含參集值向量均衡問題弱全局有效解映射的連續(xù)性

【摘要】在賦范線性空間中，引進(jìn)了含參集值向量均衡問題弱全局有效解的概念，得到了含參集值向量均衡問題的弱全局有效解集的標(biāo)量化結(jié)果，并在標(biāo)量化結(jié)果的基礎(chǔ)上，研究了含參集值向量均衡問題弱全局有效解映射的連續(xù)性.

【關(guān)鍵詞】含參集值向量均衡問題；弱全局有效解；上半連續(xù)；下半連續(xù)

【基金項(xiàng)目】國家自然科學(xué)基金（10561007）；江西省自然科學(xué)基金（2008GZS0072）；南昌航空大學(xué)博士啟動(dòng)金項(xiàng)目“集合拓?fù)渑c非線性問題的穩(wěn)定性研究”（EA200907383）

我們知道，對(duì)向量變分不等式和向量均衡問題研究的一個(gè)重要問題是它們解的存在性.而另一個(gè)重要問題是研究向量變分不等式和向量均衡問題解集的性質(zhì)，例如穩(wěn)定性.特別是對(duì)含參向量變分不等式和含參向量均衡問題的研究，Li，chen和Teo，Cheng和Zhu及Gong等做了相關(guān)的研究.Gong在無限維空間中引進(jìn)了向量均衡問題的各種真有效解的概念，其中包括f-有效解、Henig有效解、全局有效解、超有效解、錐超有效解、Benson有效解，并得到了相應(yīng)解集的標(biāo)量化結(jié)果.本文在賦范線性空間中，引進(jìn)了含參集值向量均衡問題弱全局有效解的概念，得到了含參集值向量均衡問題的弱全局有效解集的標(biāo)量化結(jié)果，并在標(biāo)量化結(jié)果的基礎(chǔ)上，研究了含參集值向量均衡問題弱全局有效解映射的連續(xù)性.在文獻(xiàn)［7］中，Henig有效解是在有基的情況下研究的下半連續(xù)性，而此篇文章是在intC≠的情況下研究的下半連續(xù)性.

1預(yù)備知識(shí)與定義

本文通篇設(shè)X，Y是實(shí)賦范線性空間，設(shè)Y*是Y的共軛空間，C是Y中的非空閉凸點(diǎn)錐.Z是X中的一個(gè)非空子集，F(xiàn)：A×A→2Y是一個(gè)集值映射.我們考慮以下的集值向量均衡問題（SVEP）:找出∈A，使得F(，y)-P，對(duì)所有y∈A，其中P∪{0}是Y中的凸錐.

C的對(duì)偶錐C*定義如下：

C*={f∈Y*：f(y)≥0，y∈C}.

C*的擬內(nèi)部C#定義如下：

C#={f∈Y*：f(y)>0，y∈C＼{0}}.

設(shè)D是Y中的非空子集，D的錐包定義為coneD={td：t≥0，d∈D}.

定義11 x∈A稱為是(SVEP)的弱有效解，若F(x，y)-intC，y∈A，(SVEP)的全體弱有效解全體記為Vw(A，F(xiàn)).

定義12 設(shè)f∈C*＼{0}，x∈A稱為是(SVEP)的f-有效解，若f(F(x，y))≥0，y∈A，其中f(F(x，y))≥0表示z∈F(x，y)，有f(z)≥0，(SVEP)的f-有效解全體記為Vf(A，F(xiàn)).

設(shè)Z是拓?fù)淇臻g，Λ是Z的非空子集，E是X中非空子集；當(dāng)集合A和函數(shù)F受到μ（其中μ∈ΛZ）擾動(dòng)時(shí)，含參集值向量均衡問題(PSVEP)μ為：找出x∈A(μ)，使得F(x，y，μ)∩(-P)=，y∈A(μ).

其中P∪{0}是Y中的凸錐，F(xiàn)：E×E×Λ→2Y是集值映射，集值映射A：Λ→2X滿足μ∈Λ，A(μ)E.

對(duì)每個(gè)μ∈Λ，記Vw(μ)為(PSVEP)μ的弱全局有效解集，其中Vw(μ)={x∈A(μ)：F(x，y，μ)∩(-intC)=，y∈A(μ)}.

Henig有效解集為VH(μ)={x∈A(μ)：存在0<ε<δ，使得F(x，y，μ)∩(-intCε(B))=，y∈A(μ)}.

其中B是C的基，U是Y中的閉單位球，δ=inf{‖b‖：b∈B}，Cε(B)=cl(cone（B+εU))，0<ε<δ.

通過比較，我們可以得到VH(μ)Vw(μ).

同樣對(duì)每個(gè)f∈C*＼{0}，μ∈Λ，(PSVEP)μ的f-有效解集記為Vf(μ)={x∈A(μ)：f(F(x，y，μ))≥0，y∈A(μ)}.

定義13 設(shè)μ∈Λ，A(μ)是X中的一個(gè)非空凸子集，F(xiàn)：A(μ)×A(μ)×Λ→2Y是集值映射；若對(duì)任意固定的x∈A(μ)，y1，y2∈A(μ)，t∈［0，1］，有tF(x，y1，μ)+(1-t)#8226;F(x，y2，μ)F(x，ty1+(1-t)y2，μ)+C，則稱F(x，y，μ)關(guān)于第二個(gè)變量是C-凸的.

定義14 設(shè)μ∈Λ，A(μ)是X中的非空子集，F(xiàn):A(μ)×A(μ)×Λ→2Y是集值映射.

（1）稱F(#8226;，#8226;，μ)在A(μ)×A(μ)是C-單調(diào)的，如果x，y∈A(μ)，有F(x，y，μ)+F(y，x，μ)-C.

(2)稱F(#8226;，#8226;，μ)在A(u)×A(μ)上是C-嚴(yán)格單調(diào)的，如果F（#8226;，#8226;，μ)是C-單調(diào)的，且x，y∈A(μ)，當(dāng)x≠y時(shí)，有F(x，y，μ)+F(y，x，μ)-intC.

定義15 稱從Z的子集Λ到X的集值映射A在μ∈Λ附近是一致緊的，如果存在μ的鄰域U，使得cl∪μ∈UA(μ)是緊集.

定義16 設(shè)G是從拓?fù)淇臻gW到拓?fù)淇臻gQ的集值映射.

（1）稱G:W→2Q在x0∈W點(diǎn)處是上半連續(xù)的，如果對(duì)G(x0)的任意一個(gè)鄰域U(G(x0))，存在x0的一個(gè)鄰域U(x0)，使得G(x)U(G(x0))，x∈U(x0)，稱G在W上是上半連續(xù)的，如果G在W上的每一個(gè)點(diǎn)是上半連續(xù)的.

（2）稱G:W→2Q在x0∈W點(diǎn)處是下半連續(xù)的，如果對(duì)y0∈G(x0)，以及y0的任意一個(gè)鄰域U(y0)，存在x0的鄰域U(x0)，使得G(x)∩U(y0)≠，x∈U(x0).

稱G在W上是下半連續(xù)的，如果G在W上每一個(gè)點(diǎn)是下半連續(xù)的.

稱G在W上是連續(xù)的，如果G在W上既是上半連續(xù)又是下半連續(xù)的.

(3)稱G是閉映射，如果Graph(G)={(x，y):x∈W，y∈G(x)}是W×Q的閉子集.

定義17 設(shè)X為一Hausdorff拓?fù)渚€性空間，K是X中的非空子集，稱G:K→2X為KKM映射，如果對(duì)任意的有限集{x1，…，xn}K，有co{x1，…，xn}∪ni=1G(xi).

引理11 (FKKM定理）設(shè)X為一Hausdorff拓?fù)渚€性空間，K是X中的非空子集，設(shè)G:K→2X為KKM映射，再設(shè)對(duì)每一x∈K，G(x)為X中的閉集，且至少存在一點(diǎn)x0∈K，G(x0)是X中的緊集，則∩x∈KG(x)≠.

引理12 設(shè)μ∈Λ，A(μ)是X中的非空凸子集，F(xiàn):A(μ)×A(μ)×Λ→2Y是集值映射，CY是閉凸點(diǎn)錐，F(xiàn)(x，y，μ)關(guān)于第二個(gè)變量是C-凸的，則對(duì)x∈A(μ)，F(xiàn)(x，A(μ)，μ)+C是凸集.

引理13 設(shè)C是Y中非空閉凸點(diǎn)錐，A是Λ到X的具有非空緊凸值的連續(xù)集值映射，E是X中的非空子集，F(xiàn):E×E×Λ→2Y是一個(gè)集值映射，μ∈Λ，A(μ)E，且x∈A(μ)，F(xiàn)(x，x，μ)C；又設(shè)F(x，y，μ)關(guān)于第一個(gè)變量是下半連續(xù)的，關(guān)于第二個(gè)變量是C-凸的，則對(duì)于任意固定的μ∈Λ，f∈C*＼{0}，Vf(μ)≠.

2含參集值向量均衡問題弱全局有效解集的標(biāo)量化

定理21 設(shè)μ∈Λ，intC≠，則

(1)∪f∈C*＼{0}Vf(μ)Vw(μ)；

(2)又若x∈A(μ)，F(xiàn)(x，A(μ)，μ)是C-凸集，則Vw(μ)=∪f∈C*＼{0}Vf(μ).

證明 (1)設(shè)x∈∪f∈C*＼{0}Vf(μ)，則f∈C*＼{0}，使得x∈Vf(μ)，即有x∈A(μ)且

f(F(x，y，μ))≥0，y∈A(μ).（2.1）

若xVw(μ)，則有xA(μ)或者x∈A(μ).

若xA(μ)，顯然矛盾！

若x∈A(μ)，則存在y′∈A(μ)，使得F(x，y′，μ)∩(-intC)≠，y∈A(μ).

于是存在z∈F(x，y′，μ)且z∈(-intC)，那么由f∈C*＼{0}，則當(dāng)z∈F(x，y′，μ)時(shí)，有f(z)≥0，而由z∈(-intC)，有f(z)<0，矛盾.

所以，x∈Vw(μ)，故∪f∈C*＼{0}Vf(μ)Vw(μ).

（2）由（1）知，只需證明Vw(μ)∪f∈C*＼{0}Vf(μ).

設(shè)x∈Vw(μ)，由定義F(x，y，μ)∩(-intC)=，y∈A(μ)，故F(x，A(μ)，μ)∩(-intC)=.所以(F(x，A(μ)，μ)+C)∩(-intC)=.

由已知條件，F(xiàn)(x，A(μ)，μ)+C是凸集，故由凸集分離定理知f∈Y*＼{0}，使得inf{f(F(x，y，μ)+c)：y∈A(μ)，c∈C}≥sup(f(-c)：c∈intC}，所以f(F(x，y，μ))≥0，y∈A(μ).因此，x∈∪f∈C*＼{0}Vf(μ)，于是Vw(μ)∪f∈C*＼{0}Vf(μ).

綜上可知，Vw(μ)=∪f∈C*＼{0}Vf(μ).

3解映射的上半連續(xù)性

定理3.1 設(shè)C是Y中的非空閉凸點(diǎn)錐，且intC≠，A是Λ到X的具有非空緊凸值的連續(xù)集值映射，E是X中的非空子集，μ∈Λ，A(μ)E，且A(#8226;)在μ∈Λ附近是一致緊的；設(shè)映射F:E×E×Λ→2Y是一個(gè)集值映射，μ∈Λ，F(xiàn)(#8226;，#8226;，μ)在A(μ)×A(μ)上是C-單調(diào)的，且x∈A(μ)，F(xiàn)(x，x，μ)C；又設(shè)F在E×E×Λ上是下半連續(xù)的，關(guān)于第二個(gè)變量是C-凸的，則Ww（#8226;）在Λ上是上半連續(xù)的.

證明 由引理1.3知，f∈C*＼{0}，μ∈Λ，有Vf(μ)≠.

對(duì)任意給定的μ∈Λ，x∈A(μ)，由引理1.2知，F(xiàn)(x，A(μ)，μ)是C-凸集.

再由定理2.1知，Vw(μ)=∪f∈C*＼{0}Vf(μ)，則Vw(μ)≠.

首先證明Vw(μ)為一個(gè)閉映射.

對(duì)任意的網(wǎng){xα}∈Vw(μα)，且μα→μ，xα→x，有F(xα，y，μα)∩(-intC)=，y∈A(μα).

因此有：F(xα，y，μα)-intC，y∈A(uα).（3.1）

因?yàn)閤α∈A(μα)，A是上半連續(xù)的，且具有閉值，由［8］，A(μ)是一個(gè)閉映射，因此x∈A(μ).

如果xVw(μ)，則存在y0∈A(μ)，使得

F(x，y0，μ)∩(-intC)≠.（3.2）

由A的下半連續(xù)性，存在yα∈A(μα)，使得yα→y0，由（3.1）有F(xα，yα，μα)∈Y＼-intC.（3.3）

因?yàn)镕為下半連續(xù)的，對(duì)（3.3）兩邊取極限，得F(x，y0，μ)∈Y＼-intC，即F(x，y0，μ)∩(-intC)=.

這與（3.2）矛盾，因此，x∈Vw(μ)，因此，Vw(#8226;)是一個(gè)閉映射.

下證Vw(#8226;)在Λ上是上半連續(xù)的.

假設(shè)存在某個(gè)μ∈Λ，使得Vw(#8226;)在μ點(diǎn)不是上半連續(xù)的，則存在Vw(μ)的一個(gè)開鄰域U和網(wǎng){μα，α∈I}，且μα→μ，使得Vw(μα)U，對(duì)α∈I.

因此，存在xα∈Vw(μα)，使得

xαU，對(duì)α∈I.（3.4）

因?yàn)閤α∈Vw(μα)，所以有xα∈A(μα).

由已知，A(#8226;)在μ附近是一致緊的，我們假設(shè)xα→x*，因?yàn)閂w(#8226;)是閉映射，我們得到x*∈Vw(μ)U.

因?yàn)閤α→x*，且U為一個(gè)開集，存在α0∈I，使得xα∈U，α≥α0，這與（3.4）矛盾，因此，Vw(#8226;)是上半連續(xù)的.

4解映射的下半連續(xù)性

引理4.1 設(shè)f∈C*＼{0}，μ∈Λ.若F(#8226;，#8226;，μ)在A(μ)×A(μ)上是C-嚴(yán)格單調(diào)的，且Vf(μ)≠，則Vf(μ)是單點(diǎn)集.

引理4.2 設(shè)C是Y中的非空閉凸點(diǎn)錐，A是Λ到X的具有非空緊凸值的連續(xù)集值映射，E是X中的非空子集，μ∈Λ，A(μ)E，且A(#8226;)在μ∈Λ附近是一致緊的；設(shè)映射F:E×E×Λ→2Y是一個(gè)集值映射，且x∈A(μ)，F(xiàn)(x，x，μ)C；又設(shè)F在E×E×Λ上是下半連續(xù)的，關(guān)于第二個(gè)變量是C-凸的，且對(duì)任意的μ∈Λ，F(xiàn)(#8226;，#8226;，μ)在A(μ)×A(μ)上是C-嚴(yán)格單調(diào)的，則對(duì)f∈C*＼{0}，Vf(#8226;)在Λ上是連續(xù)映射.

定理4.3 設(shè)C是Y中的非空閉凸點(diǎn)錐，且intC≠，A是Λ到X的具有非空緊凸值的連續(xù)集值映射，E是X中的非空子集，μ∈Λ，A(μ)E，且A(#8226;)在μ∈Λ附近是一致緊的；設(shè)映射F:E×E×Λ→2Y是一個(gè)集值映射，μ∈Λ，F(xiàn)(#8226;，#8226;，μ)在A(μ)×A(μ)上是C-嚴(yán)格單調(diào)的，且x∈A(μ)，F(xiàn)(x，x，μ)C；又設(shè)F在E×E×Λ上是下半連續(xù)的，關(guān)于第二個(gè)變量是C-凸的，則Vw(#8226;)在Λ上是下半連續(xù)的.

證明 由引理1.3知，f∈C*＼{0}，μ∈Λ，有Vf(μ)≠.

對(duì)任意給定的μ∈Λ，由引理1.2知，F(xiàn)(x，A(μ)，u)是C-凸集，再由定理2.1知，Vw(μ)=∪f∈C*＼{0}Vf(μ).

由引理4.1知，f∈C*＼{0}，Vf(μ)是單點(diǎn)集.設(shè)μα→μ，且x∈Vw(μ)，則f∈C*＼{0}，使得x=Vf(μ).由引理4.2知，Vf(#8226;)在μ處是連續(xù)的，從而有Vf(μα)→Vf(μ).令{xα}=Vf(μα)，由Vf(μα)Vw(μα)知，xα∈Vw(μα)，從而xα→x.因此，Vw(#8226;)在μ處是下半連續(xù)的，再由μ∈Λ的任意性可知，Vw(#8226;)在Λ上是下半連續(xù)的.

【參考文獻(xiàn)】

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