(p)在Q(λu)中的擴張素理想P在Q(ζλ,λu)中的分解

【摘要】設F=Q(ζλ，λu)，其中λ為奇素數，本文給出了奇素數p在Q(λu)中的擴張素理想P在F中的分解形式.

【關鍵詞】素理想分解;分歧指數；剩余類域次數

文獻［1］通過擴張平移的方法討論了Q中素理想(p)在Q(λu)中的分解問題（p，λ為奇素數），在本文中，我們采用該文章中的結論，運用文獻［2］中的分歧指數、剩余類域次數公式和Galois擴張理論，得出奇素數p在Q(λu)中的擴張素理想P在Q(ζλ，λu)中的分解形式.

引理1 設P1，P2為(p)在F(ξλ)中的任意兩個擴張，則P1，P2在F(λμ，ξλ)中的分解形式相同，其中ξλ為λ次本原單位根.

引理2 P在F(λμ)中為完全分歧的（素的）充要條件為：P在F(ξλ)中的某一擴張在F(λμ，ξλ)中為完全分歧的（素的）.

引理3 Q中素理想(p)在Q(λu)中的素理想分解形式如下：

（1）(p)在Q(λu)中完全分歧，即(p)=Pλ.

（2）(p)在Q(λu)中慣性，即(p)=P.

（3）當P在Q(ζλ，λu)中完全分裂時，這里P為(p)在Q(ζλ)中的任一素理想擴張，①當(p，λ)=1時，則(p)在Q(λμ)中的素理想分解為：(p)=P0P1P2…Ps，其中e(Pi/(p))=1，i=0，1，2，…，s，f(P0/(p))=1，f(Pj/(p))=f，j=1，2，…，s，sf=λ-1，f為p(modλ)的階數；②當p=λ時，則(p)在Q(λμ)中的分解為(p)=P0Pλ-11，其中f(Pi/(p))=1，i=0，1，e(P0/(p))=1，e(P1/(p))=λ-1.

注意 下面定理中與P有關的字母表示（包含帶有下標的）都是指(p)在Q(ζλ)中的素理想擴張，與P有關的字母表示（包含帶有下標的）都是指(p)在Q(λu)中的素理想擴張，與Q有關的字母表示（包含帶有下標的）都是指(p)在Q(ζλ，λu)中的素理想擴張.

定理 （1）當(p，λ)=1時，①當(p)在Q(λu)中完全分歧（或慣性）時，則P在Q(ζλ，λu)上的素理想分解形式為：P=Q1Q2…Qg，f(Qi/P)=f，i=1，2，…，g，這里g=φ(λ)f，f為p(modλ)的階數；②當P在Q(ζλ，λu)中完全分裂時，這里P為(p)在Q(ζλ)中的任一素理想擴張，有(p)在Q(λμ)中的素理想分解為：(p)=P0P1P2…Ps，其中e(Pi/(p))=1，i=0，1，2，…，s，f(P0/(p))=1，f(Pj/(p))=f，j=1，2，…，s，sf=λ-1，f為p(modλ)的階數，則P0=Q01Q02…Q0g，f(Q0i/P0)=f，i=1，2，…，g，Pk=Qk1Qk2…Qkφ(λ)（完全分裂），k=1，2，…，s.

（2）當p=λ時，①當(p)在Q(λu)中完全分歧（或慣性）時，則P在Q(ζλ，λu)上的素理想分解形式為：P=Qφ(λ)（完全分歧）；②當P在Q(ζλ，λu)中完全分裂時，P為(p)在Q(ζλ)中的任一素理想擴張，有(p)在Q(λμ)中的素理想分解為：(p)=P0Pλ-11，其中f(Pi/(p))=1，i=0，1，e(P0/(p))=1，e(P1/(p))=λ-1，則P0=Qφ(λ)0（完全分歧），P1=Q1Q2…Qφ(λ)（完全分裂）.

證明 根據文獻［2］中分圓域Q(ζn)中的素理想分解理論，（a）當(p，λ)=1時，(p)在Q(ζλ)上素理想分解形式為：(p)=P1P2…Pg，這里g=φ(λ)f，f=f(Pi/(p))為p(modλ)的階數，i=1，2，…，g；（b）當p=λ時，(p)在Q(ζλ)上素理想分解形式為：(p)=Pφ(λ)（完全分歧），以及文獻［2］中關于分歧指數和剩余類域次數的傳遞公式e(Q/P)#8226;e(P/(p))=e(Q/P)#8226;e(P/(p))（公式1），f(Q/P)#8226;f(P/(p))=f(Q/P)#8226;f(P/(p))（公式2），這里P，P，Q分別為(p)在Q(ζλ)，Q(λμ)，Q(ζλ，λu)上的任意素理想擴張.

當(p)在Q(λu)中完全分歧（或慣性）時，由引理2，P在Q(ζλ，λu)上也完全分歧（或慣性），即e(P/(p))=e(Q/P)，f(P/(p))=f(Q/P)，代入公式1和公式2，得到e(Q/P)=e(P/(p))，f(Q/P)=f(P/(p)).

從而（a）當(p，λ)=1時，e(Q/P)=e(P/(p))=1，f(Q/P)=f(P/(p))=f，根據文獻［2］中Galois擴張理論，得到P在Q(ζλ，λu)上的素理想分解形式為：P=Q1Q2…Qg，

f(Qi/P)=f，i=1，2，…，g，這里g=φ(λ)f，f為p(modλ)的階數；同理可得（b）當p=λ時，得到e(Q/P)=e(P/(p))=φ(λ)，f(Q/P)=f(P/(p))=1，從而P在Q(ζλ，λu)上的素理想分解形式為：P=Qφ(λ)（完全分歧）.（這就證明了（1）和（2）中的①）接下來證明定理中的（1）②.

當(p，λ)=1并且P在Q(ζλ，λu)中完全分裂時，這里P為(p)在Q(ζλ)中的任一素理想擴張，有(p)在Q(λμ)中的素理想分解為：(p)=P0P1P2…Ps，其中e(Pi/(p))=1，i=0，1，2，…，s，f(P0/(p))=1，f(Pj/(p))=f，j=1，2，…，s，sf=λ-1，f為p(modλ)的階數；根據公式1和公式2，可知e(Q/Pi)=1，i=0，1，2，…，s，f(Q/P0)=f，f(Q/Pj)=1，j=1，2，…，s，根據文獻［2］中Galois擴張理論，得到Pi（i=0，1，2，…，s）在Q(ζλ，λu)上的素理想分解形式為：P0=Q01Q02…Q0g，f(Q0i/P0)=f，i=1，2，…，g，Pk=Qk1Qk2…Qkφ(λ)（完全分裂），k=1，2，…，s.

最后來證明定理中的（2）②.

當p=λ并且P在Q(ζλ，λu)中完全分裂時，這里P為(p)在Q(ζλ)中的任一素理想擴張，有(p)在Q(λμ)中的素理想分解為：(p)=P0Pλ-11，其中f(Pi/(p))=1，i=0，1，e(P0/(p))=1，e(P1/(p))=λ-1，根據公式1和公式2，可知f(Q/Pi)=1，i=0，1，e(Q/P0)=φ(λ)=λ-1，e(Q/P1)=1，根據文獻［2］中Galois擴張理論，得到Pi（i=0，1）在Q(ζλ，λu)上的素理想分解形式為：P0=Qφ(λ)0（完全分歧），P1=Q1Q2…Qφ(λ)（完全分裂）.

【參考文獻】

［1］郝一凡，高恩偉，張金霞.素理想(p)在Q(lu)中的分解.數學雜志，2002，22(1):94-96.

［2］馮克勤.代數數論.北京：科學出版社，2000.