產(chǎn)品壽命試驗(yàn)的損傷失效率數(shù)學(xué)模型

【摘要】文章從產(chǎn)品壽命是衡量質(zhì)量的重要指標(biāo)入手，通過(guò)三種方法來(lái)闡述產(chǎn)品壽命試驗(yàn)的損傷失效率的數(shù)學(xué)模型.在分析過(guò)程中，將產(chǎn)品壽命假定為服從幾何分布，借助相應(yīng)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)，將在步加試驗(yàn)中，對(duì)服從幾何分布的產(chǎn)品壽命的損傷失效率數(shù)學(xué)模型中的相關(guān)參數(shù)做出極大似然估計(jì)，最后通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例題加以印證.

【關(guān)鍵詞】損傷失效率；數(shù)學(xué)模型；步加試驗(yàn)；損傷因子；極大似然估計(jì)

一、產(chǎn)品壽命試驗(yàn)的損傷失效率數(shù)學(xué)模型

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)融入全球經(jīng)濟(jì)一體化進(jìn)程，產(chǎn)品質(zhì)量成為衡量商品進(jìn)出口的重要指標(biāo).為提高我國(guó)產(chǎn)品與服務(wù)質(zhì)量的總體水平，推動(dòng)中國(guó)制造走向世界，為我國(guó)經(jīng)濟(jì)全面、協(xié)調(diào)、可持續(xù)發(fā)展，我國(guó)產(chǎn)品質(zhì)量協(xié)會(huì)始終不渝地堅(jiān)持服務(wù)政府、服務(wù)社會(huì)、服務(wù)企業(yè)和廣大消費(fèi)者（用戶）的宗旨.而壽命是衡量產(chǎn)品質(zhì)量好壞的一個(gè)重要指標(biāo).

產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，就目前情況來(lái)看，一般有三種不同的試驗(yàn)方法：第一種稱恒定應(yīng)加速壽命試驗(yàn)（簡(jiǎn)稱恒加試驗(yàn)），指的是產(chǎn)品在進(jìn)行試驗(yàn)的過(guò)程中應(yīng)力保持不變；第二種稱為步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)（簡(jiǎn)稱步加試驗(yàn)），指的是產(chǎn)品在試驗(yàn)過(guò)程中，應(yīng)力呈階梯狀上升；第三種稱為序進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)（簡(jiǎn)稱序加試驗(yàn)），指的是產(chǎn)品在進(jìn)行試驗(yàn)過(guò)程中，應(yīng)力則是連續(xù)上升的（通常是指線性上升），它是一種加于受試產(chǎn)品上的應(yīng)力隨時(shí)間連續(xù)增加的一種壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)一直持續(xù)到某一固定時(shí)間或受試產(chǎn)品有部分或全部失效為止.對(duì)于恒加試驗(yàn)，當(dāng)應(yīng)力水平較低時(shí)，試驗(yàn)需要的時(shí)間較長(zhǎng).而步加試驗(yàn)和序加試驗(yàn)卻能縮短試驗(yàn)時(shí)間，節(jié)省大量人力、物力和財(cái)力.本文以步加試驗(yàn)產(chǎn)品壽命來(lái)加以研究.

在步加試驗(yàn)中，設(shè)S1

損傷失效率數(shù)學(xué)模型，考慮的是一批產(chǎn)品在步進(jìn)應(yīng)力加速試驗(yàn)下，從時(shí)刻t=0開(kāi)始直到一個(gè)固定的時(shí)刻t1都遭受到一個(gè)應(yīng)力S1，在時(shí)刻t1未失效的產(chǎn)品受到應(yīng)力S2(>S1)，且試驗(yàn)到產(chǎn)品都失效為止.假設(shè)這種應(yīng)力變化的結(jié)果是導(dǎo)致開(kāi)始時(shí)失效率函數(shù)λ1(y)乘上與變化點(diǎn)t1有關(guān)的一個(gè)未知因子α(>1).記步進(jìn)應(yīng)力壽命時(shí)間Y*的失效函數(shù)為λ*(y)，所提議的損傷失效率數(shù)學(xué)模型為：

λ*(y)=λ1(y)，當(dāng)y≤t1時(shí)，αλ1(y)，當(dāng)y>t1時(shí).

因子α將由S1和S2確定，而且有可能和時(shí)間t1也有關(guān).于是α一般記為α(t1)，在此稱為損傷因子.

二、幾何分布產(chǎn)品壽命試驗(yàn)損傷失效率數(shù)學(xué)模型下的統(tǒng)計(jì)分析

設(shè)應(yīng)力S1下產(chǎn)品壽命服從參數(shù)為p的幾何分布，即P(X=k)=pqk-1，k=1，2，3，….

在應(yīng)力S1下將n個(gè)產(chǎn)品投入試驗(yàn)，試驗(yàn)進(jìn)行到第k0次后將應(yīng)力提高到S2(>S1)繼續(xù)做試驗(yàn)，試驗(yàn)持續(xù)到所有產(chǎn)品均失效為止.在應(yīng)力S1下有r個(gè)產(chǎn)品失效，其次序失效時(shí)間為X(1)≤X(2)≤…≤X(r).

在應(yīng)力S2下有n-r個(gè)產(chǎn)品失效，其次序失效“時(shí)間”（從0算起）X(r+1)≤X(r+2)≤…≤X(n)，而X(r)≤k0

在應(yīng)力S1下產(chǎn)品的失效率

λ1(k)=P(X=k)P(X≥k)=pqk-1∑∞l=kpql-1=qk-1qk-11-q=p.

當(dāng)在k0時(shí)應(yīng)力從S1提高到S2，此時(shí)，假定產(chǎn)品失效率服從損傷籌集資金率（TFR）模型，也即失效率λ(k)=αλ1(k)=αp，k>k0.

而其中損傷因子α>1，其值將由S1和S2確定，而且有可能和“時(shí)間k0”也有關(guān)，在此α也可記作α(k0).

當(dāng)k≥k0+1時(shí)，P(X=k)=αpP(X≥k)=αpP(X=k)+αpP(X≥k+1)，即(1-αp)P(X=k)=αpP(X≥k+1).

也即P(X=k)=αp1-αpP(X≥k+1)

=αp1-αp［P(X=k+1)+P(X≥k+2)］

=αp1-αpαp1-αpP(X≥k+2)+P(X≥k+2)

=αp(1-αp)2P(X≥k+2).



由此，一般地，對(duì)K≥k≥k0+1，有

P(X=k)=αp(1-αp)K-kP(X≥K).

從而有P(X=k)=αp(1-αp)kP(X≥K)(1-αp)K，K≥k≥k0+1.

令θ=limK→∞P(X≥K)(1-αp)K（θ應(yīng)為α，p和k0的函數(shù)）.

又由于P(X≥k0)=1-P(X≤k0)=1-∑k0i=1pqi-1=qk0，

由此得θ=(1-p)k0(1-αp)k0+1.對(duì)k≥k0+1，有

P(X=k)=αp(1-αp)k(1-p)k0(1-αp)k0+1

=αp(1-p)k0(1-αp)k-k0-1.



特別地，P(X=k0+1)=αp(1-p)k0.

值得一提的是，若k0→0，此時(shí)可看作產(chǎn)品一開(kāi)始便在應(yīng)力S2下做試驗(yàn)，于是有：

P(X=k)=limk0→0［α(k0)p(1-p)k0(1-α(k0)p)k-k0-1］

=α(0)p(1-α(0)p)k-1.



也就是說(shuō)在恒應(yīng)力S2下產(chǎn)品壽命仍服從幾何分布，其參數(shù)為α(0)p.下面研究參數(shù)的極大似然估計(jì)：

似然函數(shù)為：（其中A為下常數(shù)）

L［α，p］=A∏ri=1［pqx(i)-1］∏ni=r+1［αp(1-p)x0#8226; (1-αp)x(j)-k0-1］

=Apr(1-p)∑ri=1x(i)-rαn-rpn-r(1-p)k0(n-r)#8226; (1-αp)∑NJ=R+1x(j)-(k0+1)(n-r)

=Apn(1-p)∑ri=1x(i)-rαn-r(1-p)k0(n-r)#8226; (1-αp)∑NJ=R+1x(j)-(k0+1)(n-r).



lnL［α，p］=lnA+nlnp+∑ri=1x(i)+k0n-(k0+1)r#8226; ln(1-p)+(n-r)lnα+ ∑NJ=R+1x(j)-(k0+1)(n-r)ln(1-αp).



lnL［α，p］α=n-rα-p∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)1-αp.

lnL［α，p］p=np-∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r1-p-

α∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)1-αp.

令lnL［α，p］α=0，lnL［α，p］p=0，

化簡(jiǎn)得α1-αp∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)=n-rp，

np-∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r1-p-n-rp=0，

rp=∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r1-p，

r-rp=p∑ri=1x(i)+nk0-(k0+1)r，

r=p∑ri=1x(i)+(n-r)k0.

由此參數(shù)p的極大似然估計(jì)為：

=r∑ri=1x(i)+(n-r)k0.

又由于1-αpαp

=∑nj=r+1x(j)-(k0+1)(n-r)n-r

1αp=∑nj=r+1x(j)-(n-r)k0n-r，



進(jìn)而得損傷因子α的極大似然估計(jì)為：

=n-rr#8226;∑ri=1x(i)+(n-r)k0∑nj=r+1x(j)-(n-r)k0.

例如，設(shè)在應(yīng)力S1下將10個(gè)產(chǎn)品投入試驗(yàn)，當(dāng)有5個(gè)產(chǎn)品失效時(shí)（次序失效“時(shí)間”為：120，223，296，321，386），在k0=400時(shí)將應(yīng)力提高至S2繼續(xù)做試驗(yàn)，試驗(yàn)持續(xù)到所有產(chǎn)品失效為止（次序失效“時(shí)間”為：411，458，466，496，518），運(yùn)用本文方法得參數(shù)的極大似然估計(jì)為：=14943×10-3，=104304.