基于三維熱彈性接觸的汽輪機(jī)調(diào)節(jié)級葉片樅樹型葉根輪緣結(jié)構(gòu)的優(yōu)化

張明輝，張 荻，謝永慧

（西安交通大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，西安710049）

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，電力需求持續(xù)增長，對發(fā)電機(jī)組的可靠性要求也不斷提高.葉片作為汽輪機(jī)的重要零部件，主要功能是將熱能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，其安全可靠性直接影響機(jī)組的正常運(yùn)行［1］.

調(diào)節(jié)級位于汽輪機(jī)通流部分之首，由于大負(fù)荷、高溫及部分進(jìn)汽等因素影響，在大功率汽輪機(jī)所有零部件中，調(diào)節(jié)級的工作條件是最苛刻的［2］.樅樹型葉根具有裝卸方便、葉根輪緣承載面接近等強(qiáng)度、承載能力高等優(yōu)點，因而被廣泛應(yīng)用于大功率汽輪機(jī)調(diào)節(jié)級葉片上［3］.目前的樅樹型葉根輪緣形狀多是在常規(guī)狀態(tài)下設(shè)計的，而調(diào)節(jié)級葉片工作在高溫蒸汽中，由于葉片和轉(zhuǎn)子的材料特性存在差異，線膨脹系數(shù)不同，隨著溫度的提高，葉根和輪緣存在很大的熱變形，導(dǎo)致葉根輪緣接觸不良，葉根齒的承載及應(yīng)力狀況發(fā)生很大的變化.因此，有必要在考慮高溫?zé)嶙冃蔚挠绊懴拢瑢φ{(diào)節(jié)級樅樹型葉根輪緣結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，提高葉片的安全性.

近年來，一些學(xué)者開展了通過改進(jìn)葉根結(jié)構(gòu)提高葉片性能的研究［4-14］，獲得了一些成果.如西安交通大學(xué)渦輪機(jī)教研室［4］采用平面應(yīng)力有限元分析程序?qū)簶湫腿~根輪緣應(yīng)力進(jìn)行了研究，得到了此類葉根輪緣合理結(jié)構(gòu)設(shè)計的一些初步結(jié)論.李佳其等［5］、Papanikos等［7］和Meguid等［8］分別對叉型葉根、燕尾型葉根和樅樹型葉根結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，初步討論了若干設(shè)計尺寸對葉根安全性的影響.2002年，Song等［9］以經(jīng)濟(jì)性為目標(biāo)，對二維樅樹型葉根進(jìn)行多變量優(yōu)化設(shè)計，獲得了較好的優(yōu)化效果.2005年，趙海［11］通過UG 軟件對渦輪榫頭／榫槽三齒結(jié)構(gòu)進(jìn)行了參數(shù)化建模，分析了主要設(shè)計參數(shù)及溫度載荷對結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的影響.2009年，林香等［14］利用Ansys軟件進(jìn)行優(yōu)化分析，降低了航空發(fā)動機(jī)燕尾型榫連接件的最大應(yīng)力和接觸應(yīng)力.

國內(nèi)外研究者在葉根輪緣的優(yōu)化方面已經(jīng)進(jìn)行了一些研究，但大多集中于特定尺寸參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的影響或?qū)嶋H模型進(jìn)行簡化后的二維分析上，針對基于三維有限元分析的樅樹型葉根輪緣結(jié)構(gòu)優(yōu)化，尤其是考慮高溫影響下的優(yōu)化研究仍然較少.近年來，隨著加工工藝的提高及優(yōu)化理論和優(yōu)化算法的成熟，合理地設(shè)計葉根輪緣尺寸、提高葉片的強(qiáng)度性能變得切實可行且非常必要.

基于以上討論，筆者利用Ansys軟件建立了調(diào)節(jié)級樅樹型葉根輪緣的參數(shù)化模型，在考慮高溫影響下，以減小葉根輪緣處最大等效應(yīng)力為目標(biāo)，對葉根輪緣的關(guān)鍵尺寸進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，最終獲得了該葉根輪緣的優(yōu)化型線.

1 熱應(yīng)力問題及結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

本文研究中考慮了高溫?zé)釕?yīng)力對汽輪機(jī)葉片的影響，并采用現(xiàn)代結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法對調(diào)節(jié)級樅樹型葉根輪緣結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化.

1.1 彈性熱應(yīng)力問題的有限元方程

物體溫度發(fā)生變化時，由于熱變形將產(chǎn)生線應(yīng)變.如果物體各部分熱變形不受任何約束，則物體發(fā)生變形而不產(chǎn)生應(yīng)力.當(dāng)存在約束或者溫度變化不均勻，熱變形不能自由進(jìn)行時，物體中就會產(chǎn)生應(yīng)力，即熱應(yīng)力［15］.當(dāng)彈性體的溫度場已知時，可以求解出彈性體各部分的熱應(yīng)力.

物體由于熱膨脹只產(chǎn)生線應(yīng)變，所以剪應(yīng)變?yōu)榱悖@種由于熱變形產(chǎn)生的應(yīng)變可以看作是物體的初應(yīng)變：

式中：α為材料的線膨脹系數(shù)；φ為結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)或瞬態(tài)溫度場；φ0為結(jié)構(gòu)的初始溫度場.

當(dāng)物體中存在初應(yīng)變時，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可表示成

式中：D為彈性矩陣.

將式（2）代入虛位移原理的表達(dá)式，則可得到包括溫度應(yīng)變在內(nèi)求解熱應(yīng)力問題的最小位能原理表達(dá)式，其泛函表達(dá)式如下：

式中：Πp為結(jié)構(gòu)總勢能；u為結(jié)構(gòu)位移；Ω 為體積域；Γ為表面域；f為體積力；T為表面力.

在求解域Ω 內(nèi)進(jìn)行有限元離散，得到有限元求解方程為：

式中：K為結(jié)構(gòu) 剛度矩陣；a為節(jié)點位移向量；P為載荷.

式中：Pf為體積載荷項；PT為表面載荷項；Pε0為溫度應(yīng)變引起的載荷項.

式中：B為應(yīng)變矩陣.

由此可見，熱應(yīng)力問題與無熱載荷的應(yīng)力分析問題相比，除了增加一項以初應(yīng)變形式出現(xiàn)的溫度載荷Pε0外，其他完全相同.筆者充分考慮了汽輪機(jī)運(yùn)行溫度場對調(diào)節(jié)級葉片及輪緣的影響，建立了葉片與輪緣的三維熱彈性接觸有限元模型.

1.2 結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

現(xiàn)代結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論由有限元計算和優(yōu)化方法兩部分組成［16］.目前為止，有限元分析方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于航空航天、建筑和機(jī)械制造等領(lǐng)域，而優(yōu)化方法也已形成了較完善的體系.

一般而言，基于參數(shù)化有限元分析的優(yōu)化設(shè)計包括3個基本要素［17］（1）設(shè)計變量：設(shè)計過程中需要不斷調(diào)整賦值的變量參數(shù)；（2）狀態(tài)變量：設(shè)計過程需要滿足的約束條件變量，是設(shè)計的因變量，設(shè)計變量的函數(shù)；（3）目標(biāo)函數(shù)：設(shè)計中極小化的變量參數(shù)必須是設(shè)計變量的函數(shù).

最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型是找到一組設(shè)計變量x＝［x1，x2，…，xn］T，滿足

式中：x為設(shè)計變量，x＝［x1，x2，…，xn］T；f（x）為目標(biāo)函數(shù)；gi（x）和hj（x）為約束條件或狀態(tài)變量.

即在滿足約束條件的前提下，找到一組最優(yōu)的設(shè)計變量，使目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最小.

結(jié)構(gòu)優(yōu)化的主要步驟包括建立數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化迭代控制［18］.建立數(shù)學(xué)模型即確立包括設(shè)計變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)的分析模型；優(yōu)化迭代主要是綜合考慮優(yōu)化效果和求解時間，選擇一定的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型（即優(yōu)化方法）.

筆者基于有限元分析軟件Ansys建立調(diào)節(jié)級樅樹型葉根輪緣的數(shù)學(xué)模型，采用模式搜索算法進(jìn)行優(yōu)化控制，完成結(jié)構(gòu)優(yōu)化工作.

模式搜索算法是一種直接優(yōu)化方法，不依賴目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息求解最優(yōu)化問題，在解決不可導(dǎo)函數(shù)或求導(dǎo)異常麻煩的函數(shù)的優(yōu)化問題時非常有效［19］.本文使用的模式搜索算法由Ansys的參數(shù)化設(shè)計語言APDL編寫，并通過對一個多峰函數(shù)求極值來驗證其準(zhǔn)確性.

對于函數(shù)

其中，-1.204≤x1≤1.204，-1.204≤x2≤1.204.理論解為：x1＝x2＝0時，f取得極大值4.3.

采用本文編寫的算法，以x1和x2為設(shè)計變量，-1.204≤x1≤1.204，-1.204≤x2≤1.204為狀態(tài)變量，-f為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，獲得的優(yōu)化結(jié)果為x1＝3.815×10-7，x2＝2.289×10-7時，f取得極小值-4.300，所得結(jié)果與理論解非常吻合，從而驗證了該算法的準(zhǔn)確性.

2 計算模型

本文的研究對象是考慮高溫影響并具有復(fù)雜接觸狀態(tài)的汽輪機(jī)調(diào)節(jié)級葉片葉根和輪緣.計算模型包括葉片和對應(yīng)的轉(zhuǎn)子部分，圖1給出了計算模型的三維造型、整體網(wǎng)格及葉根輪緣接觸處的網(wǎng)格.葉片和輪緣材料特性見表1.

圖1 計算模型及網(wǎng)格Fig.1 The computational model and grid

表1 葉片和輪緣材料特性Tab.1 Material properties of the blade and rim

有限元模型共有166 618單元、162 113節(jié)點.計算中對整個有限元模型設(shè)置了汽輪機(jī)工作轉(zhuǎn)速3 000r／min的離心力.另外，根據(jù)相關(guān)研究［20-21］，汽輪機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行時，調(diào)節(jié)級處沿軸心至轉(zhuǎn)子外表面的徑向溫度梯度較小，尤其是轉(zhuǎn)子頂部與葉根直接接觸的輪緣部分的溫度基本不變，為調(diào)節(jié)級的工作溫度.因此，筆者依據(jù)相關(guān)透平制造企業(yè)經(jīng)驗，對計算模型設(shè)置調(diào)節(jié)級正常運(yùn)行下的工作溫度為534 ℃.計算模型的邊界條件設(shè)置如下：（1）葉根輪緣承載設(shè)置接觸邊界面條件；（2）輪緣對稱面節(jié)點設(shè)周期對稱邊界條件；（3）輪緣底部一列節(jié)點設(shè)徑向約束；（4）輪緣底部中間節(jié)點設(shè)軸向約束.

3 結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程及參數(shù)設(shè)置

3.1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程

葉根輪緣結(jié)構(gòu)優(yōu)化是通過改變模型的某些關(guān)鍵尺寸參數(shù)完成的，在建立有限元模型的過程中，設(shè)計變量和約束變量必須以參數(shù)的形式出現(xiàn)［22］.因此，本文利用Ansys的參數(shù)化設(shè)計語言APDL 設(shè)置設(shè)計變量、狀態(tài)變量（約束條件）和目標(biāo)函數(shù)，完成葉根輪緣多參數(shù)計算模型的建立以及有限元計算的循環(huán)進(jìn)行.

圖2給出了葉根輪緣結(jié)構(gòu)優(yōu)化的流程圖.

具體過程如下：

（1）為設(shè)計變量賦值，判斷是否滿足狀態(tài)變量.如不滿足，通過優(yōu)化控制程序重新為設(shè)計變量賦值，如滿足，則創(chuàng)建參數(shù)化模型.

（2）加載求解，進(jìn)行有限元分析.

（3）由有限元分析結(jié)果中提取目標(biāo)函數(shù)值，判斷是否收斂.如果收斂，則退出優(yōu)化循環(huán)，得出結(jié)果，否則通過優(yōu)化控制程序重新為設(shè)計變量賦值并進(jìn)行循環(huán)分析.

（4）得到最優(yōu)方案后，對結(jié)果進(jìn)行后處理.

圖2 優(yōu)化過程流程圖Fig.2 Flow chart of the optimization process

3.2 優(yōu)化參數(shù)設(shè)置

（1）設(shè)計變量

綜合考慮葉根輪緣各尺寸對應(yīng)力分布的影響，選取8個關(guān)鍵尺寸作為設(shè)計變量進(jìn)行研究，分別為葉根展開角度A、接觸面傾角B、齒面間距Tp、齒面寬度Cl、葉根齒內(nèi)圓角半徑R1、葉根齒外圓角半徑Rc1、輪槽外圓角半徑R2和輪槽內(nèi)圓角半徑Rc2.圖3為變量示意圖.

（2）狀態(tài)變量

為了保證優(yōu)化過程中創(chuàng)建的模型在幾何上合理，避免怪異的形狀出現(xiàn)，模型尺寸必須滿足一定的幾何約束，即優(yōu)化過程中的狀態(tài)變量.如圖3所示，對模型設(shè)置了5個狀態(tài)變量：葉根輪緣非接觸面的傾角C＞0；葉根齒面寬度Cl與輪緣承載面寬度Clr之差E的絕對值小于1，即-1＜E＝Cl-Clr＜1；葉根第三齒齒頸寬度L12＞4；葉根底部寬度L34＞1；輪緣底部寬度L56＞5.如果不滿足以上幾個條件，就會出現(xiàn)不合理的葉根輪緣結(jié)構(gòu)，甚至導(dǎo)致葉根和輪緣實體部分的交叉以及網(wǎng)格劃分時出錯.因此，為了保證計算過程順利進(jìn)行，必須先對狀態(tài)變量進(jìn)行判定，在得到合理的幾何結(jié)構(gòu)之后，再進(jìn)行建模和分析計算.

圖3 變量示意圖Fig.3 Schematic diagram of critical variables

（3）目標(biāo)函數(shù)

以葉根和輪緣處最大等效應(yīng)力的較大者Fmax作為目標(biāo)函數(shù).

經(jīng)過最初幾次試算，逐步排除不合理的葉根輪緣尺寸，得到了各變量較合適的取值區(qū)間，見表2.

表2 變量的取值范圍Tab.2 Range of variables

4 結(jié)果與討論

4.1 原始葉根輪緣計算結(jié)果

首先對原始尺寸的葉根輪緣模型進(jìn)行常溫下（20 ℃）和高溫下（工作溫度534 ℃）的應(yīng)力分析.圖4和圖5分別為葉片和輪緣在低溫和高溫下的等效應(yīng)力云圖.由圖4和圖5可見，常溫下葉根處最大等效應(yīng)力為154 MPa，輪緣處最大等效應(yīng)力為169 MPa；高溫下葉根處最大等效應(yīng)力為233MPa，輪緣處最大等效應(yīng)力為198 MPa.高溫下葉根和輪緣的最大等效應(yīng)力較常溫下分別增大了51.3% 和17.2%，增幅較大.

圖4 葉片的等效應(yīng)力圖Fig.4 Equivalent stress contours of the blade

圖5 輪緣的等效應(yīng)力圖Fig.5 Equivalent stress contours of the rim

另外，分別統(tǒng)計了常溫和高溫下葉根各齒面的承載狀況，見表3.由表3可知，常溫下壓力面葉根齒和吸力面葉根齒的總承載在50%左右，兩個面承載均勻，并且壓力面和吸力面各齒的承載比例均在1／3左右，說明在常溫下該樅樹型葉根各齒接近等強(qiáng)度，設(shè)計合理；而在考慮了高溫引起的熱變形后，壓力面和吸力面各齒的承載極為不均，第3齒的承載大大升高，而第1齒的承載則下降較多，如壓力面第1齒承載變?yōu)?0.05%，而第3齒承載變?yōu)?5.91%，第3齒的承載已經(jīng)超過了壓力面總載荷的一半，并達(dá)到了第1 齒承載的5 倍以上，葉根的承載狀況惡化.

表3 葉根齒面承載分布Tab.3 Load distribution on root teeth %

由以上數(shù)據(jù)可以看出，對于調(diào)節(jié)級葉片，常溫下設(shè)計良好的樅樹型葉根輪緣，在高溫下由于熱變形的影響，葉根各齒的承載極為不均，導(dǎo)致產(chǎn)生大應(yīng)力.葉根處的這種應(yīng)力分布和承載狀況為葉片的正常工作帶來很大的安全隱患，因此有必要在考慮高溫?zé)嶙冃斡绊懙那疤嵯聦φ{(diào)節(jié)級樅樹型葉根輪緣結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化.

4.2 基于模式搜索算法的優(yōu)化結(jié)果

4.2.1 優(yōu)化過程

設(shè)置模式搜索算法的第一次迭代網(wǎng)格尺寸為1.當(dāng)?shù)螖?shù)超過100、網(wǎng)格尺寸小于1×10-4或目標(biāo)函數(shù)殘差小于1×10-4三者滿足其一時，優(yōu)化過程結(jié)束.

圖6～圖8顯示了模式搜索的具體過程.圖6給出了每次迭代得到的最佳函數(shù)值.由圖6可以看出，經(jīng)過大約4次成功搜索后，目標(biāo)函數(shù)值已經(jīng)接近最佳值.從第15步開始，函數(shù)值開始趨于平穩(wěn)，逐步逼近最優(yōu)值185.58MPa.圖7為每次迭代的網(wǎng)格尺寸.每次成功的迭代后網(wǎng)格尺寸增加，失敗的迭代后網(wǎng)格尺寸減小，本次計算最終的網(wǎng)格尺寸為6.1×10-5，滿足收斂條件，優(yōu)化結(jié)束.圖8給出了每次迭代對應(yīng)的計算次數(shù)，本次分析共計算了306次.可以看到，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)趨近于最優(yōu)值時，由于網(wǎng)格尺寸越來越精細(xì)，需要多次調(diào)整才能找到合適的網(wǎng)格尺寸，所以每次迭代的計算次數(shù)增加.

圖6 目標(biāo)函數(shù)變化曲線Fig.6 Variation curve of objective function

4.2.2 結(jié)果分析

圖7 網(wǎng)格尺寸變化曲線Fig.7 Variation curve of mesh size

圖8 每次迭代計算次數(shù)變化曲線Fig.8 Calculation counts in each iteration

圖9 優(yōu)化前后葉根和輪緣等效應(yīng)力圖Fig.9 Equivalent stress of root and rim before and after optimization

圖9給出了優(yōu)化前后葉根輪緣的等效應(yīng)力云圖.對比圖9（a）和圖9（b）可以看到，優(yōu)化前后葉根輪緣的應(yīng)力分布大體相同，但最大等效應(yīng)力值有較大變化.優(yōu)化前，葉根最大等效應(yīng)力為232.84MPa，位于壓力面第三齒圓角處，優(yōu)化后，葉根最大等效應(yīng)力為186.64 MPa，同樣位于壓力面第三齒圓角處，但比優(yōu)化前降低了19.84%，優(yōu)化效果明顯；輪緣處最大等效應(yīng)力在優(yōu)化前為198.46 MPa，優(yōu)化后為185.58 MPa，均位于壓力面第三齒圓角處，優(yōu)化后比優(yōu)化前降低了6.48%，優(yōu)化效果也較好.同時，優(yōu)化后葉根和輪緣處的最大等效應(yīng)力相近，承載狀態(tài)改善，有利于葉片安全工作.

此外，為了解葉根型線上應(yīng)力的整體變化趨勢，給出了優(yōu)化前后葉根中截面曲線a-b（圖10）上的等效應(yīng)力分布（圖11）.同時，考慮到葉根最大應(yīng)力常出現(xiàn)在壓力面第三齒圓角處，給出了優(yōu)化前后葉根壓力面第三齒圓角處曲線c-d（圖10）上的等效應(yīng)力分布（圖12）.在圖11中，按由a至b的路徑，曲線中共出現(xiàn)5處峰值，除中間小峰值為葉根底部的應(yīng)力外，其余四處依次表示吸力面第二齒圓角、吸力面第三齒圓角、壓力面第三齒圓角、壓力面第二齒圓角處的應(yīng)力值.從圖11可以看出，優(yōu)化前后沿葉根型線的應(yīng)力分布總體趨勢不變，在葉根齒圓角處應(yīng)力值較大，第三齒圓角處應(yīng)力較第二齒圓角處大.優(yōu)化前，壓力面第三齒圓角處應(yīng)力明顯高于其他部位；優(yōu)化后，壓力面第三齒圓角處應(yīng)力大幅減小，第二齒圓角處應(yīng)力也有一定程度減小，吸力面第二齒和第三齒圓角處應(yīng)力變化較小，另外各齒圓角處的應(yīng)力差別減小，趨于均勻化，滿足樅樹型葉根等強(qiáng)度設(shè)計的要求.從圖12c-d曲線的應(yīng)力分布可以看出，優(yōu)化后壓力面第三齒圓角處整體應(yīng)力水平明顯降低.

圖10 曲線a-b 和曲線c-d 位置示意圖Fig.10 Diagram of curves a-b and c-d

圖11 優(yōu)化前后a-b 曲線上等效應(yīng)力分布Fig.11 Equivalent stress distribution along curve a-b before and after optimization

圖12 優(yōu)化前后c-d 曲線上等效應(yīng)力分布Fig.12 Equivalent stress distribution along curve c-d before and after optimization

整體看來，經(jīng)過優(yōu)化，葉根輪緣處的應(yīng)力水平大幅降低，承載狀況得到改善，優(yōu)化效果明顯.

表4給出了優(yōu)化前后設(shè)計變量的數(shù)值.

表4 優(yōu)化前后設(shè)計變量數(shù)值Tab.4 Values of design variables before and after optimization

5 結(jié) 論

（1）通過有限元分析軟件Ansys的參數(shù)化語言APDL，建立調(diào)節(jié)級樅樹型葉根輪緣結(jié)構(gòu)的參數(shù)化分析模型，使用優(yōu)化算法控制優(yōu)化過程，進(jìn)行葉根輪緣的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，能獲得相關(guān)尺寸的最優(yōu)值，大大降低葉根輪緣的應(yīng)力水平.此套方法可行且有效，具有良好的工程實用價值.

（2）對于調(diào)節(jié)級葉片，常溫下設(shè)計良好的樅樹型葉根輪緣由于在高溫下受熱變形的影響，其應(yīng)力分布和齒面承載狀況變得惡劣，存在安全隱患.

（3）對于本文的調(diào)節(jié)級樅樹型葉根輪緣模型，選取8個特征尺寸作為設(shè)計變量、葉根輪緣處最大等效應(yīng)力為目標(biāo)函數(shù)，采用模式搜索算法進(jìn)行優(yōu)化控制，對調(diào)節(jié)級樅樹型葉根輪緣結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化分析，獲得了葉根輪緣的優(yōu)化型線.優(yōu)化后，葉根最大等效應(yīng)力下降了19.84%，輪緣最大等效應(yīng)力下降了6.48%，葉根各齒圓角處應(yīng)力趨于平穩(wěn).整體優(yōu)化效果良好，提高了葉片運(yùn)行的可靠性.

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