例談抽象函數問題
2012-04-29 00:00:00許金強
數學學習與研究 2012年3期
抽象函數是指沒有明確給出具體的函數表達式，只是給出一些特殊條件的函數，它在高中數學教材中沒有涉及，但在各類試題中常常見到，該類問題比較抽象，考查學生能力，學生普遍感到束手無策.本文就抽象函數基本問題類型及解題策略作一探討：
一、抽象函數的定義域
若已知f(x)的定義域，求f［g(x)］的定義域.其解法是：若f(x)的定義域為［a，b］，則在f［g(x)］中，a≤g(x)≤b，從中解得x的取值范圍即為f［g(x)］的定義域.若已知f［g(x)］的定義域，求f(x)的定義域.其解法是：若f［g(x)］的定義域為［a，b］，則由a≤x≤b確定得g(x)的范圍即為f(x)的定義域.
例1 已知函數f(x)的定義域為［-1，5］，求f(3x-5)的定義域.
分析 該函數是由u=3x-5和f(u)構成的復合函數，其中x是自變量，u是中間變量，由于f(x)與f(u)是同一個函數，因此這里是已知-1≤u≤5，即-1≤3x-5≤5，求x的取值范圍.
解 ∵f(x)的定義域為［-1，5］，
∴-1≤3x-5≤5，43≤x≤103.
故函數f(3x-5)的定義域為43，103.
二、抽象函數的值域
抽象函數的值域由抽象函數的定義域與對應法則決定.
例2 若函數y=f(x+1)的值域為［-1，1］，求函數y=f(3x+2)的值域.
解 函數y=f(3x+2)中3x+2的取值范圍與y=f(x+1)中x+1的取值范圍一樣，所以在相同的對應法則f的作用下所得y的取值范圍也是一樣的.所以函數y=f(3x+2)的值域為［-1，1］.
三、抽象函數的函數值
抽象函數雖然沒有給出具體的表達式，但是也可以利用適當的賦值來求抽象函數的特殊函數值.
例3 定義在非零實數集上的函數f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y)，求f(1)，f(-1)的值.
解 令x=y=1，則f(1)=f(1)+f(1)，∴f(1)=0.
令x=y=-1，則
0=f(1)=f(（-1）×(-1))=f(-1)+f(-1)，
∴f(-1)=0.
四、抽象函數的奇偶性
利用函數奇偶性的定義研究抽象函數的奇偶性問題.
例4 定義在R上的單調函數f(x)對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).求證：f(x)為奇函數.
證明 已知f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R).①
令x=y=0，代入①式，得
f(0+0)=f(0)+f(0)，
即f(0)=0.
再令y=-x，代入①式，得
f(0)=f(x)+f(-x).
又 f(0)=0，則0=f(x)+f(-x)，
即f(-x)=f(x)對任意x∈R成立，則f(x)是奇函數.
五、抽象函數的單調性
利用函數單調性的定義研究抽象函數的單調性問題.
例5 設函數y=f(x)的定義域為R，且對任意實數m，n總有f(m+n)=f(m)f(n)，且當x>0時，0 證明 設任意x1，x2∈R，且x1 則x2-x1>0，∴0 又 ∵f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)#8226;f(x1)， 故 f(x2)f(x1)=f(x2-x1)∈(0，1). ∴f(x2)
