Fibonaci數列通項公式的幾種求法

【摘要】本文用z變換法、解差分方程法、矩陣法等三種方法求出了Fibonaci數列的通項公式，并利用其通項公式證明了Fibonaci數列的重要性質.

【關鍵詞】Fibonaci數列；z變換；差分方程

一、引 言

Fibonaci數列，Fn:1，1，2，3，5，8，11，…，其遞推公式為Fn+2=Fn+1+Fn(n≥1)，F1=F2=1，但如果能夠給出其通項公式，將有利于我們研究其性質.以下我將給出z變換法、解差分方程法、矩陣法等三種方法來求其通項公式.

二、求解公式

方法1 z變換法.

設F1(k+1)=F2(k)，F2(k+1)=F1(k)+F2(k).(1)

其中F1(0)=F2(0)=1.

可用迭代法求得序列F1(k)，F2(k)：

F1(1)=F2(0)=1，F2(1)=F1(0)+F2(0)=2，

F1(2)=F2(1)=2，F2(2)=F1(1)+F2(1)=3，

F1(3)=F2(2)=3，F2(3)=F1(2)+F2(2)=5，

……

F1(k)：1，1，2，3，5，…；F2(k)：1，2，3，5，8，…均為Fibonaci數列.

對（1）進行z變換有：

zF1(z)-zF1(0)=F2(z)，zF2(z)-zF2(0)=F1(z)+F2(z)，

整理有:z2F2(z)-z2F2(0)=zF1(z)+zF2(z)=zF1(0)+F2(z)+zF2(z)，

F2(z)=z+z2z2-z+1

=z+z2z-1+52z-1-52

=3+525#8226;zz-1+52+-3+525#8226;zz-1-52 .



由z變換的反變換有:

F2(k)=3+525#8226;1+52k+-3+525#8226;1-52k

=15#8226;1+52k+2+-15#8226;1-52k+2(k=0，1，2，…)，



F1(k)=15#8226;1+52k+1+-15#8226;1-52k+1(k=0，1，2，…)

為Fibonaci數列的通項公式.

方法2 用差分方程方法求解.

Fn+2=Fn+1+Fn，(n≥1，F1=F2=1)，

即Fn+2-Fn+1-Fn=0.

其特征方程為:

λ2-λ-1=0，λ1，2=1±52，

Fn=c1#8226;1+52n+c2#8226;1-52n.

因為F1=F2=1有：

1=c1#8226;1+52+c2#8226;1-52，

1=c1#8226;1+522+c2#8226;1-522，

c1=15，c2=-15.

Fn=15#8226;1+52n-15#8226;1-52n為Fibonaci數列的通項公式.

方法3 用矩陣推導其通項公式.

un=FnFn-1，n≥2，A=1110，u2=11.

un=Aun-1=A2un-2=…=An-1u2A為對稱陣，存在正交陣P，使A對角化.由代數知識可知，A的特征值為：λ1，2=1±52.

求出其對應的特征向量并單位化進而構造出矩陣P.

P=1+510+251-510-25210+25210-25，

A=P1+52001-52P-1，

An-2=PDn-2P-1，D=diag1+52，1-52，

PT=P-1，

un=An-2u2=PDn-2P-1u2

=1+510+251-510-25210+25210-25#8226;

1+52n-2001-52n-2#8226;

1+510+25210+251-510-25210-25

11

=15#8226;1+52n-15#8226;1-52n

15#8226;1+52n-1-15#8226;1-52n-1=FnFn-1，



Fn=15#8226;1+52n-15#8226;1-52n.

三、公式的應用

性質1 Fn#8226;Fn-1-F2n=(-1)n.

性質2 Fn+1+Fn-1+5Fn=2#8226;1+52n，

Fn+1+Fn-1-5Fn=2#8226;1-52n.

性質3 Fn+d#8226;Fn-d-F2n=(-1)n-d+1F2d.

性質4 Fn+1#8226;Fn+2-FnFn+3=(-1)n.

只證明性質1：

Fn#8226;Fn-1-F2n

=151+52n+1-1-52n+1#8226; 1+52n-1-1-52n-1- 151+52n-1-52n2

=15［-3(-1)n-1+2(-1)n］=(-1)n.

四、小 結

本文利用z變換法、解差分方程法、矩陣法等三種方法求出了Fibonaci數列的通項公式，使得研究Fibonaci數列的性質更加方便簡捷.

本文受到陜西科技大學2011年教學改革項目支持（11JG62）.

【參考文獻】

［1］孫慶海，戴志國.Fibonaci數列的幾個性質.數學通報，1997（4）：38-40.

［2］同濟大學數學教研室編.線性代數（第三版）.北京：高等教育出版社.