利用因式分解\\整數的奇偶性解決一類數學問題

【摘要】一些看上去很難的數學競賽題，利用因式分解的方法，只要對其中的數量關系作簡單的奇偶性分析，問題就能迎刃而解.

【關鍵詞】整數；因式分解；奇偶性；競賽題

我們知道整數分為兩大類：奇數類和偶數類.整數的奇偶性有著許多非常明顯而又非常簡單的性質.利用其中一些性質可以求解一些與整數有關的數學題，包括一些看上去很難的數學競賽題，只要對其中的數量關系作簡單的奇偶性分析，問題就能迎刃而解，下面列舉幾例.

例1 （北京市競賽題）直角三角形的三邊長均為正整數，已知它的一條直角邊的長恰為1997，那么另一條直角邊的長是.

分析 根據直角三角形的勾股定理，易得x2+19972=y2，可是兩個未知數一個方程無法繼續求解，此時，可從利用整數的奇偶性的角度來考慮，則問題就可迎刃而解，原式可以變形為y2-x2=19972，所以(y-x)(y+x)=19972.

∵y-x與y+x的奇偶性相同，

∴只可能y+x=19972，y-x=1，或y+x=1997，y-x=1997（舍去）.

由此解出x與y非常簡單了.

例2 （湖北省荊州市競賽題）正方形的地磚不重疊、無縫隙地鋪滿一塊地，選用邊長為x cm的地磚，恰用n塊；若選用邊長為y cm的地磚，則要比前一種剛好多用124塊.已知x，y，n都是正整數，且（x，y）=1.試問：這塊地有多少平方米？

解析 根據題意，可得nx2=(n+124)y2.

∴n(x2-y2)=124y2.

∵(x，y)=1(x>y)，

∴(x2，y2)=1，(x2-y2，y2)=1，∴n|y2.

令n=ky2，則有k(x2-y2)=124，

即k(x+y)(x-y)=124=22×31.

∵(x-y)，(x+y)的奇偶性相同，

∴x+y=31，x-y=1，或x+y=31×2，x-y=2.

分別解得x=16，y=15與x=32，y=30（與x，y互質矛盾，舍去）.

當x＝16，y＝15時，k=4，n=ky2=900.

因此，這塊地面積為S=nx2=900×162=2304(m2).

練習 （上海市競賽題）一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果使用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長都是整數，且兩種地磚的邊長互質，求n.

方法與上題完全相同，解得兩個正方形邊長分別為20與18，n=324.

例3 （上海市競賽題）已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘米，m厘米，斜邊長為n厘米，且l，m，n均為正整數，l為質數.證明：2（l+m+1）是完全平方數.

分析 ∵l2=n2-m2，

∴(n+m)(n-m)=l2.

∵l為質數，

∴n+m=l2，n-m=1，∴m=l2-12，

∴2(l+m+1)=(l+1)2，

即2（l+m+1）是完全平方數.

例4 （全國初中數學聯賽題）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，已知Rt△ABC的三邊長都是整數，且BD=113，求Rt△BCD與Rt△ACD的周長之比.

分析 設BC=a，CA=b，AB=c，BC2=BD#8226;BA，

即a2=113c.因為a2為完全平方數，且11為質數，

∴c=11k2（k為正整數），

則a=112k，b=c2-a2=11kk2-112.

∵b為整數，∴k2-112為完全平方數，

不妨設k2-112=l2（l為正整數），

則(k+l)(k-l)=112，得k+l=112，k-l=1，解得k=61，l=60.

∴a=112×61，b=11×60×61，

∴Rt△BCD與Rt△ACD的周長之比=ab=1160.

以上四例體現了在許多競賽題中遇到形如n2-m2=l2經常需要將其形式化為(n+m)(n-m)=l2，并根據(n+m)與(n-m)的同奇同偶性，從而確定(n+m)與(n-m)的值，解出構成的方程組的解即得到需要的答案.