考慮壓力變化的超磁致伸縮超聲換能器動態(tài)模型

曾建斌 白保東 曾庚鑫 曾海泉 李永建

（1.沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院 沈陽 110870 2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廣州 5106402 3.廈門理工學(xué)院機(jī)械系 廈門 361024 4.河北工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院 天津 300130）

1 引言

由美國海軍水面武器中心發(fā)明的被稱為Terfenol-D的稀土超磁致伸縮材料，具有磁致伸縮應(yīng)變大、能量密度高、響應(yīng)速度快、輸出功率大、轉(zhuǎn)換效率高以及居里點溫度高等特點，已經(jīng)在精密加工、水聲工程和微型機(jī)電系統(tǒng)等領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用。由于其相對高的導(dǎo)熱能力，使得超磁致伸縮材料在功率超聲領(lǐng)域的優(yōu)勢尤為突出[1]。

熱量的產(chǎn)生和散發(fā)是制約超磁致伸縮功率超聲換能器功率提升的關(guān)鍵問題。換能器的熱量主要來自磁滯損耗、渦流損耗、線路電阻損耗及機(jī)械阻尼損耗，磁滯損耗是最主要的也是最難解決的問題。

目前針對超磁致伸縮材料及器件磁滯現(xiàn)象的研究多數(shù)集中于磁滯對于運動軌跡的影響，且一般針對低頻執(zhí)行器（作動器），有關(guān)超磁致伸縮材料磁滯損耗大小的文獻(xiàn)很少，未見用Jiles-Atherton 磁滯數(shù)學(xué)模型[2,3]計算超磁致伸縮換能器磁滯損耗的報道，針對國產(chǎn)超磁致伸縮材料這方面的研究更是空白。因此，對這方面的研究是很有必要的，只有將磁滯生熱機(jī)理及其影響因素研究清楚，才能在設(shè)計中對導(dǎo)致生熱的因素加以抑制，減少熱量的產(chǎn)生和能量的消耗，并采取相應(yīng)的散熱措施。

本文以臺州椒光稀土材料有限公司生產(chǎn)的Terfenol-D超磁致伸縮材料為致動元件，設(shè)計一臺超聲換能器原型，并對其進(jìn)行了實驗測試，得到了第一手的實驗數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上提出了考慮壓力變化的反向Jiles-Atherton磁滯模型。

2 超磁致伸縮超聲換能器的機(jī)械結(jié)構(gòu)

本文設(shè)計的Terfenol-D超磁致伸縮超聲換能器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。在位于上導(dǎo)磁環(huán)和下導(dǎo)磁環(huán)之間的線圈中通入固定頻率的交變電流，會在換能器內(nèi)部激發(fā)一個交變的磁場，交變磁場使內(nèi)部超磁致伸縮棒產(chǎn)生振動，振動通過下導(dǎo)磁片等零件傳到外部。

3 原始Jiles-Atherton磁滯數(shù)學(xué)模型

目前對超磁致伸縮材料磁滯特性的研究大多建立Jiles-Atherton磁滯數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，因此下面將對該磁滯數(shù)學(xué)模型作一個簡要的介紹。

在原始的Jiles-Atherton磁滯數(shù)學(xué)模型中，磁性材料的磁化強(qiáng)度由可逆磁化分量Mrev和不可逆磁化分量Mirr構(gòu)成，如下式所示：

圖1 Terfenol-D超磁致伸縮超聲換能器的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of Terfenol-D magnetostrictive ultrasonic transducer

考慮的磁性材料的實際磁化過程，可逆磁化分量和不可逆磁化分量與非磁滯磁化強(qiáng)度Man的關(guān)系可以由下式給出：

非磁滯磁化強(qiáng)度Man可以由下面的朗之萬函數(shù)和外斯分子場理論來來描述，如下所示：

式中，He和Ms分別為有效場強(qiáng)度和材料的飽和磁化強(qiáng)度；α是平均場參數(shù)代表著疇壁之間的耦合強(qiáng)度，可以通過實驗測試的方式得到；Ms可以通過磁性材料的數(shù)據(jù)手冊查得。

因為在磁化的過程中，發(fā)生了一部分能量的損耗，因此引入?yún)?shù)c（0＜c＜1），來代表這部分能量的損失。這樣磁化強(qiáng)度M可以用下式表述：

將式（2）代入式（5）得到

最后Jiles-Atherton磁滯數(shù)學(xué)模型可以用下面的微分方程來描述：

4 考慮應(yīng)力的反向Jiles-Atherton磁滯數(shù)學(xué)模型

原始的Jiles-Atherton磁滯數(shù)學(xué)模型給出了磁化強(qiáng)度M和磁場強(qiáng)度H之間的關(guān)系。通常在磁場有限元分析的過程中可以采用面電流法和體電流法，引入原始的Jiles-Atherton磁滯數(shù)學(xué)模型，來模擬磁化過程。但是這兩種方法不但編程實現(xiàn)起來比較煩瑣，而且磁場求解過程不容易收斂。

由于在以磁矢量位為未知數(shù)的磁場有限元分析中，磁通密度B是比磁化強(qiáng)度M更容易求得，如果能通過B求得H，將大大降低編程實現(xiàn)的難度并加快磁場求解過程收斂速度。反向Jiles-Atherton磁滯數(shù)學(xué)模型[4]正好能滿足上述的要求。

下面對在時步法有限元分析過程中，已知B通過反向Jiles-Atherton磁滯數(shù)學(xué)模型求得H的過程逐步進(jìn)行介紹。

首先假設(shè)B(t)和H(t)在時步t的磁場計算中得到，而且B(t+Δt)通過磁場分析得到，它們都為已知量，則H(t+Δt)的計算步驟如下：

利用式（8），計算得到時步t和（t+Δt）之間B的差值

利用式（9），通過時步t的B(t)和H(t)可以計算得到M(t)

有效磁場強(qiáng)度He(t)可以通過式（10）和式（11）計算得到。

式中，α是平均場參數(shù)代表著疇壁之間的耦合強(qiáng)度；Hσ(t)是恒定壓力對有效場的影響[5,6]。它由下式來近似確定。

式中，λ和σ分別為磁致伸縮材料產(chǎn)生的應(yīng)變及它所受到的應(yīng)力。磁致伸縮材料的應(yīng)變λ和磁化強(qiáng)度M之間的關(guān)系[7-9]為

式中，λs為飽和磁致伸縮；M為材料的磁化強(qiáng)度；Ms為材料的飽和磁化強(qiáng)度。將式（12）代入式（11）得到

于是式（10）可以重新寫成為

原來的參數(shù)α就被新的參數(shù)所代替，同時應(yīng)力的作用在這個模型里被考慮了進(jìn)來。

通過式（14）和朗之萬函數(shù)可以計算得到時步t的非磁滯磁化強(qiáng)度Man(t)

磁化強(qiáng)度M(t)的不可逆分量Mirr(t)可以通過式（16）得到，這里c(0＜c＜1＝是代表磁化過程部分能量的損失的參數(shù)。

通過式（17）和式（18）可以分別計算得到Man對He的導(dǎo)數(shù)和Mirr對Be的導(dǎo)數(shù)

通過下式可以得到磁化強(qiáng)度M對B的導(dǎo)數(shù)

最后（t+Δt）時步的磁化強(qiáng)度M(t+Δt)和磁場強(qiáng)度H(t+Δt)通過式（20）和式（21）計算得到。

上述為考慮了應(yīng)力影響的反向Jiles-Atherton磁滯數(shù)學(xué)模型，將該模型與電磁場有限元分析程序相結(jié)合，使得在對超磁致伸縮超聲換能器內(nèi)部的磁場進(jìn)行有限元計算的過程中不但考慮了磁滯損耗問題，同時還考慮的磁致伸縮材料所受的應(yīng)力對磁場的影響。磁滯損耗可以在磁場計算完成后，對超磁致伸縮材料每個單元B和H之間的數(shù)值積分結(jié)果進(jìn)行累計得到[10]。

5 模型實驗與驗證

本文對自行設(shè)計的超磁致伸縮超聲換能器模型進(jìn)行了不同工作情況下超磁致伸縮換能器的磁滯回線和超磁致伸縮材料的溫升進(jìn)行了測試。圖2和圖3為實驗的接線原理圖和實驗現(xiàn)場。

圖2 實驗接線的原理圖Fig.2 Schematic of test system

圖3 實驗現(xiàn)場Fig.3 Experimental site

取電流頻率為20kHz，預(yù)緊應(yīng)力為6.1MPa的H-B曲線數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的參數(shù)提取，提取得到的參數(shù)如下表所示，這些參數(shù)代入模型計算得到的磁滯回線與實測曲線對比如圖4所示。

表 電流頻率20kHz預(yù)緊應(yīng)力6.1MPa的模型參數(shù)Tab.Model parameters on current frequency 20kHz and 6.1MPa

將上面的參數(shù)代入時步法磁場有限元分析程序里，進(jìn)行換能器的磁場分析。在磁場分析計算的過程中，將電流變化的一個周期離散為180個時步，對于每一時步，進(jìn)行磁場分析，計算Terfenol-D材料中每個單元的磁場強(qiáng)度H和磁通密度B。圖5為第45個時步，換能器內(nèi)部的磁場分布。

圖4 頻率20kHz模型曲線和實測曲線對比圖Fig.4 Model curve and experimental curve on 20kHz

圖5 第45個時步Terfenol-D換能器的內(nèi)部磁場分布Fig.5 Magnetic field distribution of Terfenol-D magnetostrictive ultrasonic transducer in No.45 time-step

完成所有時步的計算后，對超磁致伸縮材料內(nèi)部單元作H對B的數(shù)值積分，得到每個單元的磁滯損耗，通過累加從而得到總的磁滯損耗。最后計算得到磁滯損耗的理論值為72.18W。

最后，計算得到的磁滯損耗作為主要熱源導(dǎo)入到有限元軟件中，進(jìn)行換能器的溫度場分析，得到換能器內(nèi)部的溫度場分布圖，如圖6所示。由圖可見，超磁致伸縮材料周圍的溫度為32.0℃，而實際測量值為34.25℃。

誤差分析：從上述計算可以看出，超磁致伸縮材料周圍的溫度計算值與實測值的相對誤差為-6.52%。本文認(rèn)為，引起誤差的原因為模型計算得到的磁滯回線與實際測得的磁滯回線不能完全重合，而引起該現(xiàn)象的原因為超磁致伸縮超聲換能器的工作頻率比較高，而Jiles-Atherton磁滯模型沒有考慮磁場變化的頻率，因此引入了磁滯損耗計算的誤差，最后導(dǎo)致了溫升計算的誤差。

圖6 四分之一結(jié)構(gòu)的熱分布圖Fig.6 Thermal distribution of a quarter of Terfenol-D ultrasonic magnetostrictive transducer.

6 結(jié)論

本文提出一種基于反向Jiles-Atherton磁滯數(shù)學(xué)模型的，考慮應(yīng)力影響的磁滯數(shù)學(xué)模型，并將它與時步法電磁場有限元分析法結(jié)合，進(jìn)行超磁致伸縮超聲換能器磁滯損耗的計算，然后將計算得到的結(jié)果作為熱源進(jìn)行超聲換能器的溫度場分析，得到超聲換能器內(nèi)部的溫度場分布，為換能器強(qiáng)制冷卻系統(tǒng)的設(shè)計提供了理論依據(jù)。在今后的研究工作中，將在磁滯損耗的計算過程中考慮磁場交變的頻率對Terfenol-D材料磁化過程的影響，使磁滯損耗的計算更加準(zhǔn)確。

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