淺談向量的巧用
2012-04-29 00:00:00郭軍團
數(shù)學學習與研究 2012年3期
【摘要】由于向量在解析幾何方面應(yīng)用越來越廣泛，讓本來很抽象的東西具體化，或者復(fù)雜的東西簡單化，由抽象的立體想象變成具體的代數(shù)運算.筆者就向量在解決幾類解析幾何問題方面來進行簡單的介紹，主要從解決角的求值還有求線段長度方面進行探討.
【關(guān)鍵詞】向量；解析幾何；線段長度；角度大小
我國的數(shù)學發(fā)展一直都走在世界的前沿，而解析幾何也是其中最具成果的一個部分，在這一部分中最有用處的就是向量的妙用.
首先讓我們來明確向量的概念：既有大小又有方向的量，稱為向量.
解析幾何中的基本方法就是坐標法，即建立坐標系，然后讓點用有序的實數(shù)組來表示，從而讓圖形轉(zhuǎn)換為方程來表示，通過方程的建立來進行圖形性質(zhì)的研究.而坐標法的優(yōu)越性在于其利用了數(shù)字可以進行簡便運算的特點.那么，同樣的道理，代數(shù)運算同樣可以引進到幾何中去.比如，力學中的力、速度，這些矢量有大小也有方向，它們可以用一個有向的線段來進行表示.這就是向量.向量在現(xiàn)代數(shù)學中也起著特別重要的作用.在解析幾何中，常常把向量法還有坐標法結(jié)合起來使用.
在教材里，學生先學習平面向量，再學習解析幾何，但是在教材中兩者的知識的相關(guān)聯(lián)性并不密切，不少學生就“平面向量”可以解決平面向量問題，對于平面向量來解決解析幾何題應(yīng)用并不好.但是實際上，用向量法去解決一些解析幾何問題時思路會很清晰，過程也顯得簡捷，會有意想不到的良好效果.知名教育專家布魯納曾說過這樣一句話：學習的最好的刺激就是對所學東西的興趣，若只是簡單的重復(fù)只會引起學生的大腦很快疲勞，對學習的興趣急速衰退.這也充分揭示了方法的重要性與犀利點，我們?nèi)绻苤匾曄蛄糠矫娴慕虒W，必然能夠引導(dǎo)學生去拓展更多的思路，減輕教學者和學生雙方面的負擔.我將在下文就這一方面進行歸納.
首先是解決與角有關(guān)的一類問題.
例1 橢圓表達式：x29+y24=1，其焦點為F1和F2，點P為橢圓上的動點，∠F1PF2>90°時，點P（x，y）中x的取值范圍是.
就此題來說可以從數(shù)量積方面入手.把本題條件中的∠F1PF2為鈍角轉(zhuǎn)化到向量的數(shù)量積為負值，通過坐標運算列出不等式，簡潔明了.
解 F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），設(shè)P（3cosθ，2sinθ）.
∵∠F1PF2為鈍角，
∴PF1#8226;PF2=(-5-3cosθ，-2sinθ)#8226; (5-3cosθ，-2sinθ)
=9cos2θ-5+4sin2θ=5cos2θ-1<0，
解得-55 ∴點P的橫坐標的取值范圍是-355，355. 然后有些解析幾何問題并沒有直接讓向量作為已知的條件出現(xiàn)在題目中，可是若運用向量相關(guān)的知識來解決這個問題，也會顯得更加自然、簡便，并且易于入手. 例2 已知兩定點A(-1，0)，B(1，0)，M為圓：x2+(y-1)2=1上一動點. （1）求|MA|+|MB|的最大值、最小值； （2）求|MA|2+|MB|2的最大值、最小值. 分析 ∵O是AB中點，∴MA+MB=2MO， ∴可利用向量有關(guān)知識把問題轉(zhuǎn)化成求向量|OM|的最值. 解 （1）∵MA+MB=2MO， ∴|MA+MB|=2|MO|. 如圖，當M運動到M1時，|MO|有最小值1； 當M運動到M2時，|MO|有最大值3. ∴|MA+MB|的最小值為2，最大值為6. （2）|MA|2+|MB|2=|MA|2+|MB|2 =(MA+MB)2-2MA#8226;MB =(2MO)2-2(OA-OM)#8226; (OB-OM) =4|MO|2-2OA#8226;OB-2|OM|2+ 2OM(OA+OB) =2|OM|2+2. 由（1），得|OM|2的最小值為1，|OM|2的最大值為9. ∴|MA|2+|MB|2的最小值為4，最大值為20. 例3 O是平面上一個定點，A，B，C為平面上的不共線三個點.動點P滿足：OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|且λ∈［0，+∞)，則P的軌跡必然經(jīng)過△ABC的( ). A外心 B重心 C內(nèi)心 D垂心 分析 因為AB|AB|，AC|AC|分別是與AB，AC同向的單位向量，由于向量加法中的平行四邊形定則知AB|AB|+AC|AC|為與∠ABC的平分線同向的向量.又OP-OA=AP=λAB|AB|+AC|AC|，知道P點的軌跡為∠ABC的平分線，從而知點P的軌跡必定通過△ABC的內(nèi)心.
