提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力的三個(gè)著眼點(diǎn)

【摘要】問題表征能力和表征質(zhì)量是影響問題解決的核心因素.在探討數(shù)學(xué)問題表征和問題解決之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，指出優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、建構(gòu)多元表征系統(tǒng)、增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念是提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力的主要策略.

【關(guān)鍵詞】問題表征；問題解決；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)信念

問題表征是指解題者通過審題、認(rèn)識(shí)和了解問題結(jié)構(gòu)；通過聯(lián)想，激活頭腦中與之相關(guān)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息，形成問題空間，包括明確問題的給定條件、目標(biāo)和允許的操作.研究表明，正確的表征是解決問題的必要前提，在錯(cuò)誤的或者不完整的問題空間中進(jìn)行搜索，不可能求得問題的正確解.學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤主要是對(duì)問題結(jié)構(gòu)的錯(cuò)誤表征，而不是運(yùn)算方面的原因.因此，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題表征能力和問題表征質(zhì)量是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)之一.

一、優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

認(rèn)知結(jié)構(gòu)是陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)的表征系統(tǒng)，是個(gè)體對(duì)客觀知識(shí)的內(nèi)化，表現(xiàn)出一種主觀性.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下將外顯的數(shù)學(xué)知識(shí)體系內(nèi)化在自己的頭腦中，從而能動(dòng)地建立、擴(kuò)展和精致個(gè)體數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.

在數(shù)學(xué)知識(shí)分類與表征的基礎(chǔ)上，喻平教授提出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu).所謂CPFS結(jié)構(gòu)即個(gè)體在頭腦中形成的概念域、概念系、命題域與命題系的圖式，是個(gè)體頭腦中內(nèi)化的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).CPFS結(jié)構(gòu)既包含了表征陳述性知識(shí)的圖式，又包括表征程序性知識(shí)的產(chǎn)生式系統(tǒng).CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)作了比較細(xì)致的刻畫，它融知識(shí)與方法于一體，有助于知識(shí)的儲(chǔ)存和提取，是一種優(yōu)良的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).實(shí)驗(yàn)研究表明，具備優(yōu)良CPFS結(jié)構(gòu)的學(xué)生更能合理、正確地表征問題，進(jìn)而有效地解決問題，反之亦然；沒有形成完善CPFS結(jié)構(gòu)的學(xué)生，往往不能從多角度、多層面去觀察問題，表征問題單一，不能有效地解決問題.因此優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是提高問題表征能力的重要因素.

例 m取何值時(shí)，方程x2-2mx+m+1=0的兩個(gè)根一個(gè)大于5，另一個(gè)小于5？

分析 如果把問題表征為：Δ>0且12(2m-Δ)<5，12(2m-Δ)>5，這就需要解復(fù)雜的不等式組，加大問題的難度.

變換表征1 令y1=x1-5，y2=x2-5是二次方程y2+py+q=0的兩實(shí)根，當(dāng)q<0時(shí)，有y1#8226;y2<0，從而可令y1>0，y2<0，則x1>5，x2<5.所以，令y=x-5，代入原方程得到關(guān)于y的二元一次方程，此時(shí)求解則簡(jiǎn)單得多.

變換表征2 令f(x)=x2-2mx+m+1，其函數(shù)圖像是開口向上的拋物線，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別在點(diǎn)(5，0)的兩側(cè)，可以得到最簡(jiǎn)等價(jià)表征：f(5)<0.題目的有效表達(dá)很大程度上依賴問題表征的合理性，而認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)的深刻性影響著表征的流暢性，知識(shí)質(zhì)量影響著表征的多樣性.

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)問題的多元表征系統(tǒng)

數(shù)學(xué)多元表征是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的多種表征形式，可以是心理的、主觀的東西，即內(nèi)在表征，如個(gè)體在頭腦中建構(gòu)數(shù)學(xué)對(duì)象的心像等；也可以是外在于人腦的、客觀世界的東西，即外在表征，如言語文字、符號(hào)圖片、實(shí)際情境等.內(nèi)在表征和外在表征構(gòu)成了一個(gè)完整的表征系統(tǒng)，在解決問題的過程中兩類系統(tǒng)之間或其內(nèi)部是相互轉(zhuǎn)換和影響的.外在表征有助于減少記憶負(fù)荷或提高信息儲(chǔ)存能力，以更具操作性和簡(jiǎn)化復(fù)雜關(guān)系的形式對(duì)信息進(jìn)行處理.好的外在表征可以幫助學(xué)生更好地了解問題解決的實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵，從而達(dá)到解決問題的目的.

問題解決的典型特征在于解題者對(duì)問題生成了適宜表征，適宜的表征可以縮減運(yùn)算量、縮短思維過程.正確的語言表征促進(jìn)題目的理解，準(zhǔn)確的符號(hào)表征提高問題的加工水平，適當(dāng)?shù)膱D表表征催生形象思維，合理的模式表征有助于簡(jiǎn)約問題解決的思維長(zhǎng)度.如要理解“絕對(duì)值”的概念，學(xué)生除對(duì)“數(shù)軸”“距離”有深入的理解，還要掌握“數(shù)”與“形”兩種不同結(jié)構(gòu)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，形成“絕對(duì)值”概念的表征系統(tǒng)，如圖1所示.

進(jìn)而又可以將點(diǎn)到原點(diǎn)的距離擴(kuò)展為兩點(diǎn)間的距離，即|a|→|a-b|，將絕對(duì)值與算術(shù)根聯(lián)系起來，即a2=|a|，將絕對(duì)值從有理數(shù)集擴(kuò)展到實(shí)數(shù)集，從而形成圖2所示“絕對(duì)值”概念的表征系統(tǒng).或者將平面上的概念拓展到空間中.



再如，對(duì)公式(a+b)2=a2+2ab+b2，可以從以下角度進(jìn)行表征：

a2+b2=(a+b)2-2ab或(a-b)2=(a+(-b))2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2.

總之，多元表征能夠反映事物的各種特征，尤其是從具體到抽象地把握數(shù)學(xué)問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生對(duì)問題的深刻理解及對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律的認(rèn)識(shí).

三、增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念

數(shù)學(xué)信念是一個(gè)人的數(shù)學(xué)觀，是個(gè)體處理數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)任務(wù)時(shí)持有的觀點(diǎn).舒菲爾德指出，學(xué)生的數(shù)學(xué)信念由情感與認(rèn)知相互交叉部分組成，包括學(xué)生自我與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、問題解決關(guān)系的看法，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決的看法，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的社會(huì)情境的看法三種成分.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念直接或間接地影響著學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知的理解、問題解決過程、遷移以及認(rèn)知策略的選擇.學(xué)生的數(shù)學(xué)信念與數(shù)學(xué)理解具有微妙的相互影響關(guān)系.數(shù)學(xué)理解是問題解決的第一步，對(duì)應(yīng)于認(rèn)知過程中的問題表征，一旦采取了合理的方式表征問題，就能形成一個(gè)良好的問題空間，問題的解決就開了一個(gè)好頭.所以，如果學(xué)生持有“數(shù)學(xué)是一個(gè)由多種表征組成，且各種表征是相互聯(lián)系的有機(jī)體”的信念，他們就會(huì)采用多種表征（如符號(hào)、圖形、語言等）來增進(jìn)數(shù)學(xué)理解，這種理解反過來也促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)內(nèi)部與外部是相互聯(lián)系的有機(jī)整體，從而有利于形成多元表征系統(tǒng).相反，如果學(xué)生持有“知識(shí)是孤立的、片斷性的事實(shí)、概念”的信念，就會(huì)產(chǎn)生“記住”就是“理解”這樣的信念，因此，數(shù)學(xué)問題表征時(shí)就難以在知識(shí)點(diǎn)之間建立多向、交叉的聯(lián)系，從而使得問題表征單一，不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的全面理解以及知識(shí)之間正遷移的發(fā)生.

同時(shí)，學(xué)習(xí)信念也影響著學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的情感投入和活動(dòng)參與.有效的信念可以促進(jìn)學(xué)生投入內(nèi)在動(dòng)機(jī)，產(chǎn)生積極情感，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感和愉悅感；而無效的信念卻消解學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)機(jī)，容易產(chǎn)生消極情感，甚至產(chǎn)生焦慮和厭倦的情感.由此可見，數(shù)學(xué)信念決定著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀，進(jìn)而影響其學(xué)習(xí)方式、認(rèn)知方式、情感參與，最終落實(shí)于數(shù)學(xué)問題的解決.

問題表征對(duì)問題解決具有極其重要的作用.在對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行表征過程中，導(dǎo)致建構(gòu)出錯(cuò)或者不完整的問題空間的因素是多方面的，如信息遺漏、信息誤解，或者受到數(shù)學(xué)術(shù)語的隱喻干擾等因素.因此，如何有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題表征能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù).

【參考文獻(xiàn)】

［1］傅小蘭，何海東.問題表征過程的一項(xiàng)研究［J］.心理學(xué)報(bào)，1995，27(2)：205-209.

［2］喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.南寧:廣西教育出版社，2004.

［3］Schoenfeld A H. Exploration of Students Mathematical Beliefs and Behavior ［J］. Journal for Research in Mathematics Education，1989(20):338-355.

［4］Hiebert J，Carpenter T P. Learning and Teaching with Understanding ［A］. In: Grouws D A. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning ［C］. New York: Macmillan，1992.

［5］唐劍嵐. 學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)信念的研究述評(píng)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16(1):30-33.