δ-John域上共軛P-調和類型張量的Hardy-Littlewood積分估計

徐秀娟，劉曉麗

(河北聯合大學理學院，河北唐山 063009)

0 引言

類似于對A-調和方程解的積分性質的研究，Ding和Bao等人對p-調和類型方程解的積分性質進行了深入研究，得到p-調和類型方程解的局部積分估計［1］。由于局部區域在具體問題的應用中有其局限性，所以研究問題的全局性已經成為人們所研究的重點內容之一。在文獻［2］中Nolder給出了共軛A-調和張量局部的Hardy-Littlewood積分不等式，并且將其推廣到δ-John域上，得到了全局Hardy-Littlewood積分不等式。本文在此基礎上，利用δ-John域的性質和Whitney覆蓋，通過選擇適當的bQ，得到了δ-John域上p-調和類型方程A(x，a+du)=b+d*v的Hardy-Littlewood不等式。

1 基本概念與引理

定義［2］:如果Ω是Rn的一個子域，δ＞0，存在一個點x0∈Ω，可以通過一條連續曲線γ?Ω將任意Ω中的點x連接起來且

對任意ξ∈γ成立，這里dξ，?()Ω是ξ和?Ω之間的歐幾里德距離，那么稱Ω是一個δ-John域。

引理1.1［2］設Ω?Rn是一個δ-John域，那么存在一個Ω中的開覆蓋ν，使得:

(2)存在一個特定的立方體Q0∈ν(稱為中心立方體)，可以與ν中任一個立方體Q通過ν中立方體Q0，Q1，…，Qk=Q連接起來，使得對每一個i=0，1，…，k-1，有Q?NQi，且存在立方體R?Rn(這個立方體不需要在ν中)有下式成立:

引理1.2［3］設u∈D(Ω，∧0)，v∈D(Ω，∧2)是p-調和類型方程A(x，a+du)=b+d*v的一組解，給定a，()b∈LpΩ，∧()l×LqΩ，∧()l，σ＞1是任意的常數，則存在與a，b，u，v無關的常量C，對于所有滿足Q?σQ?Ω的立方體Q，及對任意的0＜s，t＜∞，滿足:

這里c∈Ω，()∧滿足d*c=0，α=

引理1.3［2］對于任意一個Ω?Rn，存在一個動態的方體型的Whitney覆蓋W=滿足:

對所有的x∈Rn和某一N＞1成立，并且當Qi∩Qj≠?時，存在一個方體R(?W)屬于Qi∩Qj使得Qi∩Qj?NR。另外，如果Ω是一個δ－John域，那么有一個特殊的方體Q0∈W，能與任何一個方體Q∈W用W中的一個方體鏈Q0，Q1，…，Qk=Q連接，使得Q? ρQi， (i=0，1，…，k)，對某一個 ρ=ρ(n，δ)成立。

引理1.4［2］令0＜s＜∞，Ω是一個δ－John域，W是引理1.3中的一個Ω的Whitney分解，u∈D(Ω ，∧0)是一個廣義的函數，如果對于任意的方體Q∈W都存在一個常數bQ使得:

那么存在一個僅與s，n和ρ有關的常數C，使得:

2 主要結果

其中c∈Ω，()∧且d*c=0

證明:因為u∈DΩ，∧()0，v∈DΩ，∧()2是p－調和類型方程的一組解，所以由引理1.2可得:

當s=φ()t時，對(2.1)式兩邊進行s次方，得到:

當0＜s＜1時，由基本不等式，得到:

當σ=時，由(2.3)和(2.4)式知，當時，應用引理1.4得到:

從而當s=φ()t，q≤p時，有qs/pt≥1，因此

證畢

［1］L.D’Onofrio，T.Iwaniec.The P-harmonic transform beyond its natural domains of Definition［J］.Indiana Univ.math.2004，53(3):683-718.

［2］C.A.Nolder.Hardy-Littlewood Theorems for A-harmonic Tensors［J］.Illinois J.Math.1999，4(43):613-632.

［3］Z.Cao，G.Bao and R.Li.The Hardy-Littlewood Inequality for the Solution to P-harmonic Type System［J］.Mathematical Inequality and Application.2010.

［4］高紅亞，張昱.A-調和張量的雙權積分不等式.河北大學學報(自然科學版).2008，28(2):124-129.

［5］李娟.微分形式的雙權積分不等式［J］.數學物理學報.2007，27A(3):515-523.