基于多層線性模型的GDP影響因素分析

李春紅，韋澤多，盧玉桂

(廣西大學數學與信息科學學院，南寧 530004)

隨著科技的進步和社會的發展，科技對GDP的貢獻越來越大?？萍纪度肱c經濟增長的關系一直是科技界、經濟學界廣為關注的問題之一。國內不少學者從不同角度對科技投入與經濟增長進行了研究。文獻［1］利用簡單線性回歸方法，研究科技投入與GDP能耗之間的關系。文獻［2］從自回歸角度研究科技投入對GDP的拉動效應。由于區域因素的影響，各個省份的科技力量有所不同，其對經濟發展的影響有很大的差異，因此根據我國總體情況得出的結論并不適用于各個省份。本文利用多層線性模型，分析我國31個省份2003—2008年經濟增長趨勢，揭示各省科研經費利用率、科技人員比例等基本科技力量和經濟發展的互動關系。多層模型能夠同時分析各個層次上的數據，估計數據在各層次上的變異，并能通過已知變量預測各層次上的變異值，因此比傳統模型更有優勢［3－5］。

1 多層線性模型

1.1 模型介紹

多層模型的基本原理:將因變量中的變異分解為2部分，即同一群體內的個體差異和不同群體之間的個體差異。該模型克服了傳統統計方法以單一形式表示殘差和忽視個體內在相關性的缺點，提供了殘差在個體以及各層次上的信息，將個體的組群效應考慮在內，從而可得到更加準確的結果。常見的多層線性模型是2層結構的模型，一般形式為:

層1(個體)

層2(群體)

合并模型可以表示為

其中:Yij為研究對象j的第 i次的結局變量;β0j為截距，其含義是第j個觀測對象的平均數;β1j是回歸斜率，其含義是第j個觀測對象的變化速率;eij是誤差項(假設其服從正態分布eij:N(0，σ2))，其含義是第i個觀測對象在第j個觀測時間中的測量值Y不能被自變量X所解釋的部分。方程(1)與一般的回歸方程很相似，區別在于它的截距和斜率不是常數，而是隨機變量，不同觀測對象具有不同的截距和斜率，它們可能受到第2層變量的影響。

γ00是方程(2)的截距，可以被理解為自變量Wj為0時觀測對象在因變量Y上的平均數。如果該系數的統計檢驗顯著，意味著因變量的初始值不等于0。通常縱向研究中的研究者并不關心這一系數。

γ01是方程(2)中自變量Wj的回歸系數，可以被理解為自變量Wj對方程(1)中因變量Y初始值的影響大小。追蹤研究中，如果對該系數的統計檢驗達到顯著，意味著不同自變量水平的觀測對象在觀測起點上的初始值有顯著差異。

u0j是方程(2)中的殘差，可以被理解為方程(1)中因變量Y初始值未被自變量Wj所解釋的部分。如果對相應方差的統計檢驗達到顯著，意味著模型中需要引入新的變量來解釋因變量初始值上的變異。

γ10是方程(3)的截距，可以被理解為自變量Wj為0時觀測對象的變化速率。在縱向研究中通常把它看作基礎變化速率。如果對該系數的統計檢驗達到顯著水平，則認為基礎變化速率不等于0。

γ11是方程(3)中自變量Wj的回歸系數，可以被理解為自變量Wj對觀測對象變化速率的影響大小。這一系數是縱向研究中最受關心的結果，可用于探索哪些因素能解釋不同個體在變化速率上的差異。如果對該系數的統計檢驗達到顯著性水平，意味著自變量Wj是導致個體變化速率差異的重要原因。

u11是方程(3)中的殘差，可以被理解為方程(1)中因變量Y變化速率未被自變量Wj所解釋的部分。如果相應方差的統計檢驗達到顯著，意味著模型中需要引入新的變量來解釋變化速率上的變異。

1.2 參數估計

在模型(1)中，只假設截距和斜率是隨機變量。但一般情況下，模型既有隨機斜率，又有固定斜率。固定斜率是不會隨觀測對象的變化而變化的，因此，更一般的多層模型常常分為隨機和固定2部分。用矩陣形式來表述，就得到模型［6］:

其中:Y是結局變量;β是固定系數部分組成的向量;X是對應設計矩陣;u是隨機系數部分組成的向量;Z為相應的設計矩陣;向量e代表水平1殘差。它們都是模型(1)的矩陣形式，并且有以下假設:

其中:G是隨機系數向量u的協方差矩陣;R是殘差向量e的協方差陣;V是Y的協方差陣。于是得出似然函數:

再分別對u和β求導，并令結果為0，最后求得u和β的估計:

由此可推出γij等參數的估計。

2 數據描述與處理

本文的數據來源于2003—2008年的《中國統計年鑒》和《中國科技統計年鑒》。涉及的變量如下:

結局變量:lnGDP(生產總值)。它是從2003—2008年我國31個省的地區生產總值的自然對數。這是為了消除異方差性，對原始數據進行的對數轉換。

層1解釋變量:T(時間)。因為每年測量一次各地區的生產總值，數據搜集時間間隔大致相等，所以可將2003—2008年6個年度的時間分別編碼:－5、－4、－3、－2、－1、0。如此編碼后，方程截距項就是31個省第6年(2008年)的生產總值的平均值。

層2解釋變量:W1(經費利用率);W2(科研人數比例)。W1為2008年各省RD經費占其科技經費籌集總額的百分比。W2為2008年各省科研人數占該省總人口數的比例。

3 GDP影響因素分析

通過研究lnGDP隨時間的平均發展趨勢，確定GDP與時間呈簡單線性關系，而不是二次或更高階。于是，確定基本模型為線性模型。

3.1 帶隨機截距的多層線性模型

線性回歸模型最簡單的擴展是用隨機截距代替其固定截距，從而得到以下隨機截距多層線性模型:

該模型是為了評價各省GDP的初始水平是否有差別以及數據是否存在層次結構。用spss18整理數據，然后用HLM6.06進行計算，結果如表1所示。

表1 帶隨機截距的多層線性模型結果

3.2 帶隨機截距－斜率的多層線性模型

在隨機截距模型中，假定每個省GDP初始值不同，但隨著時間的變化斜率是相同的，然而實際情況中，各省GDP的發展隨著時間變化的斜率是不同的，因此，更符合實際情況的模型應是隨機截距和隨機斜率模型，模型如下:

組合模型:

計算結果見表2。

表2 帶隨機截距－斜率的多層線性模型結果

從表2結果可以看出，τ∧00沒多大變化，τ∧11=0.000 42(p＜0.001)，統計顯著，表明各省 GDP的發展存在顯著差異。

3.3 科技因素的評估模型

為了評價各省科技因素W對GDP的影響，將W1和W2解釋變量加入水平2中，得到如下模型:

通過HLM6.06計算，結果見表3。

表3 科技因素評估模型結果

其中:W1(科技經費利用率)對GDP的影響顯著，表明科研經費利用率每提高1%，可帶動GDP增長0.072 284%;W2(即科技人數比例)對GDP影響不顯著，是因為在模型中與科研經費利用率相比，科技人數比例對GDP的影響較弱;W1和W2與時間T沒有交互作用，表明GDP每年的增長速率受 W1和 W2的影響較小。而通過對2003—2008年間各省科研經費利用率的研究發現，這些年來各省科研經費利用率幾乎沒什么變化，這是W與T沒交互作用的主要原因。

4 結束語

在以往有關科技和經濟的研究中，都是從數量上的變化對其進行研究。本文嘗試著從效率的角度分析了科研經費利用率和科技人數比例對經濟的影響。利用多層線性模型從縱向角度進行研究，結果表明:科技經費利用率對GDP的影響顯著，利用率提高 1%，可帶動 GDP增長0.072 284%;科技人數比例對GDP的影響不顯著;科研經費利用率對經濟的促進作用要顯著于科技人數比例對經濟的作用。另外，W1和W2與時間T沒有交互作用，表明每年的經濟增長速率受W1和W2的影響較小。以上結果提示我們，在加大科技投入的同時應努力提高其經費利用率，這樣，科技投入對經濟的拉動作用才更加顯著。

綜上所述，多層線性模型適用于經濟問題中的縱向研究。

［1］趙志堅.我國科技投入對GDP拉動效應的實證分析［J］.經濟數學，2008:25(1):58 －63.

［2］李勇敢.科技投入與GDP單位能耗的關系研究［J］.創新科技，2010(11):14－15.

［3］葛建軍，韓龍.我國第三產業利潤率的行業差異分析——基于分層線性模型與最小二乘法的比較［J］.貴州財經學院學報，2010(2):56－61.

［4］王濟川，謝海義，姜寶法.多層統計分析模型:方法與應用［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［5］張雷，雷劈，郭伯良.多層線性模型應用［M］.北京:教育科學出版社，2003.

［6］Littell R C，Milliken G A，Stroup W W，et al.SAS for Mixed Models(Secend Edition)［M］.Cray，NC:SASInstitute Inc，2006:734 －756.