對《線性代數(shù)》教學的一些思考

摘要：《線性代數(shù)》是工科高校中頗為重要的一門課，也是較抽象難學的一門課程。本文從理論與實踐兩方面以作者的體會與認識，提出《線性代數(shù)》教學抽象概念的講解應注意的幾點問題，闡釋了如何進行《線性代數(shù)》課程的課堂教學，并且能收到良好的教學效果。 

關鍵詞：線性代數(shù) 數(shù)學概念 教學方法

《線性代數(shù)》是高等院校理、工類專業(yè)重要的數(shù)學基礎課。它不但廣泛應用于概率統(tǒng)計、微分方程、控制理論等數(shù)學分支，而且其知識已滲透到自然科學的其它學科，如工程技術、經(jīng)濟與社會科學等領域。不僅如此，這門課程對提高學生的數(shù)學素養(yǎng)、訓練與提高學生的抽象思維能力與邏輯推理能力都有重要作用。但由于“線性代數(shù)”本身的特點，對其內(nèi)容學生感到比較抽象，要深入理解與掌握代數(shù)的基本概念與基本理論學生感到相當吃力、難以理解。因此，為培養(yǎng)與提高學生應用數(shù)學知識、解決實際問題的能力，進一步研究這門課程的教學思想和方法對提高教學效果甚為重要。

1 加強基本概念的教與學

線性代數(shù)這一抽象的數(shù)學理論和方法體系是由一系列基本概念構(gòu)成的。行列式、矩陣、逆矩陣、初等矩陣、轉(zhuǎn)置、線性表示、線性相關、特征值與特征向量等抽象概念根植于客觀的現(xiàn)實世界，有著深刻的實際背景，即是比較直接抽象的產(chǎn)物。高等數(shù)學與初等數(shù)學在含義與思維模式上的變化必然會在教學中有所反映。線性代數(shù)作為中學代數(shù)的繼續(xù)與提高，與其有著很大不同，這不僅表現(xiàn)在內(nèi)容上，更重要的是表現(xiàn)在研究的觀點和方法上。在研究過程中一再體現(xiàn)由具體事物抽象出一般的概念，再以一般概念回到具體事物去的辨證觀點和嚴格的邏輯推理。新生剛進入大學，其思維方式很難從初等數(shù)學的那種直觀、簡潔的方法上升到線性代數(shù)抽象復雜的方式，故思維方式在短期內(nèi)很難達到線性代數(shù)的要求。大部分同學習慣于傳統(tǒng)的公式，用公式套題，不習慣于理解定理的實質(zhì)，用一些已知的定理、性質(zhì)及結(jié)論來推理、解題等。 

1.1 合理借助概念的直觀性。盡管抽象性是《線性代數(shù)》這門課的突出特點，直觀性教學同樣可應用到這門課的教學上，且在教學中占有重要地位。歐拉認為：“數(shù)學這門科學，需要觀察，也需要實驗，模型和圖形的廣泛應用就是這樣的例子?！敝庇^有助于概念的引入和形成。如介紹向量的概念，盡管抽象，但它具有幾何直觀背景，在二維空間、三維空間中，向量都是有向線段，由此教學中可從向量的幾何定義出發(fā)講解抽象到現(xiàn)有形式的過程，降低學生抽象思考的難度。 

1.2 充分利用概念的實際背景和學生的經(jīng)驗。教師在教學中應充分利用學生已有的數(shù)學現(xiàn)實和生活經(jīng)驗，引導和啟發(fā)學生進行概念發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。如在講解n階行列式，首先從學生已掌握的二元、三元一次方程組的求解入手，然后求出方程組的解由二階、三階行列式表示，分析二階、三階行列式的特點。 

二階行列式，不難看出：它含有兩項，若不考慮符號，每項均是來自不同行不同列的兩個元素的乘積，那么會提出這樣的問題：右邊各項之前所帶的正負號有什么規(guī)律？同樣的，三階行列式若不考慮符號，它含有3！=6項，每項也是來自不同行不同列的三個元素的乘積，并且包含了所有由不同行不同列的三個元素的組合。為解決n階行列式，又引出排列的概念、性質(zhì)，介紹奇偶排列后，又回到我們提出的問題上，可以發(fā)現(xiàn)，行標按自然排列，列標排列為奇排列時，該項為負；列標排列為偶排列時，該項為正（問題得到解決）。經(jīng)過這一過程，學生對n階行列式已有接觸和了解，此時可給出n階行列式定義，這樣一來，學生就容易理解和掌握n階行列式的性質(zhì)了。 

1.3 注意概念體系的建立。R.斯根普指出：“個別的概念一定要融入與其它概念合成的概念結(jié)構(gòu)中才有效用。”數(shù)學中的概念往往不是孤立的，理解概念間的聯(lián)系既能促進新概念的引入，也有助于接近已學過概念的本質(zhì)及整個概念體系的建立。如矩陣的秩與向量組的秩的聯(lián)系：矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩；矩陣行(列)滿秩，與向量組的線性相關和線性無關也有一定的聯(lián)系。 

2 學生要掌握科學的學習方法 

學習重在理解，學生必須在理解、領悟其深刻含義的基礎上記憶定義、定理及一些結(jié)論，才能收到理想的效果。線性代數(shù)的最大特點就是：知識體系是一環(huán)扣一環(huán)，環(huán)環(huán)相連的。前面的知識是后面學習的基礎，如用初等變換求矩陣的秩熟練與否，直接影響求向量組的秩及極大無關組，進一步影響到求由向量組生成的向量空間的基與維數(shù)；又如求解線性方程組的通解熟練與否，會影響到后面特征向量的求解，以及利用正交變換將二次型化為標準型等。因此，學習線性代數(shù)，一定要堅持溫故而知新的學習方法，及時復習鞏固，為此，教師課前的知識回顧以及學生提前預習是十分必要的。 

3 加強對學生解題的基本訓練 

一定量的典型練習題能有助于學生深化對所學知識的理解，培養(yǎng)學生一題多解的能力，解題后反思，及時總結(jié)解題思路和方法。如證明抽象矩陣的可逆，就有很多方法，一是用定義。二是用秩的有關命題。三是借助于特征值理論。四是證明矩陣的行列式不為零等。 

4 培養(yǎng)與激發(fā)學生的學習興趣 

興趣是最好的老師。教師一方面在傳授知識，另一方面要鼓勵學生有針對性的設計他們的目標，這樣，他們才肯自覺鉆研，樂于鉆研。同時，課堂教學中可選擇近年來研究生入學考題及一些與實際聯(lián)系較緊的題目講解或練習，以激發(fā)學生的學習欲望，并給他們帶來成功的滿足。此外，還可以適當介紹一些有趣的應用典范或教學史來激發(fā)學生的學習熱情，提高他們的學習興趣。 

5 發(fā)揮多媒體優(yōu)勢，增強教學效果 

多媒體教學成為當前高校教學模式的重要手段。教師只有把傳統(tǒng)教學手段、教師自己的特色和多媒體輔助教學三者有機結(jié)合起來，才能真正發(fā)揮多媒體課堂教學的效果。總之，教師在教學中所做的一切，其目的應在于既教會他們有用的知識，又教會學生有益的思考方式及良好的思維習慣。

參考文獻

[1] 張向陽．線性代數(shù)教學中的幾點體會，山西財經(jīng)大學學報(高等教育版)，2006

[2] 于朝霞．線性代數(shù)與空間解析幾何，北京：中國科學技術出版社，2003