二重積分的計算方法研究

【摘要】在高等數學中，二重積分的計算是一個難點，一些重要的計算技巧，它的關鍵是通過二重積分的性質和被積函數的特殊性，將不同的類型的題目分類來找到相關的解題思路，從而將不易求出的二重積分求出的方法.

【關鍵詞】二重積分

在高等數學中，二重積分的計算是一個難點，要從二重積分的性質、幾何意義、被積函數的特征等各個方面研究，可以找到解決問題的辦法.

一、交換積分次序

先依給定的積分次序寫出積分域D的不等式，并畫D的草圖，再確定交換積分次序后的積分限.

例1 計算積分∫10dx∫1x2xy1+y3dy.

解 交換積分順序.

原式=∫10y1+y3dy∫y0xdx

=12∫10y21+y3dy

=16∫10d(1+y3)1+y3

=13(2-1).



二、注意利用對稱性質，以便簡化計算

例2 計算x2+y2≤a2(x2-2x+3y+2)dσ.

解 積分域是圓x2+y2≤a2，故關于x軸、y軸、直線y=x對稱，故將被積函數分項積分:

x2+y2≤a2(-2x+3y)dσ=0.

而x2+y2≤a2x2dσ

=x2+y2≤a2y2dσ

=12x2+y2≤a2(x2+y2)dσ12

=x2+y2≤a2(x2+y2)dσ=πa44.



又 x2+y2≤a22dσ=2πa2=2πa2，∴原式=πa44+2πa2.

三、如被積函數的積分域為圓域、扇形域、圓環域時，則用極坐標計算

例3 計算二重積分D(x+y)dxdy，其中D：x2+y2≤2x.

解 用極坐標、對稱性來解決.

原式=2∫π20dθ∫2cosθ0rcosθ#8226;rdr

=2∫π20cosθdθ∫2cosθ0r2dr

=23∫π20cosθ#8226;(r3)2cosθ0dθ

=163∫π20cosθ#8226;cos3θdθ

=163∫π20cos4θdθ

=163#8226;34#8226;12#8226;π2=π.



四、被積函數中含有絕對值符號時，應將積分域分割成幾個子域，使被積函數在每個子域中保持同一符號，以消除被積函數中的絕對值符號

例4 計算二重積分D|x2+y2-1|dσ，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}.

解 將D分成D1與D2兩部分.

D|x2+y2-1|dσ

=D 1(1-x2-y2)dσ+D 2(x2+y2-1)dσ.

由于D 1(1-x2-y2)dσ=∫π20dθ∫10(1-r2)rdr=π8，

D 2(x2+y2-1)dσ=∫10dx∫11-x2(x2+y2-1)dy，

D 2(x2+y2-1)dσ

=∫10dx∫11-x2(x2+y2-1)dy

=∫10x2y+y33-y′1-x2dx

=∫10x2-23+23(1-x2)32dx

=∫10x2-23dx+23∫10(1-x2)32dx

=-13+23I=π8-13，

I=∫10(1-x2)32dx，

x=sint=∫π20cos4tdt=34#8226;12#8226;π2=3π16，



∴D|x2+y2-1|dσ=π8+π8-13=π4-13.

通過以上例子，可以看出求二重積分是從二重積分的性質、幾何意義、被積函數的特征等各個方面研究，找到解決問題的辦法.

【參考文獻】

李林曙，黎詣遠.微積分.北京:高等教育出版社，2005.