介質中的電磁能量密度及其損耗

韓光澤 朱小華

(華南理工大學 物理系 廣東 廣州 510640)

0 引言

頻率在300 MHz～300 GHz之間的微波段電磁波廣泛用于無線通信、材料處理、微波加熱、化工過程強化和醫療診斷等領域.電磁技術的進一步廣泛應用需要對電磁場與物質相互規律的深入了解，尤其是物質對電磁波的吸收與消耗.例如，用于通信的電磁波應盡可能避免被介質吸收，用于材料處理和加熱時應使物質盡可能多的吸收電磁波，而在強化質量傳遞過程時需要使某一特定的組分盡可能多的吸收電磁波[1-3].由于電磁場與物質相互作用的特殊性和復雜性，這種作用的某些物理機制仍然不是很清楚.在電磁場與物質相互作用的基礎理論方面，電磁場能量被物質的吸收與消耗顯得尤為重要.但是，目前關于物質中的電磁能量形式以及物質對電磁場能量的儲存與吸收消耗等方面物理機理的認識不太明確，能量的數學表述形式也不太確切.本文將以電磁場理論為基礎，基于電磁介質在電磁場中的極化和磁化特性，分析電磁介質中的電磁能量特征，導出極化能量密度和磁化能量密度表達式；并進一步研究電磁介質對電磁能量消耗的機理，導出介質吸收電磁能量的數學表達式.

1 介質中的電場能量密度和磁場能量密度

1.1 電磁能量密度

電磁場的能量特性通常采用能量密度w和能流密度S來描述.電磁場的能量平衡方程是[4]

-

(1)

設介質中的電荷密度是ρe，電荷的運動速度是v，單位體積介質受到的電磁作用力(洛倫茲力)密度是fe=ρeE+ρev×B，其中E和B分別是電場強度和磁感應強度.電磁場對運動電荷做的功率密度為

fe·v=ρev·E=Je·E,

(2)

其中Je=ρev是電流密度.

電場對電介質的作用效果是產生極化電荷和極化電流，極化電荷密度是ρp=-·P，極化電流密度是Jp=?P/?t，P是極化強度，即單位體積介質中的電偶極矩.磁場對磁介質的磁化效果是產生磁化電流，磁化電流密度是Jm=×M，M是磁化強度，即單位體積介質中的磁偶極矩.在定義了兩個輔助量，電位移D=ε0E+P和磁場強度H=B/μ0-M后，麥克斯韋方程中只出現自由電荷和自由電流.式(2)中的Je可視為自由電荷流密度Jf，利用介質中的麥克斯韋方程組將Jf·E表示為場量，再與平衡方程(1)式比較，可分別定出能流密度S=E×H和能量密度的表達式[4]

(3)

1.2 極化能量密度和磁化能量密度

dwp=E·dP,

(4)

dwm=μ0H·dM.

(5)

在各向同性非鐵磁物質中有M=(μr-1)H，可得dwm=μ0HdM，μ0和μr分別是真空中的磁導率和表示磁介質性質的相對磁導率.2種分解只相差一個全微分，因此這2種表達式在熱力學分析中是等價的[6].

1.3 極化能和磁化能的物理意義

在導出式(3)的過程中，將介質與電磁場合并在一起作為研究的系統，而將自由電荷和自由電流作為外界，通過外界與系統之間的能量交換導出能量密度和能流密度.也可以從另一方面考慮，即將電磁場作為研究的系統，通過電磁場與介質、自由電荷和自由電流之間相互作用引起的能量交換來導出能量密度.如果只選取電磁場作為研究的系統，在電磁場與外界的作用中，功率密度式(2)中的電流密度應該包括自由電流密度、極化電流密度和磁化電流密度

Je·E=Jf·E+Jp·E+Jm·E,

(6)

由于電磁場與介質之間的相互作用而儲存在介質中的能量可以通過式(6)的右側分別導出.當介質中存在自由電荷時，Jf·E表示電磁場對自由電荷做功，通過做功電磁場的能量轉換為自由電荷的動能.由于介質電阻的作用，由歐姆定律Jf=σE得

Jf·E=σE2,

(7)

這就是焦耳定律，即由于電阻的作用，電磁場對自由電荷做的功轉換為焦耳熱.式(7)就是這種發熱功率密度，其中的σ表示介質的電導率.式(6)右側的第2項表示電場使介質極化時所做的功率密度，通過這個功,電磁場的能量轉化為介質中的極化能.利用極化電流密度表達式Jp=?P/?t，可得極化能量密度Jp·Edt=E·dP，這正是式(4).式(6)右側的第3項表示電磁場使介質磁化時所做的功率密度，通過這個功,電磁場的能量轉化為介質中的磁化能.利用磁化電流密度的表達式，也可得到磁化能量密度式(5).

儲存在介質中的電磁能量密度來自電場做的極化功和磁場做的磁化功，因此也可以從微觀的角度，利用電磁場對電偶極子和磁偶極子做功導出式(4)和式(5).電場對電介質的極化分為有極分子的取向極化和無極分子的位移極化.以位移極化為例，利用電偶極子的定義p=ql，電場極化單個分子做的功是F·dl=qE·dl=E·dp.將該式對單位體積介質內所有的電偶極子求和，并利用極化強度的定義P=∑pi，即得單位體積內電場做的總極化功E·dP.磁場對非鐵磁介質的磁化也分為2類，順磁質分子固有磁矩沿外場方向的排列和抗磁質分子產生感生磁矩.以順磁質分子的磁化為例，設分子的固有磁矩是m，分子在磁場中受到的力矩是μ0Hmsinθ，則根據功能原理，磁化能量的增加等于磁場迫使磁偶極子轉動過程中磁力矩做的負功，-μ0Hmsinθdθ=μ0Hd(mcosθ)=μ0H·dm，式中的θ表示m與H之間的夾角.在單位體積內對該式求和，并利用磁化強度的定義M=∑mi，即得磁化功μ0H·dM.

2 交變外場作用下的電磁能量損耗

在交變外場中，儲存在介質中的極(磁)化能量可以還原為電(磁)場能量，也就是說，場能與介質中的極(磁)化能可以發生相互轉換.依據介質的性質，這些轉換有些是可逆的，有些是不可逆的，即在某一些介質中電磁能量被不可逆地轉化為介質的熱能.電磁波的傳播損失、微波能的利用等都與電磁能量損耗相關，它同時也是電磁介質非平衡態熱力學分析的基礎.

2.1 各向同性單值介質

在各向同性的介質中，E、D和P具有相同的方向，B、H和M具有相同的方向(反磁質相反，由μr的取值決定)，可以不考慮這些物理量的方向.如果在某種介質中P與E、M與H之間有單值對應關系，稱這種介質為單值介質.線性介質就是單值對應關系的一個特例.

分別對式(4)和式(5)積分，可得介質中的極化能量密度和磁化能量密度

(8)

(9)

這2個積分式表明，如果以外場E(或H)為自變量，P(或M)為函數畫一坐標曲線P(E)(或M(H))，則介質中的能量密度等于曲線與P軸(或M軸)所包圍的面積.

圖1 單值電介質中極化強度隨交變電場的變化關系Fig.1 Relationship between polarization of single-value dielectric and electric field

設P與E之間有簡單的單值對應關系，P=ε0(εr-1)E，如圖1所示.當場強正向(E>0)增加時，沿曲線從O點到c點，介質的極化強度隨之增加dP>0，EdP>0；表示電場對介質做功，電場能量轉換為介質中的極化能量，極化能量密度增加，增加的能量密度等于圖形OcsO包圍的面積.當場強從正向(E>0)減小時，沿曲線從c點回到O點，極化強度也減小dP<0，EdP<0；表示介質對電場做功，介質中的極化能轉換為電場能，減少的能量密度也等于圖形OcsO的面積.場強在反方向(E<0)由增大到減小的變化中，能量的變化關系與正向類似.因此在電場的一個變化周期內，電場對介質做的功等于介質對電場做的功，儲存在介質中的極化能與電場能等量地相互轉換，介質沒有消耗電場能量.在電場的一個變化周期內，式(8)的積分等于零∮EdP=0.

設電場按簡諧規律變化E=E0cosωt，則在線性介質中極化強度可寫為P=P0cosωt，E0和P0表示場強和極化強度的峰值，ω=2π/T表示角頻率，T是周期.場強和極化強度隨時間變化的曲線如圖2所示.在第1個1/4周期內(Ⅰ區)，E>0，dP<0，因此EdP<0，表示介質對電場做功，極化能轉換為電場能，介質中的極化能量密度減少.在第2個1/4周期內(Ⅱ區)，E<0，dP<0，EdP>0，表示電場對介質做功，介質中的極化能量密度增加.在Ⅲ區有EdP<0，Ⅳ區有EdP>0.即在Ⅰ區和Ⅲ區介質對電場做功，介質中的極化能轉化為電場能；在Ⅱ區和Ⅳ區電場對電介質做功，電場能轉化為介質中的極化能.由圖線的對稱性可知，在電場的一個變化周期內，介質對電場做的功等于電場對介質做的功.雖然介質和電場不斷交換能量，但介質從電場中吸收的能量等于交還給電場的能量，介質中沒有出現極化能量的損耗.

圖2 線性電介質中簡諧電場和極化強度隨時間的變化關系Fig.2 Relationships of polarization oflinear dielectric and electric field with time

磁介質通常可分為順磁質、抗磁質和鐵磁質3類.順磁質和抗磁質屬于各向同性的線性弱磁質.多數磁介質是順磁質，相對磁導率在10-4～10-5之間；少數磁介質是抗磁質，相對磁導率在負的10-5～10-6之間.在弱磁質中有M=(μr-1)H，與電介質相同的分析方法可以得出相同的結論，即在變化的外場中，單值磁介質中不會出現磁化能量耗散.因此可以得出這樣的結論：單值(線性)介質中不會出現極化和磁化能量損耗.

2.2 各向同性非單值介質

在非單值電介質中，當外電場變化時，由于存在阻礙電偶極矩運動的各種阻尼作用，極化強度的變化跟不上電場的變化，稱為弛豫現象.描寫介質性質的相對介電常數εr不僅隨電場變化，而且還與極化歷史有關，極化強度P與場強E之間沒有簡單的函數關系.在交變電場中P隨E的變化穩態時如圖3所示，當E沿正向增大時，P沿曲線abc隨之增大，但當E減小時，P沿曲線cde減小.在E沿正向增大的過程中，E>0，dP>0，EdP>0，表示電場對電介質做功，電場能轉換為介質中的極化能，電場對單位體積介質做的功等于閉合曲線abcsa包圍的面積.但在E減小的過程中，E>0，dP<0，EdP<0，表示電介質對電場做功，只有數量等于閉合曲線csdc包圍的面積的極化能轉換為電場能.因此，在電場E從正向增大到減小的過程中，將有數量等于閉合曲線abcda包圍面積的能量被電介質不可逆的消耗，這部分能量被轉換為電介質的熱能.電場沿反向變化，能量轉化關系與正向變化相同.如果電場做周期性變化，一個變化周期內被單位體積電介質消耗的能量等于閉合曲線abcdefa包圍的面積，也就是積分值∮EdP.閉合曲線abcdefa可以稱為電滯曲線，該曲線包圍的面積決定了單位體積電介質消耗電磁能量的多少.

如果外場為簡諧電場E=E0cosωt，在非線性介質中極化強度P落后場強一個相位角φ，P=P0·cos(ωt-φ)；相應電位移矢量D落后場強一個相位角δe，D=D0cos(ωt-δe).利用D=ε0E+P容易證明，如果φ是一個正數，δe也是一個正數.場強和極化強度隨時間的變化如圖4所示.與線性介質中的變化曲線圖2相比，非線性介質中的變化曲線有兩個明顯的特點，一是增加了一個區域(最左側i區)，在該區域EdP>0，表示電場對電介質做功，電場能量轉換為介質中的極化能；二是介質對電場做功的區域(Ⅰ和Ⅲ)被壓縮，而電場對電介質做功的區域(Ⅱ和Ⅳ)被擴展，這意味著極化能轉化為電場能減少，而電場能量轉化為介質中的極化能增加.因此在電場的一個變化周期內，電場能轉換為介質中極化能要多于極化能轉換為電場能，有一部分能量被介質吸收消耗，轉化為介質中的熱能.

(10)

圖3 非單值電介質中極化強度隨交變電場的變化Fig.3 Relationship between polarization of non-single-value dielectric and electric field

圖4 非線性電介質中簡諧電場和極化強度隨時間的變化關系Fig.4 Relationships of polarization of nonlinear dielectric and electric field with time

3 電磁能量損耗的瞬時值

式(3)右側第1項表示介質空間中電場能量密度的變化率，將該項改寫為

(11)

就是電介質中消耗的電場能量功率密度的瞬時值(轉變為熱).將式(3)右側第2項作分解,

右側第1項和第2項分別表示磁場能量密度和存儲在介質空間中的磁化能量密度的瞬時值，而后2項

(12)

就是磁介質中消耗的磁場能量功率密度的瞬時值.式(11)和(12)清楚地表明，產生電磁能量損耗的原因是，極化強度P的變化跟不上外電場E的變化，磁化強度M的變化跟不上外磁場H的變化.導電損耗的瞬時功率密度由式(7)給出.

4 結論

介質中的電磁能量被分為電(磁)場能量和極(磁)化能量.利用電場對運動電荷做功導出了介質中的能量密度，極化能量密度的微分(極化功)等于電場強度與極化強度微分的乘積，磁化能量密度的微分(磁化功)等于磁場強度與磁化強度微分的乘積.在交變電磁場作用下，線性介質中的極(磁)化能與電(磁)場能量進行可逆的相互轉換，沒有電磁能量損耗.在非線性(非單值)介質中，由于各種阻尼作用，電(磁)偶極子的轉動跟不上外場的變化，出現弛豫損耗，部分電磁能量被不可逆地轉換為熱能.電磁能量損耗功率密度決定于介質相對介電常數(相對磁導率)的虛部、電導率、外場頻率和外場強度.電磁場能量密度變化的瞬時值可以分解為電磁場能量密度、極(磁)化能量密度和電磁損耗功率密度3部分.

參考文獻：

[1] 韓光澤，陳明東. 液態物質的微波峰值吸收頻率[J]. 中國科學(G輯)，2008，38(7):859-866.

[2] 韓光澤，陳明東，郭平生，等. 微波輔助萃取的微波吸收系數與吸收功率密度[J]. 華南理工大學學報:自然科學版，2007，35(4):52-57.

[3] 陳明東，韓光澤，郭平生，等. 微波場作用下的溶質擴散通量[J]. 工程熱物理學報，2008，29(11):1950-1952.

[4] 郭碩鴻. 電動力學[M].第3版. 北京：高等教育出版社，2008.

[5] 韓光澤. 電(磁)場作用下的平衡態熱力學[J]. 華北電力大學學報，2010，37(2):104-108.

[6] 胡友秋，程福臻. 電磁學與電動力學(下冊)[M]. 北京：科學出版社，2008.

[7] Mansuripur M. Electromagnetic force and torque in ponderable media[J]. Optics Express, 2008, 16(19):14821-14835.

[8] Hermann A H, James R M.電磁場與電磁能[M]. 江家麟,譯. 北京：高等教育出版社，1992.

[9] Leonard M M.電磁場電磁能和電磁波[M]. 何國瑜,譯. 北京：高等教育出版社，1982.

[10] 殷之文. 電介質物理學[M]. 第2版.北京：科學出版社，2003.

[11] 廖紹彬. 鐵磁學(下冊)[M]. 北京：科學出版社，2000.