處理三角函數易錯題的三大絕招

有很多學生一上高中就最怕函數，尤其是三角函數問題.其主要原因是：三角函數公式較多，知識點散亂，很多同學容易記混，而且很多題目隱含條件較深不易挖掘.下面筆者就這些問題給讀者提供一些參考.

一、隱含條件要充分挖掘

例1 已知方程x2+33x+4=0的兩個實數根是tanα，tanβ，且α，β∈-π2，π2，則α+β等于（ ）.

A2π3

B-2π3

Cπ3或-2π3

D-π3或2π3

解 ∵tanα，tanβ是方程x2+33x+4=0的兩個實數根，

∴tanα+tanβ=-33<0，tanα#8226;tanβ=4>0，兩數“同號”且絕對值較大的為“-”.

又 α，β∈-π2，π2，∴α，β∈-π2，0，

從而-π<α+β<0.

又 ∵tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα#8226;tanβ=-331-4=3，

∴α+β=-2π3.

∵tan(α+β)=3，∴α+β=π3+kπ(k∈Z).

又 ∵-π<α+β<0，

∴-π<π3+kπ<0，解得-43

∵k∈Z，∴k=-1，從而α+β=-2π3.

二、已知三角函數值求角錯因分析

例2 若sinα=55，sinβ=1010，且α，β均為銳角，求α+β的值.

錯解 ∵α為銳角，∴cosα=1-sin2α=255.

又 ∵β為銳角，∴cosβ=1-sin2β=31010.

且sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=22，

由于0°<α<90°，0°<β<90°，

∴0°<α+β<180°.

故α+β=45°或135°.

錯因剖析 沒有注意挖掘題目中的隱含條件，忽視了對角的范圍的限制，造成出錯.事實上，僅由sin(α+β)=22，0°<α+β<180°，而得α+β=45°或135°是正確的，但題設中sinα=55<12，sinβ=1010<12，使得0°<α<30°，0°<β<30°，從而0°<α+β<60°，故上述結論是錯誤的.縮角是一種重要技巧.

點撥 因為y=cosx在［0，π］上是單調函數，所以本題先求cos(α+β)不易出錯.

正解 ∵α為銳角，∴cosα=1-sin2α=255.

又 ∵β為銳角，∴cosβ=1-sin2β=31010.

且cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=22，

由于0°<α<90°，0°<β<90°，

∴0<α+β<180°.故α+β=45°.

三、銳角△ABC中，恒有A+B>π2

例3 （2007年全國Ⅰ-理17）設銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2bsinA.

（1）求B的大小；

（2）求cosA+sinC的取值范圍.

解 （1）由a=2bsinA，根據正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=12，由△ABC為銳角三角形，得B=π6.

（2）cosA+sinC=cosA+sinπ-π6-A

=cosA+sinπ6+A

=cosA+12cosA+32sinA

=3sinA+π3.



由△ABC為銳角三角形知：

π2>A>π2-B=π2-π6=π4.

注意：銳角三角形中的隱含條件任意兩內角的和大于π2.

從而2π3

∴12

由此有32<3sinA+π3<32×3.

∴cosA+sinC的取值范圍為32，32.