滾動(dòng)摩擦隔震結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)擬動(dòng)力試驗(yàn)數(shù)值積分方法

王靜，龔志方，馬俊濤，張振凱，葛楠

(河北聯(lián)合大學(xué)，河北省地震工程研究中心，河北唐山 063009)

0 引言

在動(dòng)力反應(yīng)數(shù)值分析方法中，隱式格式能使計(jì)算過程中產(chǎn)生的誤差逐漸減小，不會(huì)累積到惡化的程度，因而無條件穩(wěn)定格式都是隱式的，而顯式格式不具備這一功能。因此在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中一般都采用隱式方法［1］。

結(jié)構(gòu)擬動(dòng)力試驗(yàn)中更重視隱式方法的應(yīng)用［2-9］，這是因?yàn)樵谠囼?yàn)過程中，除了數(shù)值計(jì)算過程中產(chǎn)生誤差以外，還有量測傳感器本身精度誤差、讀數(shù)誤差等，使穩(wěn)定條件更不容易得到滿足。雖然隱式方法對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的數(shù)值計(jì)算是沒有困難，但在擬動(dòng)力試驗(yàn)當(dāng)中隱式數(shù)值積分方法是無法應(yīng)用的，因?yàn)殡[式方法在下一步加載位移的同時(shí)要用到下一步的恢復(fù)力，而恢復(fù)力也是下一步加載位移后需要測量的，所以擬動(dòng)力試驗(yàn)方法中下一步的加載位移必須是已知的或稱為顯式的。雖然現(xiàn)在在傳統(tǒng)的擬動(dòng)力試驗(yàn)中可以采用隱式數(shù)值積分方法進(jìn)行擬動(dòng)力試驗(yàn)［1］，但在實(shí)時(shí)擬動(dòng)力試驗(yàn)中，由于聯(lián)機(jī)迭代需要較長的時(shí)間，實(shí)際上也是無法應(yīng)用的，因此需要采用子結(jié)構(gòu)技術(shù)，將整個(gè)結(jié)構(gòu)分成試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)與計(jì)算子結(jié)構(gòu)兩部分，在試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)中采用傳統(tǒng)的顯式數(shù)值積分方法，而在計(jì)算子結(jié)構(gòu)部分采用無條件穩(wěn)定的隱式數(shù)值積分方法，形成組合數(shù)值積分方法［1］。

另一方面，結(jié)構(gòu)擬動(dòng)力試驗(yàn)涉及到設(shè)計(jì)到速度相關(guān)裝置，其恢復(fù)力與位移及速度往往表現(xiàn)為復(fù)雜非線性的關(guān)系(例如FPS摩擦擺隔震支座或RFPS摩擦擺輥軸隔震支座)，在大位移運(yùn)動(dòng)條件下其控制方程是非線性常微分方程，難以由隱式格式推導(dǎo)出顯式的計(jì)算公式，因此對(duì)隔震支座部分的運(yùn)動(dòng)方程，也應(yīng)該直接采用隱式格式的計(jì)算公式，因此在整體結(jié)構(gòu)中將出現(xiàn)三種子結(jié)構(gòu):隔震子結(jié)構(gòu)、試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)及計(jì)算子結(jié)構(gòu)。本文以一個(gè)7層采用ERFPS偏心輥軸摩擦擺隔震支座的結(jié)構(gòu)為例，推導(dǎo)了考慮這三種子結(jié)構(gòu)時(shí)地震動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算組合數(shù)值積分方法－改進(jìn)子結(jié)構(gòu)法，并給出了在實(shí)時(shí)擬動(dòng)力試驗(yàn)中具體應(yīng)用過程。

1 改進(jìn)子結(jié)構(gòu)法計(jì)算公式

設(shè)置滾動(dòng)摩擦裝置的結(jié)構(gòu)如圖1所示。設(shè)偏心輥軸截面轉(zhuǎn)角為q，則可作為反應(yīng)隔震裝置的廣義坐標(biāo)，q的運(yùn)動(dòng)方程具有如下的形式［10］:

其余質(zhì)點(diǎn)m1至mn的運(yùn)動(dòng)方程與一般多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程相同，具有如下的形式:

式中，θ是滑塊偏離滑道中心的角度;r是滑道半徑;ci、ki分別是第i層的阻尼系數(shù)及剛度系數(shù);xi，及x¨i分別是質(zhì)點(diǎn)mi的運(yùn)動(dòng)位移、速度及加速度;μs是滑動(dòng)摩擦系數(shù);g是重力加速度;是地震地面運(yùn)動(dòng)加速度;d與v分別是隔震支座的運(yùn)動(dòng)位移及速度。

圖1 結(jié)構(gòu)分析模型

從式(1)及(2)中的第一式中可以看出，q與x1，x2，x3….構(gòu)成復(fù)雜的非線性耦合關(guān)系，若采用隱式動(dòng)力時(shí)程分析法，得出組合求解計(jì)算公式是不可能的。因此必須考慮完全顯式的方法。但在(1)式及(2)式中，只有自由度q具有非線性的表示關(guān)系，x1，x2，x3….表現(xiàn)為線性的，因此可以對(duì)q采用顯式的格式而對(duì)x1，x2，x3….采用隱式格式，即將整體結(jié)構(gòu)分解成了ERFPS子結(jié)構(gòu)(非線性子結(jié)構(gòu))及上部子結(jié)構(gòu)(線性子結(jié)構(gòu))。各個(gè)自由度的位移與速度按如下的公式計(jì)算:

對(duì)于自由度q，采用常加速度公式，有:

對(duì)于自由度 x1，x2，x3….，采用 Newmark －β 法(隱式)公式，有:

將(3)式代入到(2)式，并將(2)式中的第一個(gè)方程化成如下的形式:

(2)式可化成以下的形式:

其中:

將(5)式、(6)式與(7)聯(lián)立求解，得出{xi+1}后，將代入到(1)式的離散形式中求出，即完成一個(gè)循環(huán)。計(jì)算過程如圖2所示。

圖2 改進(jìn)子結(jié)構(gòu)計(jì)算方法流程圖

根據(jù)改性子結(jié)構(gòu)計(jì)算出動(dòng)力反應(yīng)時(shí)程，計(jì)算結(jié)果如圖3至圖5所示。

圖4 FPS隔震動(dòng)力反應(yīng)時(shí)程(f1=0.86Hz，顯式算法)

圖5 FPS隔震動(dòng)力反應(yīng)時(shí)程(f1=1.10Hz，改進(jìn)子結(jié)構(gòu)算法)

有圖3至圖5可以看出，采用了改進(jìn)的Newmark-β之后，結(jié)構(gòu)計(jì)算穩(wěn)定的上限頻率由0.85Hz提高到了1.11Hz，穩(wěn)定性要求有所放松。

2 改進(jìn)子結(jié)構(gòu)法在實(shí)時(shí)擬動(dòng)力試驗(yàn)中的應(yīng)用

雖然在上一節(jié)實(shí)現(xiàn)了RFPS子結(jié)構(gòu)與上部子結(jié)構(gòu)的組合數(shù)值積分方法，但是在擬動(dòng)力試驗(yàn)當(dāng)中，是無法直接應(yīng)用的，因?yàn)閗1［x1i+1－d(qi+1)］是第i+1步時(shí)傳感器的反力ri+1，應(yīng)該在施加完di+1之后由傳感器測量讀數(shù)獲得，但是在計(jì)算d(qi+1)的過程中也需要用到ri+1=k1［x1i+1－d(qi+1)］。因此，根據(jù)PC-Newmark方法，將上部子結(jié)構(gòu)再劃分為試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)(m1)與計(jì)算子結(jié)構(gòu)(m2～m7)，則(7)變成如下的形式:

其中:

根據(jù)PC－Newmark法計(jì)算公式，有:

再由qi+1和根據(jù)(1)的離散形式求出，完成一個(gè)循環(huán)。

因?yàn)槭?9)及式(10)用于預(yù)測位移與速度，而式(11)及式(12)用于校正位移與速度，是在每一個(gè)時(shí)間離散點(diǎn)的最后數(shù)值。預(yù)測位移是擬動(dòng)力試驗(yàn)中試件要達(dá)到的位移，而校正位移只用于下一步位移的計(jì)算。預(yù)測－校正Newmark法的試驗(yàn)流程見圖6，在編制程序時(shí)也是非常容易實(shí)現(xiàn)的。

圖6 改進(jìn)子結(jié)構(gòu)計(jì)算方法流程圖

3 結(jié)論

將有設(shè)有滾動(dòng)隔震裝置的結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)擬動(dòng)力試驗(yàn)?zāi)Ｐ头珠_成隔震子結(jié)構(gòu)、試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)及計(jì)算子結(jié)構(gòu)的做法是可行的，對(duì)隔震子結(jié)構(gòu)、試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)分別采用顯式算法，解決了隔震子結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的非線性及實(shí)驗(yàn)子結(jié)構(gòu)中作動(dòng)器反力的量測及輸入問題。對(duì)計(jì)算子結(jié)構(gòu)采用隱式算法公式，可以在一定程度上放松數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性條件的限制。

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