立體幾何中的平面問題

新教材強調(diào)了從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行應用的過程，重視培養(yǎng)學生的動手能力和創(chuàng)新精神，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情，讓學生在實踐的過程中掌握新知識，這是數(shù)學改革的一大突破.

翻開教材，我們會發(fā)現(xiàn)許多題目有新的創(chuàng)意，它將數(shù)學知識貫串在實際生活中.下面讓我們一起看勾股定理的應用問題.

例1 有一根長70厘米的木棒，要放在一個長40厘米，寬30厘米，高50厘米的木箱中，能放進去嗎？

分析 此題并不陌生，如圖，在長方體內(nèi)連接兩條線段，兩次用勾股定理，求出長方體的對角線的長度=402+302+502=5000>4900=70(cm)，因此長為70厘米的木棒能放進去.

例2 如圖所示，有一個圓柱，它的高為4厘米，底面半徑為1.5厘米，在圓柱下底面的A點處有一只螞蟻，它想吃到上底面與A相對的B點處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？

誤區(qū) 這道題目將勾股定理放在實際生活中的螞蟻尋食這一現(xiàn)象中，拿到題目，許多同學毫不猶豫地連接了AB，然后用勾股定理計算出AB=32+42=5（厘米），于是就說最短路程是5厘米.想一想，這種解法正確嗎？為什么？

剖析 我們對于此類題目，可以從以下三步去解：

第一步，從題目中提取有用的信息：（1）圓柱的高為4厘米，底面半徑為1.5厘米；（2）沿圓柱的側(cè)面爬行；（3）A，B的最短路程是多少.

第二步，細心分析：因為螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行，不可能在圓柱內(nèi)部爬行，所以直接連接AB是不對的，由于圓柱的側(cè)面是曲面，所以我們想到將曲面展開成平面.（如圖）根據(jù)兩點之間線段最短，所以連接AB就行.

第三步，根據(jù)勾股定理計算出AB=42+(15π)2≈6.18（厘米）.

所以，螞蟻沿圓柱爬行的最短路程為6.18厘米.

由此題我們可以聯(lián)想到下面這道題：

例3 如圖是一個長方體木塊，長、寬、高分別是13厘米、10厘米、6厘米，A點處有一只螞蟻，它想吃到與A點相對的G點處的食物，問螞蟻爬行的最短路程是多少？

剖析 乍一看，不知如何下手，AG究竟何時才最短？我們不妨仿照上一題的解題過程：

第一步，從題目中提取有用的信息：（1）長、寬、高分別是13厘米、10厘米、6厘米，（2）要求最短路程是多少.除此之外，還有一個隱藏的信息：螞蟻只能沿長方體木塊的表面爬行.

第二步，分析：因為螞蟻不可能在長方體內(nèi)部爬行，所以直接連接AG，然后再利用兩次勾股定理計算出AG是不對的，所以我們?nèi)匀幌氲綉獙㈤L方體展開，到底怎樣展開呢？

動動腦筋，實際操作一下，可以發(fā)現(xiàn)展開長方體有三種方法，如圖（1）（2）（3）.

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第三步，利用勾股定理計算.

圖（1）是將長方體的六個面中的前面和上面的兩個面展開，此時，AH=AE+EH=6+10=16（厘米），HG=13厘米，所以AG=AH2+HG2=162+132=425=517(厘米)；

圖（2）是將長方體的六個面中的前面和右面的兩個面展開，此時，AC=AB+BC=13+10=23厘米，CG=6厘米，所以AG=AC2+CG2=232+62=565（厘米）＞425（厘米）；

圖（3）是將長方體的六個面中的左面和上面的兩個面展開，此時，AG=AF2+FG2=192+102=461（厘米）＞425（厘米）.

因此，要求的最短路程應按圖（1）的方法展開，螞蟻爬行的最短路程為517厘米.

總結 從上面的例題我們可以看出，對于“勾股定理的應用”中兩種典型的實際問題，我們要做到：

1仔細分析題意，弄清是幾何體內(nèi)部問題（如上述放木棒）還是表面問題（如螞蟻覓食）.

2對于表面問題要勤于動手，將所給的幾何體無論是圓柱體還是正方體，或長方體，都按要求展開，使螞蟻爬行的路程是直線段，這樣才能求出最短路程.

3對于長方體中展開方法不止一種情況的，我們要比較哪種情形下，兩點間的距離最短，從而得出符合題目條件的結論.

4在解決有關實際應用問題中，我們要善于構建恰當?shù)闹苯侨切危_運用勾股定理.