模糊相似關系下變精度模糊粗糙集

鄧廷權，楊成東，張月童

(1.哈爾濱工程大學理學院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.哈爾濱工程大學計算機科學與技術學院，黑龍江 哈爾濱 150001;3.臨沂大學 信息學院，山東 臨沂 276000)

Z.Pawlak［1］于 1982 年提出的粗糙集是一種有效的軟計算工具，已經廣泛應用于決策分析、數據挖掘、機器學習和人工智能等各個領域.隨著理論研究的深入和應用的需求，經典粗糙集有了進一步的拓展，其中變精度粗糙集和模糊粗糙集是2種典型的代表.

從實際應用的角度而言，由于數據獲取或數據處理方面的原因，信息系統或數據庫中不可避免地含有噪音，而經典粗糙集對噪音數據比較敏感.鑒于此，1993年 W.Ziarko［2］引入了集合的相對錯誤包含度的概念，并提出了變精度粗糙集模型，該模型有效地解決了人為錯誤或噪音導致的錯誤分類問題，具有較好的抗噪和容錯能力.

經典粗糙集處理的是清晰(分明)的、離散的符號值數據，但在實際中經常遇到連續的、具有模糊性的數據.對于這類問題，經典做法是將連續的屬性值離散化后運用經典粗糙集處理，這種方法造成了一定的信息損失.模糊粗糙集［3-5］將粗糙集和模糊集理論結合起來，利用數據相似性程度作為數據間的相似關系，從而避免了連續屬性值離散化帶來的信息損失.

變精度模糊粗糙集［6-9］是變精度粗糙集與模糊粗糙集的融合.它不僅具有變精度粗糙集的特點，具有一定的抗噪和容錯能力，也具有模糊粗糙集的特點，能夠處理具有模糊性的知識.

然而，變精度模糊粗糙集是基于模糊等價關系建立的.在實際應用中，很難直接構造模糊等價關系，往往先構造模糊相似關系，再通過求模糊相似關系的傳遞閉包將其模糊等價關系.文獻［10］指出，這種方法會丟失較多有價值的信息.因此，研究模糊相似關系下的變精度模糊粗糙集模型具有重要的意義.

1 基礎知識

首先回顧經典粗糙集模型.

定義1［1］設U是有限論域，R是U上的一個等價關系，X?U，X的R下近似和R上近似分別定義為.集合稱為X的R邊界域;稱為X的R正域;稱為X的R負域.顯然，

在經典粗糙集模型基礎上，W.Ziarko提出變精度粗糙集模型，增強了模型的抗噪和容錯能力.

定義2［2］設U是有限論域，R是U上的一個等價關系，0≤β ＜0.5，X?U，定義X的 β 下近似和β上近似分別為

式中:c(X，Y)為集合X和Y的相對錯誤包含度，定義如式(1)

式中:|X|為集合X的基數.

2 模糊集的相對錯誤包含度

論域U的全體模糊子集組成的集合稱為U的模糊冪集，記作F(U).給定論域U和V，則U×V的模糊子集R∈F(U×V)是一個模糊關系.一個模糊關系R稱為模糊相似關系，若R滿足:

1)自反性:R(x，x)=1，?x∈U;

2)對稱性:R(x，y)=R(y，x)，?x，y∈U.

模糊相似關系R通常不滿足傳遞性，即R不滿足R?R?R.若滿足傳遞性，則稱R為模糊等價關系.

模糊邏輯算子是模糊集理論和模糊邏輯中的重要概念，在模糊信息分析和處理中具有重要應用.T-范數和模糊蘊含是2種重要的模糊邏輯算子.

若*滿足1)交換律;2)結合律;3)關于2個變量都是遞增的;4)邊界條件:0*b=0;1*b=b對任意b∈［0，1］成立，稱［0，1］上的二元運算* 為T-范數.若→滿足1)邊界條件:1→0=0，0→0=0→1=1→1=1;2)關于第1個變量單調遞減，關于第2個變量單調遞增，稱［0，1］上的二元運算→為模糊蘊含算子.

有很多T-范數和模糊蘊含算子［11］.比如

都是典型且常用的T-范數.模糊蘊含算子常通過T-范數以如下方式構造:

1)負蘊含:a→b=1－T(a，1－b).

2)剩余蘊含:a→b=sup{λ∈［0，1］|a* λ≤b}，其中sup為集合的上確界.

本文只考慮T-范數的模糊剩余蘊含算子.式(2)對應的模糊剩余蘊含算子分別為:

為了處理模糊信息，本文首先定義了基于模糊邏輯算子的模糊相對錯誤包含度的概念.

定義3 設F1和F2是有限論域U上的模糊子集，即F1，F2∈F(U).模糊集F1和F2的相對錯誤包含度e(F1，F2)定義為

式中:S(Fi)為支集，即S(Fi)={x∈U|Fi(x)＞0}.

定義3中的模糊相對錯誤包含度是定義2中分明集合的相對錯誤包含度在模糊集中的推廣.

命題 1 對?F，F1，F2∈F(U)，若F1?F2，則e(F，F1)≥e(F，F2).

證明 當F=?時，e(F，F1)=e(F，F2)=0.當F≠?時，因為F1?F2，則對于任意的x∈U，有F1(x)≤F2(x).由→算子定義可知，它是關于第2變量遞增的.所以，

3 模糊相似關系下變精度模糊粗糙集

定義4 設U是有限論域，F(U)是U的模糊冪集，R是U×U上的模糊相似關系.?F∈F(U)，F關于R的β下模糊近似RβF與β上模糊近似F分別定義為:

式中:β是精度控制參數，0≤β≤0.5;

當R為U上的經典等價關系，F為U的分明子集且0≤β＜0.5時，定義4退化為定義2;當R為經典等價關系，F為U的分明子集且β=0時，定義4退化為定義1.因此，有下面2個命題.

命題2 當R為U上的經典等價關系，F為U的分明子集，0≤β＜0.5時，該模型退化為Ziarko變精度粗糙集模型.

證明 僅證β下模糊近似可以退化到Ziarko下近似，β上模糊近似可以退化到Ziarko上近似的證明類似.用RZF表示集合F在Ziarko模型下的β下近似

βRZβF=∪{E∈U/R|c(E，F)≤β}，經典等價關系R和分明子集F分別為特殊的模糊關系和模糊集.下面證明RβF(x)=1，當且僅當x∈RZβF.

對于?x∈RZβF，則?E∈U/R，使得x∈E且c(E，F)≤β.若E?F，那么e(E，F)=0;若c(E，F)≤β，根據定義 1 可知，e(E，F)≤β，即x∈WxF.根據ωF(x)的定義可知，RβF(x)=1.

反之，若RβF(x)=1，則 ?y∈U，使得e(［y］R，F)≤β，且R(y，x)=1.

由于R是經典的等價關系，所以［y］R就是y的等價類且x∈［y］R.

根據經典集合的相對錯誤包含度與模糊相對錯誤包含度的定義可知，

證畢.

命題3 當R為經典等價關，F為U的分明子集，β=0時，該模型退化為Pawlak粗糙集.

證明同理于命題2.

4 變精度模糊粗糙集的性質

下面研究新建立的變精度模糊粗糙集的性質.

性質1 當0≤β＜0.5時，β模糊近似有以下性質:

證明 1)?x∈U，若WxF=?，那么RβF(x)=0，顯然RF(x)≤F(x).若Wx≠?，則?y∈Wx，βFF都滿足e(［y］R，F)≤β.由于 0≤β ＜0.5，所以e(［y］R，F)≤1－β，即y∈.根據RβF與F的定義可知，RβF(x)≤F(x).

由x的任意性得RβF?F.

2)?x∈U，若Wx=?，因為sup(?)=0，所以?對于?y∈WxF，都有R(y，x)≤sup(?)=0，根據ωF(x)的定義，可知R?(x)=0;若Wx=?，根據RFβ?β(x)的定義可知，Rβ?(x)=0.由x的任意性得Rβ? =?.

由性質1得，RβU?U，因此僅需證RβU=U.?x∈U，都有U(x)=1，所以?y∈U，都有e(［y］R，U)=0≤β.而R(y，x)≤sup(U)=1，所以WxU=U.由于R是模糊相似關系，所以R(x，x)=1.根據ωF(x)的定義可得，RβU(x)=1.由x的任意性得RβU=U.

3)?x∈U，若，根據RβF(x)的定義可知，RβF1(x)=0，顯然RβF1(x)≤F2(x).

根據RβF(x)的定義可知，RβF1(x)≤RβF2(x)，即

4)由F1∪F2?F1，F1∪F2?F2和性質 3 可得Rβ(F1∪F2)?RβF1，Rβ(F1∪F2)?RβF2.所 以，Rβ(F1∪F2)?RβF1∪RβF2.

5)由F1∩F2?F1，F1∩F2?F2和性質 3 可得Rβ(F1∩F2)?RβF1，Rβ(F1∩F2)?RβF2.因此，Rβ(F1∩F2)?RβF1∩RβF2.

6)證明過程同性質4)的證明過程.

7)證明過程同性質5)的證明過程.

2)β上模糊近似和β下模糊近似與 經典變精度相同，也不滿足擴張性和反擴張性.

顯然RβF?F?F.因此，β上模糊近似和β下模糊近似也不滿足擴張性和反擴張性.

3)β上模糊近似和β下模糊近似與經典變精度相同，也不滿足冪等性.

仍取2)中的例子，按照定義可以計算得Rβ(RβF)={0.6，0.92，0.73，0.92，0.85}.

顯然Rβ(RβF)≠RβF，所以 β 下模糊近似不滿足冪等性.同樣，β上模糊近似也不滿足冪等性.

例如，取a→b=min(1，1－a+b)，則 β=0.45時，?={1，0.1，0.2}.因此?≠?.這是條件過寬所致，特別地，對模糊蘊含算子加個限制，則空集的上近似為空集.

性質2 若模糊蘊含算子滿足s→0=0(s＞0)，則?=?.

證明 根據模糊相對錯誤包含度的定義可知，若s→0=0(s＞0)，則e(F1，F2)=1.因為［x］R≠?，所以?x∈U，都有e(［x］R，?)=1.由于0≤β ＜0.5，所以沒有y∈U滿足e(［y］R，?)＜1 － β，即Wx?=?.根據F(x)的定義可知，?(x)=0.綜上所述，?x∈U，都有?(x)=0，即?=?.

性質3 若0≤β1＜β2＜0.5，則

證明記為在 β1精度下的WxF記為在β 精度下的Wx.2F

由于0≤β1＜ β2＜0.5，所以e(［y］R，F)≤β2，因此由RβF(x)的定義得Rβ1F(x)≤Rβ2F(x)，e(［y］R，F)≤1－β，即y∈.根據定義4可得RβF(x)≤F(x).

同理可證

Rˉβ1F?F.

5 結論

本文研究了基于模糊相似關系的變精度模糊粗糙集模型.用模糊相似關系來刻畫未知的集合.新的變精度模糊粗糙集模型有如下優勢:

1)該模型是對變精度粗糙集的一般化和模糊化;

2)該模型既能夠處理連續值模糊信息，又具有一定程度的抗噪和容錯能力;

3)該模型是基于模糊相似關系建立的，不需要對論域進行任何形式的劃分，而是用模糊相似矩陣表示模糊信息，具有更大的靈活性和實用性.

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