淺談向量的巧用
2012-04-29 00:00:00郭軍團
數學學習與研究 2012年3期
【摘要】由于向量在解析幾何方面應用越來越廣泛，讓本來很抽象的東西具體化，或者復雜的東西簡單化，由抽象的立體想象變成具體的代數運算.筆者就向量在解決幾類解析幾何問題方面來進行簡單的介紹，主要從解決角的求值還有求線段長度方面進行探討.
【關鍵詞】向量；解析幾何；線段長度；角度大小
我國的數學發展一直都走在世界的前沿，而解析幾何也是其中最具成果的一個部分，在這一部分中最有用處的就是向量的妙用.
首先讓我們來明確向量的概念：既有大小又有方向的量，稱為向量.
解析幾何中的基本方法就是坐標法，即建立坐標系，然后讓點用有序的實數組來表示，從而讓圖形轉換為方程來表示，通過方程的建立來進行圖形性質的研究.而坐標法的優越性在于其利用了數字可以進行簡便運算的特點.那么，同樣的道理，代數運算同樣可以引進到幾何中去.比如，力學中的力、速度，這些矢量有大小也有方向，它們可以用一個有向的線段來進行表示.這就是向量.向量在現代數學中也起著特別重要的作用.在解析幾何中，常常把向量法還有坐標法結合起來使用.
在教材里，學生先學習平面向量，再學習解析幾何，但是在教材中兩者的知識的相關聯性并不密切，不少學生就“平面向量”可以解決平面向量問題，對于平面向量來解決解析幾何題應用并不好.但是實際上，用向量法去解決一些解析幾何問題時思路會很清晰，過程也顯得簡捷，會有意想不到的良好效果.知名教育專家布魯納曾說過這樣一句話：學習的最好的刺激就是對所學東西的興趣，若只是簡單的重復只會引起學生的大腦很快疲勞，對學習的興趣急速衰退.這也充分揭示了方法的重要性與犀利點，我們如果能重視向量方面的教學，必然能夠引導學生去拓展更多的思路，減輕教學者和學生雙方面的負擔.我將在下文就這一方面進行歸納.
首先是解決與角有關的一類問題.
例1 橢圓表達式：x29+y24=1，其焦點為F1和F2，點P為橢圓上的動點，∠F1PF2>90°時，點P（x，y）中x的取值范圍是.
就此題來說可以從數量積方面入手.把本題條件中的∠F1PF2為鈍角轉化到向量的數量積為負值，通過坐標運算列出不等式，簡潔明了.
解 F1（-5，0），F2（5，0），設P（3cosθ，2sinθ）.
∵∠F1PF2為鈍角，
∴PF1#8226;PF2=(-5-3cosθ，-2sinθ)#8226; (5-3cosθ，-2sinθ)
=9cos2θ-5+4sin2θ=5cos2θ-1<0，
解得-55 ∴點P的橫坐標的取值范圍是-355，355. 然后有些解析幾何問題并沒有直接讓向量作為已知的條件出現在題目中，可是若運用向量相關的知識來解決這個問題，也會顯得更加自然、簡便，并且易于入手. 例2 已知兩定點A(-1，0)，B(1，0)，M為圓：x2+(y-1)2=1上一動點. （1）求|MA|+|MB|的最大值、最小值； （2）求|MA|2+|MB|2的最大值、最小值. 分析 ∵O是AB中點，∴MA+MB=2MO， ∴可利用向量有關知識把問題轉化成求向量|OM|的最值. 解 （1）∵MA+MB=2MO， ∴|MA+MB|=2|MO|. 如圖，當M運動到M1時，|MO|有最小值1； 當M運動到M2時，|MO|有最大值3. ∴|MA+MB|的最小值為2，最大值為6. （2）|MA|2+|MB|2=|MA|2+|MB|2 =(MA+MB)2-2MA#8226;MB =(2MO)2-2(OA-OM)#8226; (OB-OM) =4|MO|2-2OA#8226;OB-2|OM|2+ 2OM(OA+OB) =2|OM|2+2. 由（1），得|OM|2的最小值為1，|OM|2的最大值為9. ∴|MA|2+|MB|2的最小值為4，最大值為20. 例3 O是平面上一個定點，A，B，C為平面上的不共線三個點.動點P滿足：OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|且λ∈［0，+∞)，則P的軌跡必然經過△ABC的( ). A外心 B重心 C內心 D垂心 分析 因為AB|AB|，AC|AC|分別是與AB，AC同向的單位向量，由于向量加法中的平行四邊形定則知AB|AB|+AC|AC|為與∠ABC的平分線同向的向量.又OP-OA=AP=λAB|AB|+AC|AC|，知道P點的軌跡為∠ABC的平分線，從而知點P的軌跡必定通過△ABC的內心.
