一種基于復(fù)合混沌動(dòng)力系統(tǒng)的序列密碼算法

王 麗 燕， 李 永 華， 賈 思 齊， 剛 家 泰＊

（1.大連大學(xué) 信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622；2.大連理工大學(xué) 軟件學(xué)院，遼寧 大連 116620）

0 引 言

隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展和信息交換的日益頻繁，信息安全技術(shù)的研究變得越來越重要，作為新的密碼技術(shù)，混沌密碼技術(shù)已引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者濃厚的興趣和廣泛的研究.混沌作為一種特有的非線性現(xiàn)象，具有良好的偽隨機(jī)特性、軌道的不可預(yù)測(cè)性、對(duì)初始狀態(tài)及結(jié)構(gòu)參數(shù)的極端敏感性等一系列優(yōu)良特性，這些特性都與密碼學(xué)中的混亂和擴(kuò)散相吻合.

混沌密碼作為一類新型的密碼技術(shù)，在數(shù)據(jù)加密、圖像加密和電子商務(wù)安全等領(lǐng)域得到了廣泛研究[1－4].周紅等提出了一種基于分段線性映射產(chǎn)生具有均勻不變密度和自相關(guān)函數(shù)呈δ形態(tài)的動(dòng)力系統(tǒng)，并利用多次迭代混沌映射來獲得非線性前饋型流密碼[5，6].為了進(jìn)一步提高安全性，桑濤等將用于加密的分段線性動(dòng)力系統(tǒng)改進(jìn)為“逐段二次方根”混沌映射，設(shè)計(jì)反饋序列密碼[7].王相生等用一個(gè)特殊的混沌動(dòng)力系統(tǒng)，通過隨機(jī)改變混沌映射的參數(shù)來提高混沌的復(fù)雜性，并以此代替密鑰生成器，產(chǎn)生密鑰流[8，9].盡管已經(jīng)提出了許多混沌加密方法，但有些加密方法已受到質(zhì)疑并已形成攻擊方案.比如，Short破譯了美國(guó)海軍研究所提供的混沌掩蓋加密方法[10].Wheeler等在文獻(xiàn)[11]中說明文獻(xiàn)[1]中給出的混沌序列密碼由于存在嚴(yán)重的有限精度效應(yīng)問題而不適于實(shí)際應(yīng)用.金晨輝等在文獻(xiàn)[12]中指出了文獻(xiàn)[5，7]中密碼算法的弱點(diǎn)，并給出了相應(yīng)的優(yōu)化分割攻擊方案.文獻(xiàn)[13，14]都進(jìn)一步指出了用單一的混沌動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行迭代的加密算法的弱點(diǎn)，并給出了相應(yīng)的攻擊方案.為了解決用單一混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的密碼算法不夠安全的問題，許多學(xué)者提出了各種加密方案，李紅達(dá)等提出了基于復(fù)合離散混沌動(dòng)力系統(tǒng)的序列密碼算法，算法以迭代初始點(diǎn)作為密鑰，以粗粒化的迭代軌跡作為密文[15，16]，用傳統(tǒng)加密和混沌加密級(jí)聯(lián)[17]、高維混沌系統(tǒng)或多混沌系統(tǒng)[18]實(shí)現(xiàn)密碼算法等.本文則將二維Logistic映射和分段線性混沌映射復(fù)合，用二維Logistic映射的輸出作為分段線性混沌映射的分段參數(shù)P，再用帶有參數(shù)P的分段線性混沌映射構(gòu)造加密算法，給出加密和解密算法，并進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)和安全性分析.

1 混沌動(dòng)力系統(tǒng)

1.1 二維Logistic映射

二維Logistic映射定義為

其中u、λ1、λ2、λ為控制參數(shù)，通常取u＝4.二維Logistic映射的行為是非常復(fù)雜的[19]，圖1給出了兩組不同控制參數(shù)情形下的分岔圖.

圖1 二維Logistic映射分岔圖Fig.1 Branch chart of 2－D Logistic mapping

當(dāng)λ1＝0.8，λ2＝0.2，λ＝0.3時(shí)，利用奇異值分解求其Lyapunov指數(shù)，求得其中一個(gè)Lyapunov指數(shù)為0.044 8＞0，說明這時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

1.2 一維分段線性混沌映射

一維分段線性混沌映射定義為

其中X∈ [0，1]，P∈ （0，0.5）.當(dāng)P＝0.247時(shí)，該一維分段線性混沌映射的圖像如圖2所示.

圖2 分段線性混沌映射Fig.2 Piecewise linear chaotic map

根據(jù)文獻(xiàn)[20]，該迭代系統(tǒng)是混沌的，其輸出序列｛X（t）｝在[0，1]上遍歷，具有良好的自相關(guān)性且呈δ形態(tài).由Frobenius－Perron算子[21]有

易得Pr（1）＝1，說明系統(tǒng)的不變分布密度函數(shù)為f＊（x）＝1.從而系統(tǒng)在[0，1]上是均勻分布的.

2 加密方案

加密方案如圖3所示.

圖3 加密算法框圖Fig.3 Encryption algorithm block diagram

設(shè)明文長(zhǎng)度為h，對(duì)二維Logistic映射：0.3，λ1＝0.8，λ2＝0.2，給定初始值（x0y0），迭代得yi∈ [0，1]（i＝1，2，…，2h），由于分段線性混沌映射的參數(shù)P∈（0，0.5），可簡(jiǎn)單地取Pi＝y(tǒng)i/2，且Pi∈ （0，0.05）.顯然，Pi為一個(gè)混沌序列.具體的加密和解密算法如下.

步驟1 將明文由十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十六位二進(jìn)制，如果明文是文字，將明文字符的ASCII碼轉(zhuǎn)化為十六位二進(jìn)制.得到二進(jìn)制明文序列｛a1，a2，…，ah｝（ai只能取0或者1，i＝1，2，…，h）.

步驟2 選取Logistic映射的初始值（x0y0），迭代得yi∈ [0，1]（i＝1，2，…，2h），并將Pi＝y(tǒng)i/2（Pi∈ （0，0.05））代入分段線性混沌映射（2）進(jìn)行迭代得到混沌序列｛xi｝（i＝1，2，…，2h）.

步驟3 由 離 散 化 算 子Tj（xi） ＝[10jxi＋h]mod 2計(jì)算得到ki＝Tj（xi＋h），i＝1，2，…，h.其中（x0y0）和j均為密鑰.

步驟4 得到的二進(jìn)制序列｛k1，k2，…，kh｝與明文二進(jìn)制序列｛a1，a2，…，ah｝進(jìn)行異或運(yùn)算就得到加密二進(jìn)制序列.

解密算法與加密算法類似，先進(jìn)行步驟2和3，然后和二進(jìn)制密文序列作異或運(yùn)算就可以把密文還原成明文，得到解密的效果.

3 算法仿真

為了更明確說明加密算法運(yùn)算過程，對(duì)加密算法進(jìn)行性能分析，下面給出一個(gè)例子，對(duì)一段文字進(jìn)行加密.

例1 明文：混沌密碼學(xué)原理及其應(yīng)用

首先將明文字符轉(zhuǎn)換成ASCII碼，然后轉(zhuǎn)化為十六位二進(jìn)制，其明文序列的二進(jìn)制序列表示為

1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1

對(duì)于二維Logistic映射有

①若取（x0y0）＝（0.432 323 0 0.452 680 0），j＝8，得到對(duì)應(yīng)的密文為

②若 取 （x0y0）＝ （0.432 323 0＋10－160.452 680 0），j＝8，得到的密文為

③若取（x0y0）＝（0.432 323 0＋2×10－160.452 680 0），j＝8，得到的密文為

④若 取 （x0y0）＝ （0.324 252 7＋10－160.452 680 0），j＝8，得到的密文為

⑤若 取 （x0y0）＝ （0.324 252 7－10－160.452 680 0），j＝8，得到的密文為

⑥ 若 取 （x0y0）＝ （0.324 252 7 0.452 680 0），j＝7，得到的密文為

用0、1序列的圖形化表示如圖4所示，k為0與1出現(xiàn)次數(shù)的比值.從仿真結(jié)果來看，初始值的微小變化將會(huì)引起密文的巨大變化.

圖4 不同初始值的密文Fig.4 Ciphers under different initial values

例2 對(duì)文本“混沌一詞從字面上理解就是雜亂無(wú)章，混亂無(wú)序之意，但是由于混沌系統(tǒng)的奇異性和復(fù)雜性到目前為止尚未被人們徹底了解，因此至今混沌還沒有給出一個(gè)比較統(tǒng)一的定義”，用密鑰（x0y0）＝（0.432 323 0 0.452 680 0），j＝8，進(jìn)行加密得到密文：

用正確的密鑰可以精確地恢復(fù)得到明文.但若改變密鑰，比如將密鑰變成（x0y0）＝（0.432 323 0＋10－160.452 680 0），j＝8，則解密得到：

由此可見密鑰的微小變化導(dǎo)致不能得到正確的明文，說明密鑰與密文之間關(guān)系十分敏感.

4 安全性分析

4.1 敏感性分析

取明文為105位全為0的二進(jìn)制序列，取密鑰（x0y0）＝ （0.432 323 0 0.452 680 0），j＝8，加密得到密文為C.試驗(yàn)表明，當(dāng)初始值x0變?yōu)閤0＝0.432 323 0＋10－16和x0＝0.432 323 0＋2×10－16，而y0與j不變時(shí)，新生成的密文和原密文C相比，分別有50.05%和50.02%位發(fā)生了變化.

如果選取一系列全為0的二進(jìn)制序列為明文，其長(zhǎng)度L由1位增加到10 000位，選取10個(gè)不同初始值x0＝0.432 323 0＋10－16i（i＝0，1，…，9），y0與j不變，得到改變的比特位數(shù)（bc）與長(zhǎng)度L的關(guān)系如圖5所示.圖6是j＝2，4，6，8，10，（x0y0）＝ （0.432 323 0 0.452 680 0）時(shí)得到改變的比特位數(shù)與長(zhǎng)度L的關(guān)系圖.可以看出初始值發(fā)生微小變化，都會(huì)使變化后的密文與原密文相比有接近50%的比特位數(shù)發(fā)生變化.這就說明密鑰與密文具有很強(qiáng)的敏感性.

圖5 不同初始值條件下比特位數(shù)變化比Fig.5 The changed bit ratio under different initial values

圖6 不同密鑰條件下比特位數(shù)變化比Fig.6 The changed bit ratio under different key

4.2 統(tǒng)計(jì)性分析

取一系列全為0的二進(jìn)制序列為明文，其長(zhǎng)度L由1位增加到10 000位，取密鑰（x0y0）＝（0.432 323 0 0.452 680 0），j＝8，生成的密文中1的位數(shù)與長(zhǎng)度L之比p如圖7所示.

圖7 改變的比特位數(shù)與長(zhǎng)度L之比Fig.7 The ratio of changed bit number to the length L

由圖7可以看出，在加密時(shí)明文序列的每個(gè)比特位數(shù)都以0.5的概率發(fā)生改變或保持不變，也就是說，與明文相比，密文序列中大約有一半的比特位數(shù)發(fā)生改變，這使密文與明文的相關(guān)度很小，而且隨著長(zhǎng)度的增加還趨于0.同時(shí)還可以保證生成的密文序列中0與1的個(gè)數(shù)幾乎相等，這說明本算法產(chǎn)生均勻分布的密文，可以有效抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊.

4.3 密鑰空間分析

在本文中選擇的密鑰是二維Logistic映射和分段線性混沌映射的迭代初始值x0和y0以及離散化算子參數(shù)j，且二維Logistic映射的參數(shù)λ、λ1、λ2、u也是可以隨機(jī)選取的，所以同樣可以選取作為密鑰.僅以計(jì)算精度為10－4估算本算法的密鑰空間，密鑰空間就大于1030.實(shí)際上，目前計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的計(jì)算精度遠(yuǎn)大于10－4，這樣相應(yīng)的密鑰空間會(huì)更大.因此本文算法擁有足夠大的密鑰空間，可以抵抗窮舉攻擊.

5 結(jié) 論

本文利用二維Logistic映射與分段線性映射的參數(shù)空間和相空間較大的特點(diǎn)，以及混沌序列的遍歷性與復(fù)雜性，用二維Logistic映射的輸出作為分段線性映射的分段參數(shù)P，分段線性映射的輸出與明文異或后得到密文.本算法克服了單一迭代型混沌密碼的參數(shù)和初態(tài)的低位比特對(duì)前若干輸出信號(hào)的影響不大的信息漏洞，使整個(gè)加密過程十分復(fù)雜，提高了密文的不可預(yù)測(cè)性，可以抵御分辨率攻擊法和分割攻擊法.計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本算法產(chǎn)生均勻分布的密文，密鑰與密文具有很強(qiáng)的敏感性，密鑰空間很大且明文與密文的相關(guān)度很小，提高了抗已知明文/密文攻擊的能力，可以有效地抵御統(tǒng)計(jì)分析，是一個(gè)良好的加密算法.

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