K空間抽樣格林函數(shù)在正向重構(gòu)時(shí)的誤差分析

唐 波, 苑秉成, 徐 瑜

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K空間抽樣格林函數(shù)在正向重構(gòu)時(shí)的誤差分析

唐 波, 苑秉成, 徐 瑜

(海軍工程大學(xué), 兵器工程系, 武漢 湖北, 430033)

在近場聲全息重構(gòu)過程中, 當(dāng)采用K空間抽樣格林函數(shù)進(jìn)行大距離正向重構(gòu)時(shí), 會(huì)產(chǎn)生極大的誤差, 而傳統(tǒng)的加窗處理不能有效抑制這種誤差的產(chǎn)生。文中在分析了誤差是K空間抽樣格林函數(shù)幅值突變而產(chǎn)生的頻譜泄露和邊緣吉布斯效應(yīng)的基礎(chǔ)上, 提出了有針對性的改變窗函數(shù)的截止波數(shù), 使格林函數(shù)幅值突變部位得到有效平滑, 進(jìn)而抑制這種誤差產(chǎn)生的方法。仿真結(jié)果表明, 經(jīng)改進(jìn)的窗函數(shù)能夠?qū)空間抽樣格林函數(shù)大距離正向重構(gòu)時(shí)的誤差起到明顯的抑制作用, 使此條件下的全息重構(gòu)具有更加良好的效果。

近場聲全息; K空間; 格林函數(shù); 正向重構(gòu); 窗函數(shù)

0 引言

近場聲全息技術(shù)是上世紀(jì)80年代從全息領(lǐng)域脫穎而出的新技術(shù)。它借助重構(gòu)面與全息面之間的空間場變換關(guān)系, 由全息面聲場變換得到重構(gòu)面聲場。近場聲全息技術(shù)特別適用于低頻場源特性判別、散射體結(jié)構(gòu)表面特性以及結(jié)構(gòu)模態(tài)振動(dòng)等研究。

平面近場聲全息技術(shù)是全息面和重構(gòu)面均為平面的正交共形近場聲全息技術(shù)。在平面近場聲全息技術(shù)中, 當(dāng)采用K空間抽樣格林函數(shù)進(jìn)行正向重構(gòu)時(shí), 重構(gòu)結(jié)果對重構(gòu)距離極為敏感, 當(dāng)重構(gòu)距離很小時(shí), 重構(gòu)具有很高的精度。而當(dāng)重構(gòu)距離較大時(shí), 重構(gòu)誤差急劇增加[1]。目前的研究認(rèn)為，這種誤差來源于采用K空間抽樣格林函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)時(shí)的卷繞誤差, 并且這種情況下, 對格林函數(shù)加窗不能對誤差的減少產(chǎn)生明顯作用。

1 K空間抽樣格林函數(shù)特性分析

由近場平面聲全息基本理論可知, 正向重構(gòu)時(shí)K空間抽樣格林函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖1 不同重構(gòu)距離時(shí)的K空間格林函數(shù)分布圖

由圖1可以看出, 隨著重構(gòu)距離的增大, 位于輻射圓之外的格林函數(shù)幅值衰減越來越厲害。當(dāng)重構(gòu)距離達(dá)到100 cm時(shí), 輻射圓之外的格林函數(shù)迅速減小至零, 這將導(dǎo)致在輻射圓附近K空間抽樣格林函數(shù)產(chǎn)生突變, 這種突變會(huì)產(chǎn)生類似數(shù)據(jù)截?cái)嗟男?yīng), 在逆傅氏變換時(shí)將在實(shí)空間域?qū)е轮貥?gòu)信號的劇烈波動(dòng), 產(chǎn)生極大的重構(gòu)誤差。

2 加窗處理

由以上分析可以看出, 當(dāng)采用K空間抽樣格林函數(shù)進(jìn)行全息重構(gòu)時(shí)會(huì)產(chǎn)生誤差。為了抑制重構(gòu)過程帶來的誤差, 需要采用一定的濾波措施, 全息重構(gòu)中常采用加窗函數(shù)來減小誤差。

在各種濾波窗函數(shù)中, 文獻(xiàn)[5]提出的窗函數(shù)應(yīng)用最廣泛, 該函數(shù)通過在截止波數(shù)處采用平滑處理, 獲得了很好的濾波效果。該窗函數(shù)的表達(dá)式為

在該函數(shù)中截止波數(shù)的選擇非常重要, 對濾波的結(jié)果影響非常大。目前在正向重構(gòu)過程中, 對K空間抽樣格林函數(shù)進(jìn)行加窗處理時(shí), 選擇截止波數(shù)仍然采用經(jīng)驗(yàn)公式

“這是你祖姑婆給你的，對嗎？”烏有先生接過玉玦，沉沉生碧，月光里柔美溫潤，帶著女孩的體溫。女孩幽蘭一般的氣息，白玉般略寬的臉龐，靈慧的眼神，熱烈而堅(jiān)定，何其熟悉。今夜星雪海，似是故人來。他想起一個(gè)甲子之前的長安，烏有也是鮮衣怒馬的少年郎，整天魂?duì)繅衾@，想念深宮里明眸善睞的佳人，他滿世界去抄龍族、鬼母的傳奇送她看，她則托人將冰雪深沃的交州荔枝帶出來給他吃，將新寫的詩給他念。

由圖2可以清晰地看出, 因?yàn)檩^小重構(gòu)距離下格林函數(shù)在孔徑內(nèi)沒有得到充分的衰減, 從而在孔徑邊緣處由于截?cái)喈a(chǎn)生了幅值突變, 同時(shí)在輻射圓附近沒有幅值突變(如圖1中重構(gòu)距離1 cm的曲線), 因此以往的加窗處理是有效的(如圖2中重構(gòu)距離1 cm的曲線)。

圖2 加窗后的K空間抽樣格林函數(shù)分布圖

然而在大距離重構(gòu)條件下, 格林函數(shù)在孔徑內(nèi)已經(jīng)得到充分衰減, 因此在孔徑邊緣處不存在幅值突變, 而在輻射圓附近卻存在幅值突變, 迅速從1變化為0(如圖1中重構(gòu)距離100 cm的曲線), 因此用于平滑孔徑邊緣處函數(shù)值的窗函數(shù)無法平滑輻射圓附近的幅值突變(如圖2中重構(gòu)距離100 cm的曲線), 從而無法抑制這種突變引起的吉布斯效應(yīng), 也就無法減小重構(gòu)誤差。

基于以上分析討論, 需要有針對性的改變窗函數(shù)的結(jié)構(gòu), 使窗函數(shù)能夠?qū)椛鋱A附近的幅值突變產(chǎn)生平滑作用。本文通過改變截止波數(shù)的方法來實(shí)現(xiàn)。

此時(shí)對于窗函數(shù)表達(dá)式(4)來說, 截止波數(shù)的改變意味著窗孔尺寸的改變, 如圖3所示。

圖4 加改進(jìn)窗的K空間抽樣格林函數(shù)分布圖

圖4可清楚看到, 改進(jìn)的窗函數(shù)對格林函數(shù)在輻射圓附近的幅值突變起到很好的平滑作用。

3 仿真驗(yàn)證

圖5 全息面理論聲壓幅值

圖6 重構(gòu)面理論聲壓幅值

不加窗時(shí)的重構(gòu)結(jié)果如圖7所示。

圖7 不加窗時(shí)重構(gòu)面聲壓幅值

圖8 加窗時(shí)重構(gòu)面聲壓幅值

由圖7和圖8可以看出, 不加窗和加采用式(5)截止波數(shù)的窗函數(shù), 其重構(gòu)結(jié)果沒有明顯的改變, 因此加采用式(5)截止波數(shù)的窗函數(shù)不能有效地抑制K空間抽樣格林函數(shù)大距離正向重構(gòu)時(shí)的重構(gòu)誤差。

圖9 加改進(jìn)窗時(shí)重構(gòu)面聲壓幅值

由圖9可以看出, 改進(jìn)的窗函數(shù)可以有效地抑制K空間抽樣格林函數(shù)大距離正向重構(gòu)時(shí)的重構(gòu)誤差。

7和圖8可以看出，相對誤差超過了100%，完全淹沒了聲壓信息。同時(shí)，在對信號進(jìn)行加窗和濾波處理時(shí)，在抑制誤差干擾時(shí)，也會(huì)對信號有一定程度的削弱，致使重構(gòu)幅度變小，對比圖6和圖9可以清晰的看到這點(diǎn)，雖然重建聲壓值降到了理論聲壓值一半左右，但相對誤差減小到了10%左右，能夠真實(shí)反映重構(gòu)面的聲壓信息。

4 結(jié)束語

從以上的理論推導(dǎo)和仿真驗(yàn)證可以看出, 當(dāng)采用K空間抽樣格林函數(shù)進(jìn)行大距離正向重構(gòu)時(shí), 由于格林函數(shù)位于輻射圓內(nèi)低波數(shù)成分幅值恒為1, 而位于輻射圓之外的高波數(shù)成分幾乎衰減至零[9], 以至在輻射圓附近格林函數(shù)幅值發(fā)生突變, 這種突變會(huì)產(chǎn)生類似數(shù)據(jù)截?cái)嗟男?yīng), 在全息重構(gòu)中產(chǎn)生極大的誤差。

傳統(tǒng)的加窗處理只是用窗函數(shù)來平滑孔徑邊緣處的函數(shù)值, 無法消除輻射圓附近的格林函數(shù)幅值突變, 也就無法抑制這種幅值突變給全息重構(gòu)帶來的誤差, 因此無法有效地改變?nèi)⒅貥?gòu)的效果。

改進(jìn)的窗函數(shù)針對格林函數(shù)幅值發(fā)生突變的位置, 改變窗孔大小, 能夠有效的平滑處理輻射圓附近的格林函數(shù)幅值突變, 也就抑制了這種突變帶來的誤差效應(yīng), 使重構(gòu)結(jié)果符合聲場實(shí)際分布。仿真結(jié)果表明, 該改進(jìn)的窗函數(shù)能夠?qū)空間抽樣格林函數(shù)大距離正向重構(gòu)時(shí)的誤差起到明顯的抑制作用, 使此條件下的全息重構(gòu)具有更加良好的效果。

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Error Analysis of Green′s Function Sampled in K-space for Forward Reconstruction

TANG Bo, YUAN Bing-cheng, XU Yu

(Department of weaponry Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

During the near-field acoustic holographic reconstruction, tremendous errors will appear when using Green′s function sampled in K-space for long distance forward reconstruction, and conventional window function cannot restrain the error efficiently. In this paper, the error is analyzed to be generated by spectrum leakage and edge Gibbs phenomenon derived from amplitude discontinuity of Green′s function sampled in K-space, hence a corresponding method for changing the cut-off wave number of window function is represented to smooth the amplitude discontinuity and further to restrain the error. Simulation result shows that the improved window function can obviously reduce the error in the holographic aperture, and the present method is efficient in restraining the error generated by spectrum leakage and Gibbs phenomenon derived from amplitude discontinuity of Green′s function sampled in K-space.

near-field acoustic holography; K-space; Green′s function; forward reconstruction; window function

TJ630; TB525

A

1673-1948(2012)02-0095-05

2011-08-27;

2011-09-29.

唐 波(1980-), 男, 在讀博士, 主要研究方向?yàn)橹茖?dǎo)與控制技術(shù).

(責(zé)任編輯: 楊力軍)