運(yùn)用函數(shù)巧解“找規(guī)律”題
2012-04-29 00:00:00楊立群
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2012年3期
最近幾年，全國多數(shù)地市的中考都有“找規(guī)律”題出現(xiàn)，各個學(xué)校開始重視這一類數(shù)學(xué)題的解題思路.但這類問題沒有明確的知識方法可尋，解題思路多種多樣.在此，作者就其中一類的“找規(guī)律”題和各位同仁交流，對解決這類問題作一個初步的探究.
一、運(yùn)用一次函數(shù)解題
1.（丹東）如圖，用同樣大小的黑色棋子按圖所示的方式擺圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第100個圖案需棋子枚.
解 設(shè)第n個圖案的棋子為s枚，得s=an+b.
由第一個圖案得，n=1時，s=5.由第二個圖案得，n=2時，s=8.
代入s=an+b中，得5=a+b，8=2a+b，解得a=3，b=2.
所以，s=3n+2（n為正整數(shù)）.
那么此題就是當(dāng)n=100時，s=302.即第100個圖案需棋子302枚.
2.用邊長為1 cm的小正方形搭成如下的塔狀圖形，則第n次所搭圖形的周長是cm（用含n 的代數(shù)式表示）.
解 設(shè)第n次所搭圖形的周長是C cm，得C=an+b.
由第一個圖案得，n=1時，C=4.由第二個圖案得，n=2時，C=8.
代入C=an+b中，得4=a+b，8=2a+b，解得a=4，b=0.
所以，C=4n（n為正整數(shù)）.
即第n次所搭圖形的周長是4n cm.
小結(jié) 運(yùn)用一次函數(shù)求解的“找規(guī)律”題，我們發(fā)現(xiàn)相鄰之間的數(shù)據(jù)差相等.
二、運(yùn)用二次函數(shù)解題
3.如下圖是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子，觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個小房子用了塊石子.
解 設(shè)第n個小房子用了s塊石子，得s=an2+bn+c.
由第一個圖案得，n=1時，s=5.由第二個圖案得，n=2時，s=12.由第三個圖案得，n=3時，s=21.
代入s=an2+bn+C中，得5=a+b+c，12=4a+2b+c，21=9a+3b+c，解得a=1，b=4，c=0.
所以，s=n2+4n（n為正整數(shù)）.
即第n個小房子用了n2+4n塊石子.
4.圖1是棱長為a的小正方體，圖2、圖3由這樣的小正方體擺放而成.按照這樣的方法繼續(xù)擺放，由上而下分別叫第一層、第二層、…、第n層，第n層的小正方體的個數(shù)為s.解答下列問題：
解 設(shè)第n層的小正方體的個數(shù)為s，得s=an2+bn+c.
由第一個圖案得，n=1時，s=1.由第二個圖案得，n=2時，s=3.由第三個圖案得，n=3時，s=6.
代入s=an2+bn+c中，得1=a+b+c，3=4a+2b+c，6=9a+3b+c，解得a=05，b=05，c=0.
所以，s=05n2+05n（n為正整數(shù)）.
即第n層的小正方體的個數(shù)為s=05n2+05n.
小結(jié)：運(yùn)用二次函數(shù)求解的“找規(guī)律”題，我們發(fā)現(xiàn)相鄰之間的數(shù)據(jù)差等差.
三、運(yùn)用an類型函數(shù)解題
5.（撫順）觀察下列圖形（每幅圖中最小的三角形都是全等的），請寫出第n個圖中最小的三角形的個數(shù)有個.
解 第n個圖中最小的三角形的個數(shù)有s個.
得s=2an-b.
由第一個圖案得，n=1時，s=1.由第二個圖案得，n=2時，s=4.
代入s=2an-b中，得1=2a-b，4=22a-b，解得a=2，b=2.
所以，s=22n-2（n為正整數(shù)）.
即第n個圖中最小的三角形的個數(shù)有22n-2個.
小結(jié) 一般的運(yùn)用an類型函數(shù)求解的“找規(guī)律”題，我們發(fā)現(xiàn)相鄰之間的數(shù)據(jù)商相等.
四、綜合運(yùn)用
6.小王利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表：
輸入…12345…
輸出…1225310417526…
那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是8時，輸出的數(shù)據(jù)是（ ）.
A861
B863
C865
D867
解 由表格中的數(shù)據(jù)我們可以得知，分子是一次函數(shù)規(guī)律，分母是二次函數(shù)規(guī)律.
所以，輸出的數(shù)據(jù)=nn2+1（n為輸入數(shù)據(jù)）.
當(dāng)n=8時，輸出的數(shù)據(jù)為865.即答案選C.
