基于統一數學模型的三相四線制并聯有源電力濾波器的參數優化方法

樂 健 劉開培

（武漢大學電氣工程學院 武漢 430072）

1 引言

適用于三相四線制系統諧波補償的并聯型有源電力濾波器（Active Power Filter，APF）主要有四橋臂結構[1,2]和三橋臂電容中分結構[3,4]。影響補償性能的主要參數包括元件參數，如交流側輸出連接電感和直流側電容，以及運行參數，如直流側電壓和開關頻率[5]。

目前對四線制APF的研究多注重補償算法和開關控制策略的研究，在仿真和實驗驗證時往往直接給出APF的參數[6,7]。一些文獻對APF的參數計算進行了研究，主要的方法包括理論設計[8-10]、根據實驗結果進行設計[11]和根據經驗公式設計等[12]，也有的將上述方法進行結合。

理論設計方法通常以所建立的數學模型為基礎，計算結果比較準確。但目前的設計方法通常針對某一特定的拓撲結構進行，拓撲結構變化時需要重新設計，且未考慮不同開關控制策略的影響，通用性較差。設計時需要的數據量較大，有的數據難以直接得到，限制了該方法的實用性；根據實驗結果來進行設計能克服實際運行中各種不確定因素造成的設計結果不準確的問題，需要的數據量少，但這種方法需要進行多次實驗，設計過程復雜，工作量較大，設計結果往往只對特定的負載情況適用。在設計輸出為正弦的逆變器參數時，通常采用以下經驗方法：即選擇輸出電感的標幺值為逆變器容量的10%～20%。有的研究將這種經驗方法直接應用于三相四線制并聯型APF橋臂輸出電感的設計，但APF橋臂輸出電流中往往包含大量的諧波分量，直接應用該方法將出現較大誤差。本文首先簡要介紹了四線制APF統一的數學模型和各橋臂輸出能力指標，為參數優化提供了理論基礎。文中根據對APF響應速度和控制精度的要求，計算得到了各橋臂輸出電感取值的優化目標表達式，同時對采用電流滯環控制時APF橋臂輸出電流的紋波提出了限制指標。以上述工作為基礎，求解得到了橋臂輸出電感在給定直流側電壓和直流側電容值下的可能取值范圍的約束條件。結合實例說明了在該取值范圍內橋臂輸出電感的優化取值方法。通過仿真計算表明了所提出方法的有效性和實用性。所提出的參數優化設計方法能適用于不同拓撲結構和不同開關控制策略的APF，所需數據少且容易獲取，為從參數設計角度提高APF的補償性能提供了依據。

2 四線制APF的統一數學模型

文獻[13]提出了四線制APF的統一拓撲結構，如圖1所示。

圖1 三相四線并聯APF統一的拓撲結構Fig.1 Unified topology of three-phase four-wire shunt APF

文獻[13]以計算得到各橋臂輸出電流為基礎，在忽略系統零序電壓影響的情況下得到A，B，C橋臂中點對系統中點n的電壓uAn，uBn，uCn，并以其各自絕對值的最大值定義了各橋臂的輸出能力如式（1）所示，以衡量ABC橋臂的諧波補償能力。

式中，k=LS/LN為A，B，C橋臂電感與N橋臂電感值之比；ujn（j=A，B，C）為A，B，C橋臂中點對系統中點n的電壓；E為直流側電容上的總電壓；m定義為

當Ca/Cb=∞，即m=1時，此時的拓撲結構即演變為通常的四橋臂拓撲；當Cb/Ca=∞，即m=0時，此時的拓撲結構即演變為N橋臂輸出帶電感的三橋臂電容中分拓撲。

文獻[13]定義了N橋臂輸出能力如式（3）所示，以衡量N橋臂的諧波補償能力。

忽略系統電壓零序分量時，電壓uF0即是A，B，C橋臂中點對N橋臂中點電壓（uAN，uBN，uCN）的零序分量。

本文利用上述統一數學模型和所定義的輸出能力指標來進行四線制并聯APF的參數優化設計。

3 橋臂輸出電感取值的約束條件

橋臂輸出連接電感值的優化設計目標是：①使得并聯型APF具有較好的諧波和系統中線電流補償能力，即并聯型APF具有較好的響應速度。②使得并聯型APF橋臂輸出電流中的高次諧波含量小于設定值，即并聯型APF具有較好的控制精度。

3.1 上限約束條件的求解

輸出電感值的上限主要受到優化設計目標①的約束。設各橋臂需要補償的各次諧波電流有效值分別為Il(h)，其中：l=a，b，c，n；h=1，3，…，H；H為設計需要補償諧波的最高次數。

根據ABC橋臂輸出電感上的電壓和電流方程，結合式（1），要求A，B，C橋臂的輸出能力滿足

式中，ul為系統電壓；iFl為各橋臂輸出電流，其參考方向如圖1中所示。

因此設計需要知道上式右端的最大值。現有的計算方法有兩種：

（1）當系統電壓具有最大值時，能夠對最高次諧波進行補償。即

式中，VS為系統相電壓有效值；f1為基波頻率；為保證ABC三橋臂輸出電感值的相同，上式中Iabc(H)為ABC三相需補償的H次電流的有效值最大值。這種方法存在的問題是，最高次諧波不一定具有最大電流變化率，因此采用上式可能使得輸出電感的計算值變大。

（2）當系統電壓具有最大值時，能夠提供此時所需要的最大電流變化率，即

該方法存在的問題是：獲得補償電流的最大變化率通常比較困難，需要知道補償電流的各次諧波相位；同時其最大變化率通常不發生在系統電壓最大時，因而上式可能使得輸出電感的計算值變小。

提出的改進方法為：應當根據并聯型APF的容量和負載的主要類型分別計算式（4）右端最大值。分為兩種情況：

（1）負載多為整流橋并聯電容的情況。此時最大電流變化率通常發生在系統電壓最大值附近。計算方法為：當系統電壓具有最大值，能夠對具有最大電流變化率的諧波進行補償，式（4）右端最大值為

式中，h為ABC三相需補償電流中具有最大變化率的諧波的次數；Iabc(h)為相應h次電流的有效值。

（2）負載多為整流橋串聯電抗的場合。此時各次電流變化率都比較大，且需補償電流的最大變化率通常發生在系統電壓較小時。可忽略系統電壓的影響，認為各次電流同時具有最大變化率。式（4）右端最大值為

根據N橋臂輸出能力式（3）可以得到

式中，us0為系統電壓的零序分量。分析時忽略系統零序電壓的影響。由于N橋臂輸出電流變化率與系統電壓無關，可根據類似式（8）的形式來計算式（9）右端的最大電流變化率

將式（7）或式（8）代入式（4）可得到各橋臂輸出電感值上限約束條件1。將式（10）代入式（9）可得到上限約束條件2。

3.2 下限約束條件的求解

輸出電感值的下限主要受到優化設計目標（b）的約束。并聯型APF在工作時產生的高次諧波的情況與采用的開關控制策略和負載情況相關：采用開關頻率固定的控制方法時，輸出電流含量最大的高次諧波的頻率等于開關頻率，通常以該次諧波的含量來計算約束條件。而對于開關頻率不固定的控制策略如電流滯環比較，其產生的高次諧波隨運行點不同變化較大，目前還沒有相應的計算方法。

（1）采用開關頻率固定的控制方法時。要求A，B，C橋臂輸出電流的高次諧波不大于負載基波額定電流的5%。即

式中，I1為負載額定電流基波有效值；fsw為開關頻率；VFl(fsw)為A，B，C橋臂對系統中點電壓中具有開關頻率的諧波分量的有效值；IFl(fsw)為橋臂輸出電流中具有開關頻率的諧波分量的有效值。可以得到

對N橋臂，要求的計算原則是高次諧波不大于系統中線允許通過電流的5%，可以得到

式中，IN為系統中線允許通過的電流；VFn(fsw)為N橋臂中點對系統中點電壓中具有開關頻率的諧波分量的有效值。化簡后得到

式（12）中αl（l=a，b，c）和式（14）中αn為與調制比和載波比有關的系數，可通過相關諧波分析得到。式（12）和式（14）即為采用開關頻率固定的控制方法時三相四線制并聯型APF輸出電感值的下限約束條件1和2。

（2）采用電流滯環控制時，橋臂輸出電壓ujn（j=A，B，C，N）的諧波含量非常復雜，無法采用與上述類似的方法來進行計算。可利用對輸出電流的紋波限制來進行計算。輸出電流的紋波定義為

通常情況下各橋臂輸出電流參考值為0時輸出電流的紋波最大。對N橋臂，可認為在每個采樣時刻都發生一次開關動作，每個開關周期內電壓uNn均為最大值，此時N橋臂輸出電流的波形如圖2所示。

圖2 參考值為0時N橋臂輸出電流波形Fig.2 Output current waveform of the N leg with the reference equal zero

根據式（15）和圖2可得到

簡化上式，并將N橋臂輸出電流紋波限制為小于設定值。可得到

式中，T1為基波周期；Tsw、fsw為采樣周期和頻率；λn為比例系數，可取5%～10%；IN為系統中線的額定電流。

因此可得到輸出電感的下限約束條件1

當輸出電流參考值為0時，A，B，C橋臂輸出電流變化率受到系統電壓的影響，在兩個相鄰的開關周期內電流的上升和下降的速率是不同的，但在開關頻率足夠高的情況下，可認為相鄰兩個開關周期內的系統電壓值保持不變，這樣系統電壓在兩個相鄰開關周期的作用效果可進行抵消，因此可類似推導出A，B，C橋臂輸出電流紋波限制為

式中，λl為比例系數，可取2%～5%；I1為負載額定基波電流有效值。

由此可得到輸出電感的下限約束條件2

4 直流電壓和直流電容的可取值范圍

4.1 直流電壓的可取值范圍分析

根據文獻[13]的分析，直流電壓值的大小決定了并聯型APF的整體輸出能力。以A,B兩橋臂為例，在某一時刻，A橋臂的輸出電流需要得到正的變化率，同時a相系統電壓為正值。而B橋臂的輸出電流要求得到負的變化率，同時b相系統電壓為負值。寫成公式為

兩式相減可得到

為了滿足各橋臂輸出電流變化率的要求，直流電壓應當在系統a，b相電壓差值的可取值范圍內都滿足上式。因此有

可得到直流電容電壓的下限值為

上式表明：直流電壓至少應當等于系統線電壓的峰值。當系統相電壓有效值為220V時，直流電壓的最小值為539V。

直流電壓的上限值主要受開關器件最大耐壓的限制

式中，VCES為開關管的最大耐壓；n為比例系數，與所采用的直流母線的結構有關。對通常的裸銅板母線結構，n一般取0.5；對疊層功率母線結構，n可取0.75。直流電壓可在其上下限之間的范圍內進行取值。

4.2 直流電容的可取值范圍分析

直流電容值的選取原則是在并聯型APF正常工作的條件下能夠將直流電壓的波動限制在一定范圍內[5]，即

通常取β=1%～2%。計算時認為流入直流電容的有功功率為0，即直流電壓的平均值Vdc=E保持不變；系統電壓為三相正序基波分量。可以得到直流電壓的波動為

根據對文獻[5]的分析，發現其中利用式（26）計算電壓波動時，沒有考慮到基波分量，即上式中的h=3，5，…，但三相四線制并聯型APF需要對負序基波分量進行補償，因此上式計算得到的電壓波動將偏小。可改進上式為同時取β=3%～5%。

從上式可以看出，若負載電流的負序基波分量較大時，此時直流電壓的波動也較大，因而通常以負序基波分量最大的情況下的參數來計算式（27）。負載可能有單相、兩相和三相三種運行方式，而負載單相運行方式下的負序基波分量通常最大，從而也是導致直流電壓波動最大的情況。

因此，可選用負載額定單相運行方式根據式（4）～式（7）來計算電容值。可以得到

因而可得到直流電容的下限約束為

5 橋臂輸出電感優化取值方法

通過一個實例來說明實際橋臂輸出電感約束條件的求解以及在所得到的約束范圍內的優化取值方法。由于橋臂輸出電感、直流電容和直流側電壓存在相互影響和約束，在實際計算時，首先在4.1和4.2節中得到的可取值范圍內選取一個直流電壓值和直流電容值，然后進行橋臂輸出電感值的優化計算。

5.1 仿真計算模型及參數設置

圖3和表分別為仿真計算模型和參數設置。

圖3 仿真計算模型Fig.3 Simulation model

各支路電流方向分別如圖中所示。并聯型APF的采樣頻率為10kHz，0.1s時刻投入，采用電流滯環控制策略。負載為電阻＋單相整流全橋并聯電容電阻負載。A，B相負載與圖中C相的負載類似。

當m=0時，Vdc1=E/2，Vdc2=0；當m=1時，Vdc2=E/2，Vdc1=0。

表 仿真計算參數Tab.Simulation parameters

5.2 輸出電感上限約束計算

通過對負載的諧波含量分析結果表明：3次諧波的電流變化率最大，根據式（7）和式（10）分別可得到

取m=1和m=0，即四橋臂和三橋臂電容中分結構，以k為變量，LS為參變量，畫出k和LS受上限約束的可取值區域分別如圖4a和圖4b所示。圖中陰影部分為同時滿足兩個上限約束條件的可取值區域。

圖4 受上限約束的輸出電感可取值范圍Fig.4 The acceptable value range of the output inductors constrained by the upper-limits

5.3 輸出電感下限約束計算

取m=1和m=0，Tsw=0.1ms，λn=10%，IN=50A來計算下限約束條件1；取λl=5%，I1=100A來計算下限約束條件2。以k為變量，LS為參變量，畫出k和LS受下限約束的可取值區域分別如圖5a和圖5b所示。圖中陰影部分為同時滿足兩個下限約束條件的可取值區域。

圖5 受下限約束的輸出電感可取值范圍Fig.5 The acceptable value range of the output inductors constrained by the lower-limits

5.4 輸出電感值優化計算

將輸出電感的上下限約束條件進行綜合，可得到輸出電感的最優化取值范圍。當m=1時，綜合圖4a和圖5a，可得到輸出電感優化取值區域如圖6a中陰影部分所示。當m=0時，綜合圖4b和圖5b，可得到輸出電感優化取值區域如圖6b中陰影部分所示。

通常可在所得到的優化取值區域內任意取值，但從實際情況出發，可根據輸出電感比值k的大小進一步將優化取值區域分為三個部分：

圖6 輸出電感可取值范圍Fig.6 The acceptable value range of the output nductors

k＜1，如圖6a和圖6b中S1區域，通常得到優化取值范圍不包括這個區域，即使包括該區域，由于在該區域內各約束邊界曲線具有較大的變化率，因此輸出電感值的輕微變化都可能使得約束條件得不到滿足。因此一般不考慮k＜1區域的取值。

k＞10，若有滿足該區域的取值，如圖6a和圖6b中S3區域，當k值越大，中線輸出電感將越小，考慮制造成本和設計方便的因素，可將k取為無窮大，即中線電感可取值為0，如圖6a中可選擇k=∞，LS=10mH。由于中線電感可省去，因此可在該區域內取值時，應優先考慮k=∞的取值。

1≤k≤10，若只有滿足此區域的取值，如圖6b中S2區域，則應使得取值點位于優化取值區域中心位置，可保證實際運行過程中電感值發生變化時仍盡可能處于可取值范圍內。如圖6b中可選擇k=5，LS=4mH。

可以看到，所提出的方法計算過程簡單，所需要的數據量較少，且只需要通過簡單的仿真計算即可得到，具有較好的實用性。

6 優化取值方法的驗證

m=1時，優化設計得到的電感值為k=∞，LS=10mH。圖7a為系統各相電流THD的變化；圖8b為系統中線電流有效值的變化；圖7c為空載條件下各橋臂輸出電流的紋波有效值。

從圖7a可以看到，補償后系統a，b，c相電流THD值均下降為小于2%；從圖8b可以看到，補償后系統中線電流有效值下降為小于1.5A，均滿足設計性能要求；從圖7c可以看到，當參考值為0時，A，B，C橋臂的輸出電流紋波有效值小于1.5A，滿足小于5A（100A×5%）的要求，N橋臂的輸出電流紋波有效值小于3A，滿足小于5A（50A×10%）的要求。上述結果說明了所選擇的各參數使得四橋臂結構并聯型APF具有良好的性能。

圖7 仿真計算結果Fig.7 Simulation results

對m=1時，取k=∞，LS=12mH進行仿真計算，與k=∞，LS=10mH時系統C相補償后電流THD的對比如圖8所示。再取k=∞，LS=6mH，按空載進行仿真計算，與k=∞，LS=10mH時橋臂N輸出電流有效值的對比如圖9所示。

圖8 不同電感值時系統C相電流THDFig.8 THD of system phase C current with different inductances

圖9 不同電感值時橋臂N輸出電流有效值Fig.9 Output current of leg N with different inductances

根據對圖8的分析可知，橋臂電感取值不滿足上限約束條件1時，響應速度會下降，導致補償后系統C相電流的THD從2%左右上升至4%，補償效果變差。而根據對圖9的分析可知，橋臂電感取值不滿足下限約束條件1時，控制精度會下降，導致空載時橋臂N輸出電流（空載時也即補償后系統中線電流）紋波增大，其有效值從2.8A左右上升至超過5A。

上述分析結果說明橋臂電感取值不滿足約束條件時，APF的補償性能將變差，也驗證了本文提出的優化取值方法的有效性和準確性。

m=0時，參數優化設計得到的電感值k=5，LS=4mH。仿真計算結果同樣表明所選擇的各參數使得三橋臂電容中分結構并聯型APF具有良好的性能。相應波形和結果分析不再給出。說明了該方法對各種拓撲結構都是普遍有效的。

7 結論

本文提出了三相四線制并聯型APF的參數優化設計方法，所研究的成果為提高三相四線制并聯型APF的性能提供了基礎。文中按不同負荷類型，根據對APF響應速度的要求計算得到各橋臂輸出電感取值的上限約束條件；研究了采用空間矢量控制和電流滯環控制時橋臂輸出電流紋波的計算方法，根據對APF控制精度的要求得到各橋臂輸出電感取值的下限約束條件，使得約束條件的計算更加準確，并能適用于不同的控制策略。文中還通過實例說明了在可取值范圍內橋臂輸出電感優化取值方法的具體步驟。通過仿真計算進行了橋臂輸出電感采用優化值和不滿足約束條件的取值時APF的性能比較，驗證了該方法的有效性和正確性。

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