)一切ε都成立.

特別的，令ε=0，這時(shí)有(AB)*=(A(0)B(0))*=B(0)*A(0)*=B*A*，結(jié)論成立.

命題3 若n階Hermite矩陣A，B滿足B=S*AS和rank(A)=rank(B)，這里S∈Cn×n，則矩陣A，B具有相同的慣性:In(A)=In(B).

證明 如果S∈Cn×n可逆，則按Sylvester慣性律，定理的結(jié)論In(A)=In(B)成立.

如果S∈Cn×n不可逆，則取充分小的正數(shù)ε，使得S(ε)=S+εIn非奇異，令B(ε)=S(ε)*AS(ε)，按Sylvester慣性律，In(A)=In(B)對(duì)充分小的正數(shù)ε成立.令ε→0+，B(ε)的一部分正的(或者負(fù)的)特征值可能變?yōu)?，但是不會(huì)變?yōu)樨?fù)的(或者正的)B的特征值，因而In(B)≤In(A)，再從rank(A)=rank(B)看出，一定有In(B)=In(A).

【參考文獻(xiàn)】

［1］陳公寧.矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用(第二版)［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.

［2］程云鵬.矩陣論［M］.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，1999.

［3］CHO Minhyung，LIU Jinxia.The Sequential Continuity of Multiplication on a Class of Infinite Matrix Algebras［J］. CHINESE QUARTERLY JOURNAL OF MATHEMATICS，2002，17(2):49-52.

［4］孟道驥，王立云.線性代數(shù)中的攝動(dòng)法［J］.高等數(shù)學(xué)研究.2007，10(4):32-34.