球形孔洞膨脹動態問題的彈性-損傷力學分析

于雪梅，程 偉，吳 爽

(1.北京航空航天大學航空科學與工程學院，100191 北京;2.黑龍江大學建筑工程學院，150081 哈爾濱)

球形孔洞膨脹動態問題的彈性-損傷力學分析

于雪梅1，2，程 偉1，吳 爽1

(1.北京航空航天大學航空科學與工程學院，100191 北京;2.黑龍江大學建筑工程學院，150081 哈爾濱)

研究了材料還沒有出現塑性變形、僅含彈性區和損傷區的球形孔洞動態擴展問題.首先通過對彈性區的研究以及初始損傷分析獲得彈性區的場量分布，并給出彈性/損傷區交界處的邊界連續條件;然后在自相似假設條件下，推導出動態擴展時損傷區需滿足的控制方程;最后通過打靶法進行數值求解.數值分析表明，許多材料參數如ν、n、m都對彈性區和損傷區的場量分布有影響.

孔洞膨脹;損傷力學;自相似假設;打靶法

關于球形孔洞膨脹問題的研究目前廣泛應用于材料力學實驗、地下爆破、高速穿透、防爆設計以及航空航天工程設計等方面.人們根據研究的內容不同而抽象出不同的受壓球形(柱形)孔洞膨脹模型，從而在理論上解決實際工程問題.如Forrestal和Luk［1－3］研究了可壓縮彈塑性材料以及應變硬化材料中的球形孔洞膨脹問題;Satapathy［4］研究了脆性陶瓷材料中動態球形孔洞的擴展問題;Durban 和 Masri［5－6］研究了可壓彈塑性介質中球形孔洞的動態擴展;劉趙淼等［7］利用球形孔洞模型從理論上研究了泡沫金屬材料的動態力學性能及抗侵徹能力，并進行了實驗驗證;Gao［8－9］提出了兩種孔洞膨脹模型以研究彈塑性應變硬化材料的壓入變形問題.以上這些研究基本都集中在對于塑性區動態本構方程上，而鮮有對損傷區的研究.實際上，由于變形的連續性，在彈性區到塑性區的過渡中，必然存在損傷區.對此，唐立強、于雪梅等［10－11］針對含損傷區和塑性區的球形孔洞的準靜態和動態擴展問題進行了專門研究.本文即主要研究損傷區的動態變形特點.當然，本文所討論內容要求孔洞膨脹速度m較小(一般小于0.4)，且材料沒有出現塑性變形，否則必須考慮塑性區的存在甚至塑性沖擊波的作用［12］.

本文建立了含損傷區的球形孔洞膨脹三區模型，采用自相似假設，研究了含損傷區的球形孔洞動態擴展問題，并通過數值計算討論了材料參數的變化對損傷區場量的影響.

1 含損傷區的球形孔洞動態膨脹模型

含損傷區的球形孔洞動態膨脹模型如圖1所示.圖中pc為孔洞內壓，A為孔洞內徑.如取量綱為一的半徑ξ=r/A，則取ξi為彈塑性交界，ξw為波前，具體見圖示.采用自相似假設［5］，則在穩定擴展階段，場量對時間的物質導數可以表示為

圖1 含損傷區的球形孔洞動態膨脹模型

邊界條件和連續條件為

1)當 ξ=1時，V=1，Σr=-pc;

2)當 ξ= ξi時，Σre= Σrd，Ve=Vd，ρe= ρd;

3)當 ξ= ξw時，ρ= ρ0，V=0，Σr= Σθ=0.式中:下標e表示彈性區;d表示損傷區;ρ0、ρ分別為變形前、后材料的密度.

2 基本方程

2.1 幾何方程

在球形坐標(r，θ，φ)下，幾何方程的率形式為

2.2 物理方程

球坐標下損傷區的物理方程為

其中D為實際損傷變量，且D=D*-Di0，D*為名義損傷因子，Di0為初始損傷因子.在彈性區，D=0，此時方程(2)化為彈性區物理方程.在彈性區與損傷區邊界處，應變狀態用Σ表示，初始損傷變量為Di0.n、ν分別為損傷指數和泊松比.

式中K為損傷模量，由材料屬性決定.

2.3 運動方程

取無量綱化應力 Σij=σij/E(E為彈性模量).在自相似假設下，運動方程可以表達為［5］

2.4 質量守恒方程

在球對稱條件下，質量守恒方程為

將式(1)帶入式(5)并化簡得

2.5 控制方程

將物理方程(2)兩邊求導，并用幾何方程(1)帶入化簡，在自相似假設下化簡可得到損傷區的控制方程為

3 求解方法

3.1 彈性區的解

考慮邊界條件以及彈性區的應力條件(|Σr|?1，|Σθ|?1)，可確定彈性區的解為

3.2 損傷區的解

綜上所述，式(1)～ (2)、(4)、(6)、(7)即構成了損傷區的控制方程組，其中變量有5個，即Σθ、Σr、V、ρ、D，未知數與方程數相同，方程可解.經推導，可確定損傷區求解應力場的方程為

其中:

其中D值可由式(3)確定，然后由式(4)、(6)可獲得密度場和速度場為

其中:

從式(13)、(14)可以看出，當D=0時，兩式化為式(10)、(11)，說明在兩區交界處，速度場和密度場的分布是連續的.

4 數值計算

從式(8)～(14)可以看出，計算的關鍵在于設定兩區(彈性/損傷)交界處的邊界條件，這里存在待定常數C2和兩區交界處的位置ξi.在彈性區和損傷區交界處應力滿足的初始損傷條件［13］為

其中KIC為材料的斷裂韌度.由式(15)可以確定彈性區待定常數C2.在計算中只需采用打靶法，給定任意的ξi≥1，由方程(8)～(11)可以得出彈性區的全部信息，其與損傷區交界處的場量即可作為求解損傷區的邊界條件，進一步由式(12)～(14)進行計算，就可獲得損傷區場量分布.檢查所得到的損傷區速度場在ξ=1時是否滿足邊界條件V=1，否則重新進行打靶，直到在ξ=1處滿足V=1為止.當ξi確定，就確定了損傷區的范圍和損傷區的全部場量的分布.

從彈性區和損傷區的應力場、速度場、密度場表達式(8)～(15)可知，初始裂紋長度ˉa0、泊松比ν以及孔洞無量綱化膨脹速度m對彈性區和損傷區的場量分布均有影響，損傷指數n對損傷區分布有影響.對相關參數分別取不同值，通過數值計算可確定各參數對場量的影響.

另外，由前述分析可知，彈性區、損傷區的所有場量分布均是連續的，因此下文只給出損傷區的場量分布.

1)孔洞無量綱化膨脹速度m對場量的影響.取KIC/E=3.8×10-5，K=0.2，n=5，ˉa0=2×10-4(m)，ν=0.15，m=0.15/0.35，經計算可獲得求解損傷區的初始條件見表1，損傷區的場量分布見圖2.

表1 求解損傷區的初始條件(m不同)

從圖中可見，m增加，損傷區的連續范圍減小，對應同一ξ處，所有場量分布均增大，且在孔洞附近D的變化率明顯增大.可以認為孔洞膨脹速度增大時，孔洞內徑處的壓力增大，因而導致材料更容易受到破壞，使得損傷區的范圍減小.圖中D為損傷變量，在ξi處為0.

圖2 不同m對損傷區場量分布的影響

2)損傷指數n對場量的影響.取KIC/E=3.8×10-5，K=0.2，ν=0.15，ˉa0=1×10-4(m)，m=0.15，n=1/5，經計算可得求解損傷區的初始條件見表2，損傷區的場量分布見圖3.

表2 求解損傷區的初始條件(n不同)

圖3 不同n值對損傷區場量分布的影響

從圖中可見，n增加，損傷的連續區域增大，即損傷區范圍增加，對應同一ξ處，速度場減小、應力場增大.說明隨材料韌性增加，導致材料損傷所需的應力越大，同時材料的變形減小，材料抵抗損傷的能力增大.

3)泊松比ν對場量的影響.取KIC/E=3.8×10-5，m=0.15，K=0.2=1×10-4(m)，n=5，ν=0.15/0.35，經計算可得求解損傷區的初始條件見表3，損傷區的場量分布見圖4.

表3 求解損傷區的初始條件(ν不同)

圖4 不同ν值對損傷區場量分布的影響

從圖中可見，ν增加，損傷區的連續范圍減小，對應同一ξ處，除密度變化較小外，其它場量均增大.

總之，孔洞附近損傷區場量變化明顯，甚至會出現突然拐點，而遠離孔洞處場量變化和緩，趨近彈性區場量分布.

5 結論

1)本文確定了孔洞膨脹速度m較小(一般小于0.4)時包含損傷區的球形孔洞動態膨脹的解析解和數值解，在兩區交界處所有場量均連續;

2)在孔洞附近，損傷區的變形比較復雜，場量變化較為劇烈，而在遠離孔洞處，場量變化較為和緩;

3)材料參數如泊松比ν、損傷指數n以及球形孔洞無量綱化膨脹速度m等都對彈性區和損傷區的場量分布有影響.ν越大，同一半徑處的應力場和速度場增大;m越大，應力場和速度場越大，同時可能出現應變硬化現象;n增加，損傷的連續區域增大，即損傷區范圍增加，對應同一ξ處，速度場減小、應力場增大.

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［13］王自強，陳少華.高等斷裂力學［M］.北京:科學出版社，2009:14－39.

Dynamic analysis of elastic and damage mechanics on spherical cavity expansion problem

YU Xue-mei1，2，CHENG Wei1，WU Shuang1
(1.School of Aeronautic Science and Engineering，Beihang University，100191 Beijing，China;2.School of Architecture and Engineering，Heilongjiang University，150081 Harbin，China)

The dynamic spherical cavity expansion with damage and elastic area was investigated when distortion is so small that no plastic area arisen.First，by study of elastic region and initial damage，the stress distribution and the continuous conditions in the intersection of damage and elastic regions were given.Then the governing equations to solve the problem of dynamic expansion in the damage zone were deduced.Finally，numerical solutions of the non-linear differential equations were obtained by shooting method.The results show that some material parameters such as v、n、m have influence on the field quantities of elastic and damage regions.

spherical cavity expansion;damage mechanics;self-similar hypothesis;shooting method

O346.5

A

0367－6234(2012)07－0126－04

2011－04－10.

黑龍江省自然科學基金資助項目(A2004-08).

于雪梅(1969—)，女，博士后;

程 偉(1961—)，男，教授，博士生導師.

于雪梅，yuxuemei69@tom.com.

(編輯 張 宏)