抓住一條線,學好數列求通項

數列通項的求法是高中數學的一塊重點知識，也是高考的熱點，但同時又是我們同學學習的一塊難點.在教學中，教師應充分考慮到學生的認知特點，結合新課改原理，遵循由簡單到復雜，由特殊到一般，再借助特殊解決一般的方法，來解決數列求通項問題.

在教學的過程中，筆者發現，其實很多非特殊數列都可以看作是等差數列的一些簡單變形后得到的，故只要抓住等差數列這一條線，對其中的幾個量加以變化，便可得到不同類型的數列.本文就對此進行簡單闡述，以期對同仁的教學和同學的學習有所啟示.

等差數列是我們高中學習的兩類特殊數列之一，只要某一數列相鄰兩項之間的關系滿足an+1=an+d，其中d為常數，進一步說，需滿足an+1和an前的系數一致，以及d為常數即可，如man+1=man+d(m≠0)，可知此數列為等差數列均可以直接用公式加以解決.

變形1 an+1=an+f(n)

此數列我們可以看作是等差數列的一個簡單變形，即保持an+1和an前的系數一致不變，而將原先的常數d變為了一個關于n的關系式f(n)，此類數列的通項公式求法可以使用等差數列求通項的推導方法之一，即累加法解決.

例1 已知數列{an}滿足an+1=an+2n+1，a1=1，求數列{an}的通項公式.

解 由an+1=an+2n+1，得an+1-an=2n+1，

則an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+ (a2-a1)+a1

=2［(n-1)+(n-2)+…+2+1］+(n-1)+1

=2(n-1)n2+(n-1)+1

=(n-1)(n+1)+1=n2，



∴數列{an}的通項公式為an=n2.

變形2 an+1=pan+d(p≠1)

此數列我們也可以看作是等差數列的一個簡單變形，即保持d這個常數不變，而將an+1和an前的系數變成不一致，此類數列的通項公式求法可以采用構造一個新數列的方法解決，即兩邊同時加上dp-1，構造成為an+1+dp-1=pan+dp-1成為一個新的等比數列.

例2 設數列{an}滿足a1=3，an=3an-1+2(n>1，n∈N*)，求數列{an}的通項公式.

解 an+1+1=3(an+1)，即數列{an+1}是以a1+1=2為首項，公比為3的等比數列，∴an=2#8226;3n-1-1.

變形3 an+1=pan+f(n)(p≠1)

此數列我們可以看作是變形1和變形2的一個疊加，即不僅將d這個常數變為關于n的一個關系式，而且將an+1和an前的系數變成不一致.此類數列的通項公式求法我們亦可以采用構造的方法將其化歸成我們比較熟悉的類型.

例3 （2010年重慶（理）改編）在數列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n+1(2n+1)(n∈N*)，求{an}的通項公式.

解 由原式，得an+12n+1=an2n+(2n+1).

令bn=an2n，則b1=12，bn+1=bn+(2n+1)，

因此對n≥2有

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1

=(2n-1)+(2n-3)+…+3+12

=n2-1+12.



∵bn=an2n，∴an2n=n2-1+12，

即an=(n2-1)2n+2n-1.

又當n=1時，上式成立，因此，an=(n2-1)2n+2n-1，對任何n∈N*都成立.

變形4 形如an+1=pan+qan-1(n≥2)的遞推式

此數列我們可以看作是等差數列兩項之間的關系提升到三項之間的關系，此類數列的通項公式求法我們往往通過中間項an拆分，從而構造相鄰兩項之間的關系得到一個新的數列.

例4 在數列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=23an+1+13an，求{an}的通項公式.

解 通過觀察兩邊同時減去an+1，從而得到

an+2-an+1=-13(an+1-an).

∴{an+1-an}是以a2-a1=1為首項，-13為公比的等比數列.

∴an+1-an=-13n-1.

筆者通過以上梳理，通過線式教學，使得同學在學習這一塊內容時，能牢牢抓住等差數列這一特殊數列，以此為中心向四周發散，從而得到一系列非特殊數列的求法，以此達到事半功倍的效果.