眾里尋他 老曲新唱

關(guān)于“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”這一節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)，很多刊物給出了多個(gè)不同情境創(chuàng)設(shè)、不同的公式推導(dǎo)方案，并就此進(jìn)行了評(píng)析和反思，讀來(lái)頗受啟發(fā)，如文［1］.巧的是前一段時(shí)間筆者也正好參加了蘇州市高中評(píng)優(yōu)課比賽，課題也一樣！在參評(píng)過(guò)程中也遇到了很多類似的問(wèn)題，所以更有共鳴！和青年教師一起準(zhǔn)備參賽的過(guò)程中，在情境的創(chuàng)設(shè)和公式的推導(dǎo)方法兩個(gè)環(huán)節(jié)上，也曾遇到類似的困惑：如何創(chuàng)設(shè)一個(gè)恰如其分的等比數(shù)列求和的問(wèn)題情境？如何自然地引出求和公式推導(dǎo)中的“錯(cuò)位相減法”？我們也嘗試過(guò)類似于文中的幾種情境，但總感覺要么不符合客觀實(shí)際（諸如細(xì)胞分裂中細(xì)胞消失的問(wèn)題、銀行借款還款方式的不真實(shí)性、金融危機(jī)背景下私人借貸的某些不合情理的約定等等），要么就是文中傳統(tǒng)的情境2(在棋盤的每一個(gè)方格上由一粒麥子開始依次遞增的例子)，與后面的公式推導(dǎo)也相脫節(jié)，“錯(cuò)位相減法”的出現(xiàn)比較生硬.一番苦思冥想后，驀然回首，我發(fā)現(xiàn)了“燈火闌珊處”的一個(gè)情境創(chuàng)設(shè)，使得情境的創(chuàng)設(shè)成為源頭活水，公式的推導(dǎo)水到渠成，“錯(cuò)位相減法”也自然而然浮出了水面.說(shuō)來(lái)與大家分享：

先出示故事：在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國(guó)際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國(guó)王大為贊賞，對(duì)他說(shuō)：我可以滿足你的任何要求.西薩說(shuō)：請(qǐng)給我棋盤的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格.國(guó)王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來(lái)后，國(guó)王大吃一驚.為什么呢？

師：這個(gè)故事大家應(yīng)該很熟悉了，那你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？哪名同學(xué)能列出式子來(lái)？

生：1+2+22+23+…+262+263.（板書）

師：這就是一個(gè)等比數(shù)列的求和，也就是我們今天所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容了.直接去算，肯定很麻煩，我們能不能找到一個(gè)類似于等差數(shù)列那樣的求和公式呢？現(xiàn)在我把這個(gè)故事重新改編了一下：“棋盤的64個(gè)方格上，第一格放2粒小麥，第二格放4粒，第三格放8粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格.”這回要的是多少粒小麥？哪名同學(xué)能列出式子來(lái)？

生：2+22+23+23+…+262+263+264.（板書）

師：現(xiàn)在我們一起來(lái)看這兩個(gè)式子，它們有什么特點(diǎn)和聯(lián)系呢？

生：項(xiàng)數(shù)相同；都成等比數(shù)列，公比都為2；有相同的項(xiàng)（用彩色粉筆標(biāo)出相同的部分）；有倍數(shù)關(guān)系（后一個(gè)式子的值顯然是前一個(gè)式子值的2倍）.

師：如果把第一個(gè)式子記作S.

板書：S=1+2+22+23+…+262+263.(1)

那么第二個(gè)式子就可以記作什么？

生：2S=2+22+23+24+…+262+263+264.(2)

師：本來(lái)求（1）的值還是比較麻煩的事，現(xiàn)在是不是可以很方便地解決了？

生：S=264-1.

師：讓我們一起來(lái)回顧一下求（1）式的和的方法……其實(shí)（2）中的第1項(xiàng)到第63項(xiàng)分別就是（1）式中的第2項(xiàng)到第64項(xiàng)，兩式相減，這些項(xiàng)都抵消了……從而可以直接求出一個(gè)特殊的等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和.

師：我把這個(gè)故事再改編一下：“棋盤的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放q粒，第三格放q2粒，往后每一格都是前一格的q倍，直至第64格.”這回要的是多少粒小麥？

生：S=1+q+q2+q3+…+q62+q63.（3）

師：能求出上式的值嗎？讓學(xué)生自己去嘗試，有了前面的鋪墊，不少學(xué)生都會(huì)得到下面的結(jié)果：

qS=q+q2+q3+…+q63+q64.(4)

(3)-(4)，得(1-q)S=1-q64，∴S=1-q641-q.(5)

師:類比于前面的方法，我們很容易求出了（3）式的值，其思想也是構(gòu)造出一個(gè)（4）式，然后“錯(cuò)位”相減.是否要注意一下：這里的數(shù)q的特征？在這個(gè)具體問(wèn)題中，顯然是正整數(shù)，但如果是q=1呢？表達(dá)式(5)還適用不？怎么解決？……

和學(xué)生一起討論后得出：S=1-qn1-q(q≠1)，q=1時(shí)，S=n.

師：我們剛剛通過(guò)一個(gè)故事新編，解決了諸如（3）式這樣一類的求和問(wèn)題，那么對(duì)一般的等比數(shù)列的求和呢？

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.(6)

現(xiàn)在看到這樣的式子你又會(huì)有什么樣的想法呢？……學(xué)生順利地運(yùn)用錯(cuò)位相減的方法推導(dǎo)出了等比數(shù)列的求和公式……

從課堂的實(shí)際效果看，這樣的“老曲新唱”，比較好地解決了“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”推導(dǎo)過(guò)程中的一個(gè)“老大難”問(wèn)題：怎么想得到去錯(cuò)位相減的？以往學(xué)生對(duì)“錯(cuò)位相減法”都只是被動(dòng)地接受，機(jī)械地模仿，最后形成了看到這樣類型（每一項(xiàng)一部分成等差，另一部分成等比）的數(shù)列就用此法的“條件反射”.雖然是個(gè)小小的故事改編，但卻取得了意外的效果，也讓我不免多了幾分感慨：

1關(guān)于情境的創(chuàng)設(shè)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提到“教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問(wèn)題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程”，其中的“適當(dāng)”二字其實(shí)是最難把握的！江蘇的高中課改走過(guò)了四個(gè)年頭，重視情境的創(chuàng)設(shè)已成為了共識(shí)，但創(chuàng)設(shè)情境不光是為了情境而情境，也不是除了情境還是情境，不管是實(shí)例還是問(wèn)題、活動(dòng)、實(shí)驗(yàn)等情境的創(chuàng)設(shè)，都必須具有數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)的思想或方法能蘊(yùn)含其中，也就是通常所說(shuō)的“數(shù)學(xué)味兒”；而不是嘩眾取寵的熱鬧，也不是七拐八繞的繁瑣.能說(shuō)明問(wèn)題，能反映出本質(zhì)，就是好的情境.上面的故事新編，不失為一個(gè)很好的情境，學(xué)生既熟悉，又新鮮，還能很好地引出解決問(wèn)題的一種方法.許多教師以為只有熱鬧了、歡笑了、生活化了才能體現(xiàn)新課程理念，這是一種誤區(qū).其實(shí)課堂也需要靜思默想，需要開門見山，需要簡(jiǎn)潔明了，需要“老曲新唱”，一味地兜圈子、圖熱鬧，只會(huì)把學(xué)生弄糊涂；有時(shí)過(guò)度生活化的情境，只能是浪費(fèi)學(xué)生的感情和時(shí)間，別無(wú)他用.

2關(guān)于個(gè)性化的備課

如今信息時(shí)代，查查資料，拼湊剪貼，備出一節(jié)課來(lái)不是一件很難的事，憑已有的功底應(yīng)付平常的教學(xué)也似乎綽綽有余，更何況現(xiàn)在提倡的都是集體備課，所以很多青年教師在備課環(huán)節(jié)上就更用不著擔(dān)心了.而恰恰是這樣的情形，造成了我們老師另一方面的“惰性”，就是沒了自己，沒了獨(dú)立思考，沒了個(gè)性化的教學(xué)設(shè)計(jì)，也就沒了個(gè)性化的課堂.很多課聽下來(lái)，感覺都是一個(gè)味道，一個(gè)模子里澆出來(lái)似的.試想一下，老師、課堂都像流水線上生產(chǎn)產(chǎn)品似的，學(xué)生的個(gè)性化又從何談起呢？因此在借他山之石后，自己也要經(jīng)過(guò)一番打磨，方能攻玉.我們的青年老師要能平心靜氣地坐下來(lái)，潛心會(huì)文，加以咀嚼、內(nèi)化，才會(huì)上出精彩的有個(gè)性的課.上面的設(shè)計(jì)，不能算是十全十美，方式、方法多種多樣，但最起碼有了自己的想法，把自己的想法再融入課堂設(shè)計(jì)，這樣的課就自然貼上了個(gè)性化的標(biāo)簽，也上出了自己的特性.用心了，自然就會(huì)有所發(fā)現(xiàn)、有所收獲.

3關(guān)于學(xué)生主體性的體現(xiàn)

不是學(xué)生活動(dòng)了主體性就體現(xiàn)了，更不是活動(dòng)得越多體現(xiàn)得越充分.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“在教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)高中數(shù)學(xué)課程的理念和目標(biāo)，學(xué)生的認(rèn)知特征和數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，積極探索適合高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)方式.”說(shuō)的就是我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，要時(shí)刻不忘學(xué)生，時(shí)刻琢磨著是不是“適合”學(xué)生，要知道適合不適合，首先就要了解學(xué)生的已有認(rèn)知，還要把握所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的特性，更要關(guān)注學(xué)生上課時(shí)的及時(shí)反饋.學(xué)生主體性的體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)的“預(yù)設(shè)”中就已經(jīng)體現(xiàn)出了，當(dāng)然也表現(xiàn)在師生平等的“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的交流之中，而不是一味地“放”.比如本課設(shè)計(jì)中的幾個(gè)環(huán)節(jié)，不僅考慮到學(xué)生的實(shí)際接受能力，而且很多都是在師生的反復(fù)交流中才能完成的，但同樣可以體現(xiàn)學(xué)生的主體性.形式只是外衣，內(nèi)容和過(guò)程更重要.

4關(guān)于“隱形”目標(biāo)的培養(yǎng)

諸如“數(shù)學(xué)思想”“應(yīng)用意識(shí)”“情感態(tài)度”“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”等等，都是些看不見、摸不著的“隱形”目標(biāo)，對(duì)一堂具體的課而言，大多只能是滲透于其中的，無(wú)需言傳只可意會(huì).所以在一堂課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置上，是不是可以更切合實(shí)際些，不要面面俱到？把這些作為我們數(shù)學(xué)教學(xué)的整體目標(biāo)和終極目標(biāo)是不是更貼切些？就如上面的課例設(shè)計(jì)，挖空心思去總結(jié)出什么思想、方法，什么情感、態(tài)度，什么意識(shí)、素養(yǎng)，或多或少都可以找到些，但是不是可以淡化一點(diǎn)呢？是不是可以在某一個(gè)方面有所側(cè)重呢？光是嘴上和紙上是培養(yǎng)不出什么來(lái)的，更多的隱形目標(biāo)是靠落實(shí)到每一節(jié)課和每一個(gè)細(xì)微的教學(xué)設(shè)計(jì)之中.否則也只是由你老師總結(jié)出，再?gòu)?qiáng)加給學(xué)生而已，根本就談不上“培養(yǎng)”了.

其實(shí)這樣的課例比比皆是，關(guān)鍵是做個(gè)有心之人，常回首，在燈火闌珊之處，就會(huì)有一個(gè)個(gè)精彩等著你！