淺析動中有“靜”的解決策略
2012-04-29 00:00:00姚國強
數學學習與研究 2012年3期
【摘要】近四年，江蘇卷解析幾何一直在考動態幾何問題，從題目上看，它涉及的知識層面深而廣，并且蘊含著許多數學思想，目的是考查學生運用知識分析和解決問題的能力，更重要的是考查創新探究能力.筆者結合江蘇省2008年至2011年的歷年高考第18題來淺析幾何解題中的動中有“靜”的解決策略.
【關鍵詞】高考數學；動態幾何；數形結合思想；分類討論思想；轉化的思想
在近四年的每年的《江蘇省高考考試說明》中明確強調“突出數學數學基礎知識、基本技能和基本思想方法的考查，重視數學基本能力和綜合能力的考查，注重數學的應用意識和創新意識的考查”.這三個考查在高考中究竟是怎樣體現的？特別在平面解析幾何這個模塊是如何考查的？首先來看看江蘇省近四年高考題的第18題：
1（2008年江蘇卷18題）設平面直角坐標系xOy中，設二次函數f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖像與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C.求：
（1）求實數b的取值范圍；
（2）求圓C的方程；
（3）問圓C是否經過某定點（其坐標與b無關）？請證明你的結論.
2（2009年江蘇卷18題）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2：(x-4)2+(y-5)2=4.
（1）略；
（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標.
3（2010年江蘇卷18題）在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓x29+y25=1的左、右頂點為A，B，右焦點為F，設過點T（t，m）的直線TA，TB與橢圓分別交于點M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.
（1）略；（2）略；
（3）設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）.
4（2011年江蘇卷18題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，M，N分別是橢圓x24+y22=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.
（1）略；（2）略；
（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB.
2008年第18題以二次函數與圓為載體出題，第（2）問所求的圓的方程過x軸上兩點知圓心的橫坐標是定值，由于y軸上的坐標不確定，從而使得答案的圖像是一個動態的圓，在運動的過程中它有不變的點從而出現了第（3）問的定點問題，這是動態幾何中的面動問題.
2009年第18題以直線與圓的方程為載體出題，這道題的第（2）問一開始給人的感覺無從下手，因為存在過點P的無窮多對直線，這是直線在繞著P點運動，但是注意題目提到直線垂直，且被圓截得的弦長相等，這是不變且是恒成立的，從而可求解，這是動態幾何中的線動問題.
2010年江蘇卷第18題c 直線與橢圓的方程為載體出題，這道題的第（3）問中的A，B是定點，P在運動，從而使得直線MN也在運動，直線MN運動的過程中它有不變的點在x軸上，從而和2008年第18題是一樣的定點問題，這是動態幾何中的點動問題.
2011年江蘇卷第18題也是以直線與橢圓的方程為載體出題，這道題的第（3）問中的原點是定點，直線AP在運動，從而使得直線AB，PC也在運動，直線AP運動的過程中PA，PB有不變的位置關系問題，這也是動態幾何中的線動問題.
近四年，江蘇卷解析幾何一直在考動態幾何問題，從題目上看，它涉及的知識層面深而廣，并且蘊含著許多數學思想，目的是考查學生運用知識分析和解決問題的能力，更重要的是考查創新探究能力，涉及的知識及數學思想有數形結合思想、分類討論思想、轉化的思想.可見，動態問題的綜合性很強，要解答這類問題，一是要掌握涉及的基本知識，這是必要條件；二是要明確相關的數學思想，這樣能夠更全面、系統、靈活地解答問題；三是要掌握有效的解題手段，這是解決問題的關鍵.
一、明確幾類動態問題
1動點問題
動點問題涉及單動點和雙動點，是指動點沿著一定的路徑運動，形成新的圖形，解答該類問題通常是利用特殊圖形的性質建立方程.
2動線與動圖問題
動線與動圖問題是指直線或圖形按指定的路徑進行平移、旋轉，形成新的圖形，結合平行線的性質和全等三角形以及相似三角形的性質，建立方程或函數關系求解.
二、解答動態幾何問題的步驟
1明確運動過程
（1）以動制靜，結合動點、動線、動圖的運動路徑及自身的變化情況，參照圖形，想象運動的全過程，初定運動過程中的幾種狀態；（2）以靜制動，運用分類討論的數學思想，應用數學知識確定運動情況，結合運動的狀態，確定有代表性的圖形.
2明確解題過程
（1）結合有代表性的圖形，運用分類討論的數學思想，利用方程、不等式進行分類；（2）結合圖形，利用特殊圖形的性質，應用方程、函數來找等量關系、計算.
三、明確解題過程
對于動線和動圖問題，可結合動線和動圖中的參照點，轉化為動點問題分析求解.培養學生解決動態幾何問題的能力，平時還要加強運用分類討論思想、數形結合思想、轉化的思想等數學思想來分析問題、解答問題；靈活掌握點坐標與線段長的相互轉化，結合運動路程來計算線段長度等計算方法和技巧.
