高中數學中的格點問題

【摘要】格點問題借助坐標，考查計數問題，在高考命題中以格點為背景很有特色，成為2011年高考命題的一個亮點.

【關鍵詞】格點；計數；高考數學

隨著計算機技術的發展，高考中出現了很多以計算機為背景的試題，其中格點（整點）問題成為一個熱點.所謂格點（或整點）就是在坐標平面上橫、縱坐標都是整數的點，這類試題注意以計數為主，借助坐標概念，格點問題解答都很有特色.

例1 （2011年北京）設A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R），記N（t）為ABCD內部（不含邊界）的整點的個數，其中整數點是指橫、縱坐標都是整數的點，則函數N（t）的值域為（ ）.

A{9，10，11} B{9，10，12}

C{9，11，12}D{10，11，12}

答案 C

例2 （2011年安徽）在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數，就稱點(x，y)為整點，下列命題中正確的是（寫出所有正確命題的編號）.

①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點；

②如果k與b都是無理數，則直線y=kx+b不經過任何整點；

③直線l經過無窮多個整點，當且僅當l經過兩個不同的整點；

④直線y=kx+b經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數；

⑤存在恰經過一個整點的直線.

答案 ①③⑤

例3 平面直角坐標系中，縱、橫坐標都是整數的點叫作整點，那么滿足不等式：(|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整點(x，y)的個數有（ ）.

A16個

B17個

C18個

D25個

解 ∵(x，y)是整點，∴x，y∈Z.

故|x|-1及|y|-1∈Z，且|x|-1≥-1，|-1|-1≥-1.

又由于(|x|-1)2+(|y|-1)2<2，故有

（1）|x|-1=0，|y|-1=0;

（2）|x|-1=0，|y|-1=1;

（3）|x|-1=1，|y|-1=0;

（4）|x|-1=0，|y|-1=-1;

（5）|x|-1=-1，|y|-1=0.

從而，不難得到(x，y)共有：（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1），（1，2），（1，-2），（-1，2），（-1，-2），（2，1），（2，-1），（-2，1），（-2，-1），（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），16個整點.故選A.

例4 （2008年清華大學自主招生試題）（1）求三直線x+y=60，y=12x，y=0所圍成三角形上的整點個數.

(2)求方程組y<2x，y>12x，x+y=60的整數解的個數.

線段OA有21個整點，線段AB上有21個整點，線段OB上有61個整點.因此所求三角形上有21+21+61-3=100（個）整點.

注釋 對于問題（1），△OAB及其內部區域有(61+1)×212=31×21=651（個）整點.

（2）考慮下右圖，△OCD及其內部區域有(61+1)×212=31×21（個）整點.

因此所求整數解的個數為612+612-2×31×21+1=61×31-42×31+1=590.



例5 xy平面上，頂點的坐標（x，y）滿足1≤x≤4，1≤y≤4，且x，y是整數的三角形有多少個？

解 由題設知，在xy平面上有16個整點，共有C316=560（個）三點組，要從中減去那些三點共線的.

平面上有4條垂直線和4條水平線，每條上有4個點，這8條線上含有8C34=32（個）三點共線的三點組（如圖（1））.



類似的，在斜率為±1的線上三點共線的三點組有2C34+4C33=8+4=12（個）（如圖（2））.

此外，沒有其他的三點共線的三點組，所以，組成的三角形的個數是560-32-12=516（個）.

例6 （2011年江蘇）設整數n≥4，P(a，b)是平面直角坐標系xOy中的點，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a>b.

（1）記An為滿足a-b=3的點P的個數，求An；

（2）記Bn為滿足13(a-b)是整數的點P的個數，求Bn.

解析 （1）因為滿足a-b=3，a，b∈{1，2，3，…，n}，a>b的每一組解構成一個點P，所以An=n-3.

（2）設13(a-b)=k∈N*，則a-b=3k，0<3k≤n-1，

∴0