基于Hertz接觸力模型的慣性平臺內(nèi)框架組件失穩(wěn)倒臺動力學建模與仿真分析

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(中國航天科技集團公司 第十六研究所，西安 710100)

慣性平臺是集機、電、光為一體的復雜精密導航設(shè)備［1］。慣性平臺失穩(wěn)倒臺是各種類型慣性平臺的常見故障。當慣性平臺穩(wěn)定回路的某一環(huán)節(jié)發(fā)生故障時，會使慣性平臺不能穩(wěn)定在慣性空間，即平臺失穩(wěn)，引起倒臺。失穩(wěn)倒臺發(fā)生后，會使平臺失效，飛行任務(wù)失敗。

本文基于Hertz接觸力模型建立慣性內(nèi)框架組件倒臺時的數(shù)學動力學模型。之后使用Ansys Workbench仿真軟件，計算出在倒臺過程中擋塊的應(yīng)力分布云圖。將Ansys Workbench仿真結(jié)果與所建立的數(shù)學模型相比較，證明了所建立的動力學模型以及各項分析的正確性［2］。

1 Hertz接觸力模型

1.1 內(nèi)框架運動學方程

圖1 內(nèi)框示架組件受力示意圖Fig.1 Sketch map of the force about inner gimbal component

內(nèi)框架組件與橡膠擋塊的碰撞受力如圖1所示:其中Fx(t)，F(xiàn)y(t)為外框架施加給內(nèi)框架轉(zhuǎn)軸的力，F(xiàn)為內(nèi)框架與橡膠擋塊碰撞產(chǎn)生的力。假設(shè)一開始內(nèi)框架為豎直，由所建立的模型可知內(nèi)框架逆時針轉(zhuǎn)過45°后與安裝在外框架的橡膠擋塊發(fā)生碰撞。該型號內(nèi)框架組件繞其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz=2.55×105g·cm2，內(nèi)框架組件失穩(wěn)倒臺時力矩電機施加的力矩為M=0.9 N·m，可以計算出內(nèi)框架組件倒臺后與橡膠擋塊碰撞前一瞬間內(nèi)框架的角速度為:

在對內(nèi)框架倒臺進行力學分析時，根據(jù)Hertz接觸模型，可以假設(shè)內(nèi)框架擋塊的材料即橡膠擋塊性質(zhì)符合圖2中的彈簧－阻尼器力學模型。其剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)分別記為k和c［3，5］。記t=0為碰撞開始時刻。

圖2 橡膠擋塊等效為彈簧－阻尼器模型Fig.2 View rubber obstructive block as spring-damp model

碰撞時內(nèi)框架組件逆時針轉(zhuǎn)動，F(xiàn)1為彈力，F(xiàn)2為阻尼力，方向如圖2所示。可得:F=F1+F2。在碰撞發(fā)生前一時刻，內(nèi)框架的轉(zhuǎn)速為ω(0)，在碰撞發(fā)生t時刻后設(shè)內(nèi)框架的轉(zhuǎn)速為ω(t)，簡記為ω。所以在該瞬時，由Hertz彈性接觸理論得到內(nèi)框架所受的碰撞力F=k δ+c。其中 δ為橡膠擋塊的變形量，為橡膠擋塊的變形速度，則根據(jù)運動關(guān)系及所建立的模型有:

式中:0.035為內(nèi)框架轉(zhuǎn)軸與碰撞點的距離，如圖1所示。

式中:常數(shù)k稱為Hertz剛度系數(shù)，它與接觸面的材料性質(zhì)、接觸面的曲率半徑有關(guān);c為阻尼系數(shù)，完整的表達式為c=c(δ)，是關(guān)于橡膠形變量δ的變量。為了分析內(nèi)框架角速度的變化，需要分別討論這兩項系數(shù)。

1.2 剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)

查閱相關(guān)手冊［6］可得 Hertz剛度系數(shù)其中R，R為兩碰撞物接觸12處的曲率半徑;為材料參數(shù)，定義為，式中μi為泊松比、Ei為彈性模量。最后根據(jù)該型號慣性平臺的實際情況，將兩碰撞物的材料代入剛度系數(shù)k的表達式，得內(nèi)框架組件與擋塊的接觸剛度系數(shù)k=1.2425×107N/m。

阻尼系數(shù)c(δ)=λδ，其中λ稱為滯后阻尼系數(shù)，em為碰撞恢復系數(shù)，則根據(jù)能量損失和經(jīng)驗公式［7］可得:

可以看到阻尼系數(shù) c(δ)為隨著形變δ改變的量。考慮到形變δ的值較小及后續(xù)求解的簡便性，可以近似認為阻尼系數(shù)c(δ)不變，且為減少誤差可令其中δm為壓縮階段彈簧－阻尼力學模型的最大壓縮量。根據(jù)能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系，可以計算出δm=ω(0)·ω(0)，，k均為已知量，則可知。通過使用仿真工具Ansys Workbench的計算，得到的平均碰撞恢復系數(shù)是 em=0.57，最終可得阻尼系數(shù) c(δ)=4071.6。

1.3 角速度與碰撞力

在內(nèi)框架組件與橡膠擋塊發(fā)生碰撞的前一瞬間，內(nèi)框架組件的角速度ω(0)=7.44 rad/s;此時開始產(chǎn)生碰撞力，而且碰撞力是由彈簧－阻尼器力學模型中的阻尼器施加給內(nèi)框架組件的，該阻尼力只與橡膠擋塊的形變速度有關(guān)，即ω(0)Iz=－0.0352c ω(0)。以上兩個條件作為式(2)的邊界條件。而剛度系數(shù)k，阻尼系數(shù)c為常數(shù)，代入內(nèi)框架組件轉(zhuǎn)動慣量Iz的值，令，因此式(2)為二階常系數(shù)奇數(shù)線性微分方程組。所以列寫微分方程的特征方程，并且設(shè)r為特征方程的根得:

得內(nèi)框架組件的角速度表達式為:

還可得在任意時刻的碰撞力為:

根據(jù)式(5)、式(6)計算出內(nèi)框架的角速度、碰撞力變化情況，結(jié)果如圖3所示:

可以看到，一開始碰撞力隨著時間的延長而增大，這是因為在橡膠壓縮階段，橡膠的形變量越大，彈力越大，在0.001604 s時，橡膠的彈力達到最大值為3522 N。而過了碰撞力最大值后，碰撞力逐漸變小，這是因為橡膠的形變減小，使得碰撞力變小。大約在0.00376 s時，碰撞力最小，可以預(yù)見此時內(nèi)框架組件與橡膠檔釘不再接觸。

圖3 內(nèi)框架組件碰撞力變化過程Fig.3 The change process of inner gimbal component force because of impact

圖4 內(nèi)框架組件轉(zhuǎn)速與時間段關(guān)系Fig.4 The change process of inner gimbal component rotate speed because of impact

圖4為內(nèi)框架組件的角速度變化曲線。在碰撞發(fā)生的一瞬間，內(nèi)框架組件的角速度通過理論計算為:ω(0)=7.44 rad/s(在此規(guī)定角速度與力矩逆時針為正)。所以從圖可知，一開始內(nèi)框架組件逆時針轉(zhuǎn)動，碰撞之后速度開始變小，直至變?yōu)榱恪Ｔ谂鲎擦Φ淖畲筇帲瑑?nèi)框架組件的角速度最小。由于還存在碰撞力，且碰撞力產(chǎn)生的力矩為順時針，所以內(nèi)框架組件的角速度開始為負，并順時針轉(zhuǎn)動。外框架組件最終的轉(zhuǎn)速為ω末=5.14 rad/s，這是因為沒有發(fā)生完全彈性碰撞，在碰撞點有能量的損失，所以最終的角速度小于發(fā)生碰撞一瞬間時的角速度。角速度最小的時間是0.00373 s，碰撞力的最小時間是0.00376 s，誤差為0.5%。

2 內(nèi)框架結(jié)構(gòu)建模及仿真

2.1 結(jié)構(gòu)及其有限元簡圖

本文利用Pro/ENGINEER軟件構(gòu)造出慣性平臺外框架與內(nèi)框架組件的簡化結(jié)構(gòu)。通過軟件的測量功能來得到簡化的內(nèi)框架組件的質(zhì)量和繞內(nèi)框架組件轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，通過調(diào)節(jié)內(nèi)框架組件的密度保證最終得到的簡化與實物的轉(zhuǎn)動慣量相同。圖5為系統(tǒng)的內(nèi)框架組件簡圖和有限元模型。

根據(jù)該型號慣性平臺的實際情況，內(nèi)框架組件的轉(zhuǎn)動慣量為:Iz=2.55×105g·cm2，根據(jù)三維建模軟件，令簡化的內(nèi)框架組件密度為 ρ=2.933×104kg/cm3。在Ansys Workbench里，輸入三個零件的材料參數(shù)。根據(jù)實際倒臺時的情況，施加約束條件和力矩，進行仿真計算。

圖5 內(nèi)框架組件結(jié)構(gòu)簡圖及其有限元模型Fig.5 Structure and FEM of inner gimbal component

2.2 碰撞力仿真結(jié)果

設(shè)置好上述材料、載荷等參數(shù)之后進行計算，橡膠擋塊的碰撞應(yīng)力變化以及應(yīng)力云圖分布如圖6所示。

圖6 有限元分析碰撞力的變化及云圖分布Fig.6 The distributing of inner gimbal component force by FEM

從圖中可以看出:在t=0.21784 s時，碰撞開始;在t=0.2195 s時，碰撞應(yīng)力達到最大，為32.06 MPa;在t=0.2218 s時，碰撞結(jié)束。總的碰撞時間為:t=0.004。與所建立模型相比，時間誤差為8%。滿足工程中小于10%的要求。

由圖還可以看出:碰撞面最大應(yīng)力為32.06 MPa，根據(jù)仿真情況，劃分單元格時的長度為5mm，所以根據(jù)圖6(b)可估算出，碰撞面積約為100mm2，碰撞力為:

模型的碰撞力為3522 N，兩者的誤差為9%，符合工程中小于10%的要求。

3 結(jié)論

本文基于Hertz接觸力模型，建立內(nèi)框架組件倒臺動力學模型，全面分析了內(nèi)框架倒臺時候的碰撞力和角速度變化過程。并通過仿真軟件，輸入倒臺時內(nèi)框架的各項物理參數(shù)、邊界條件以及所受的外部載荷。通過仿真，證明了使用Hertz接觸力模型是可以求取內(nèi)框架倒臺時候的碰撞力，并且誤差滿足工程要求，為后續(xù)的平臺設(shè)計提供了重要的參考。

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