一種基于階躍響應的理想頻率信號源及頻域分析的研究

李 軍，萬文軍，張 曦

（廣東電網公司電力科學研究院，廣州510080）

控制回路或對象的頻率特性是控制系統設計和參數調整的根本依據［1-2］.在工業過程中，頻率響應分析法的實施受到了各種因素的限制：首先，獲取頻率特性便是一項極其繁雜的事情，有時工藝過程不允許施加過大的正弦波激勵信號；其次，對于慢時變過程系統而言，試驗所經歷的時間較長，可能受到的干擾能量更大.因而，控制實踐中，工程技術人員往往通過對象或系統的時域過渡過程來研究控制系統特性［3-9］.然而，通過這種時域分析手段難以掌握對象的本質特性.實質上，在充分激勵的對象過渡過程數據中包含了多種頻率譜信號［10-13］，如果能將這些信號的頻率特性提取出并與對象輸入信號進行比較，便可直接獲取對象的頻率特性，可為控制系統的設計和參數整定提供一種較為有效的方法.

筆者在充分分析階躍信號頻譜特性的基礎上，提出了階躍激勵信號是一種理想的頻率信號源的概念，并利用相關的頻譜提取算法獲取對象頻率特性.仿真試驗和實際應用結果表明：該方法能較為準確地計算出對象或系統的頻率特性，并具有較強的抗干擾能力.

1 理想頻率信號源

階躍激勵信號是控制工程領域中時常采用的激勵信號之一，通過階躍響應可以判斷控制回路的各種品質特征，通過階躍響應也可以辨識出對象的近似參數模型.階躍響應分析往往被人為地局限于時域分析中，僅僅用于完成控制回路表象上的分析，其深層次的頻率特性分析被遺忘或者因缺乏有效手段獲取對控制系統有益的信息而放棄.本質上而言，階躍響應的背后蘊藏著系統的頻率特性［10-13］，可以通過分析階躍信號本身的頻率特性說明這點.

對于非周期的階躍信號，可以進行傅里葉變換為各種頻率下周期信號的疊加，單位階躍變換后的結果如下［10-13］：

式中：δ（ω）為單位沖激函數；j為虛數單位；ω為角頻率，rad／s.

從式（1）可以看出，階躍信號具有以下幾點顯著特征：

（1）階躍信號包含了全頻譜的信號.

（2）當ω＞0時，幅值同頻率成反比，相位恒等于π／2.

（3）對于0＜ω＜1，低頻段的幅值較大，該頻段下相應的信噪比也就較大.

換言之，階躍信號是由無數個連續頻率、初始相位為-90°的余弦或0°正弦波信號疊加而成的，且這些信號在低頻段（大多數工業過程均在低頻段）的幅值較大.由此可知，由于階躍信號包含了連續頻譜成分，本質上已具備了頻率響應試驗的信號特點.因而，系統或對象的階躍響應實際上是由無數的連續頻譜正弦波信號共同激勵產生的.如果將對象或系統看作線性系統，那么階躍響應結果也含有各種頻率下激勵的效果.特別是對于慢時變工業過程而言，由于低頻成分具有較大的幅值，一般系統或對象也將得到充分激勵.基于以上特點，筆者提出了階躍激勵信號實際上是一種理想頻率響應信號源的觀點.如何識別出階躍響應過程信號中各種頻率信號的幅值和相位是進行對象或系統頻域分析的關鍵.筆者采用了一種新型的數字濾波器，能快速有效地分辨出系統或對象的頻率特性.

2 點頻濾波器

2.1 點頻濾波器基本概念

上文已明確指出，階躍激勵信號本質上是理想的頻率響應信號源.階躍響應能夠成為頻域分析的原始數據需要解決的關鍵問題是將階躍響應數據的頻譜特性分布分離和識別出來.帶通濾波器可以實現將需要的頻率段信號從階躍響應中提取出來，而其他頻率信號均將被濾除.理想情況下，如果帶通濾波器相應的帶寬無窮小，那么就可以獲得某個頻率點上“單色”信號.為實現這個目標，首先分析典型的帶通濾波器，見圖1.

圖1 LCR 帶通濾波器Fig.1 LCR band-pass filter

圖1中X（s）、Y（s）表示LCR 電路輸入、輸出信號的Laplace形式，可以用下面的傳遞函數表述兩者之間的關系：

式中：R為電阻，Ω；TI為積分常數，s；TD為微積分常數，s；S為復數頻率單位，在頻率域令S＝j·ω.

其中，LCR 帶通濾波器的中心頻率為：

所謂帶寬，即為信號通過濾波器后，帶通濾波器輸出的信號幅值衰減到中心頻率0.707倍時對應的頻率寬度，用ΔB-3dB表示.

LCR 帶通濾波器響應的品質因數定義如下：

當品質因數遠遠大于1時，有以下近似關系式：

聯立式（4）和式（5）可得：

由式（6）可知：當R無窮小時，LCR 濾波器帶寬將變得無窮小，對應的品質因數無窮大.

為進一步闡述該形式濾波器的特性，需考察濾波器的增益.通過式（2）可得濾波器的增益為：

當信號頻率ω等于LCR 帶通濾波器中心頻率ωo時，即（1-TITDω2o）2＝0，則：

當信號頻率ω不等于LCR 帶通濾波器的中心頻率ωo時，即（1-TITDω2）2≠0，且R趨于無窮小，則有：

根據式（8）和式（9），得到了帶寬無窮小的LCR帶通濾波器，可以用圖2表示其濾波效果.信號通過該濾波器后，只有頻率ω＝ωo的信號才能通過濾波器，且其幅值不衰減；其他頻率信號幅值均衰減為0.由于該濾波器僅能通過與濾波器中心頻率相等的頻率信號，我們稱該濾波器為“點頻濾波器”.有了這種濾波器后，便可以提取階躍信號或階躍響應中各種頻率的成分特性.

圖2 點頻濾波器特性圖Fig.2 Characteristics of single-frequency-pass filter

2.2 點頻濾波器內在機理分析

用帶寬無窮小的LCR 帶通濾波器就得到了“點頻濾波器”.LCR 帶通濾波器本質上為無源LCR 振蕩回路，帶寬無窮小的LCR 帶通濾波器，也就是無源LCR 振蕩回路的R無窮小，相當于無源LCR 振蕩回路中能量衰減也無窮小.因此，在經過輸入階躍信號或階躍響應信號的激勵后，得到輸出振蕩幅值永不衰減的頻率信號，這也是點頻濾波器最主要的特性之一.

2.3 實際點頻濾波器

實際應用中的點頻濾波器R值不可能趨于無窮小，而且也無法構建帶寬為無窮小的濾波器，只能給出一個帶寬足夠小的LCR 帶通濾波器，這種近似的點頻濾波器被稱作實際點頻濾波器.點頻濾波器與實際點頻濾波器的主要區別在于：前者輸出頻率信號的幅值永不衰減，后者輸出頻率信號幅值會隨時間逐漸衰減，幅值時間衰減率與LCR 帶通濾波器帶寬之間呈正相關性，帶寬越小、幅值時間衰減率也越小.當幅值隨時間的衰減率小到一定程度時就足夠滿足實際頻率信號提取的需求.

2.4 頻率特性不變性理論證明

為了論述本文提出的方法可用，進行以下論證.

采用實際點頻濾波器后，對于分析階躍信號激勵下線性對象或系統的頻率特性同實際一致即可證明頻率特性不變.系統或對象的頻率分析圖類似于圖3.假設待分析對象的傳遞函數是Go（s），實際點頻濾波器的傳遞函數是Gf（s），對象輸入信號是U（s），對象輸出信號為Y（s），則：

經過實際點頻濾波器之后，輸入信號和輸出信號分別如下：

式中：下標f表示實際點頻濾波器相關的量；∠θf為實際點頻濾波器的傳遞相角值；∠θu為對象輸入信號的相角值；∠θy為對象輸出信號的相角值.

對于任何中心頻率濾波后的信號分別進行相位、幅值比較之后，即兩濾波信號幅值的比值和相位的差值組合成了一個對象G（s）的頻域特性，即

由式（13）可知：經過幅值和相位比較的頻率特性同實際過程對象的頻率特性一致，與濾波器的帶寬和中心頻率沒有直接的聯系.因而，證明采用實際點頻濾波器后，對象或系統的頻率特性不變.

3 點頻率濾波器方法與傅里葉變化算法對比

點頻濾波器方法相對于傳統的傅里葉變化算法來說，算法編程極為簡單.

傅里葉變化算法是將時間域信號轉換為頻率域信號的有效工具，可用于階躍信號或階躍響應信號中連續頻率譜成分的分析計算.但從另一個角度看，既然階躍信號或階躍響應信號內包含了連續頻率譜成分，自然也可以用最簡單的點頻濾波器方法直接獲取頻率譜成分.

點頻濾波器方法與傅里葉頻譜分析方法的本質區別在于：前者直接獲取頻率譜成分，工程應用方便；后者通過無窮多種頻率信號擬合法計算出頻率譜成分，計算復雜.

4 仿真試驗

為驗證文中所提出理想頻率信號源和點頻濾波器的有效性，進行了以下仿真試驗.試驗中將實際點頻濾波器的帶寬設為10-6rad／s，仿真對象是一個等容二階系統，其時間常數為50s.仿真試驗過程方框圖見圖3.圖3中點頻濾波器1輸出端得到對象輸入端的頻率信號，在點頻濾波器2輸出端得到對象輸出端的頻率信號.實際點頻濾波器的中心頻率和帶寬調節、頻率特性的頻率范圍等內容放在實際應用章節介紹.

首先，筆者進行了階躍信號經過實際點頻濾波器的仿真試驗，得到了如圖4所示的初始頻域幅值特性圖，給出的頻率范圍是0.000 5～0.01rad／s.

圖4 初始幅值與頻率關系圖Fig.4 Relationship between initial amplitude and frequency of step signal after passing though the single-frequency-pass filter

頻率為0.000 5rad／s的信號，其幅值隨時間的衰減關系見圖5.從圖5可看出：輸出幅值衰減到初始幅值0.707倍的時間大約需要1 950h，已足夠滿足實際幅值和相位提取的需求.

試驗期間，在階躍信號上加入多種頻率的干擾信號時，得到實際點頻濾波器在頻率0.01～0.30 rad／s的初始頻域幅值特性，見圖6.

圖5 信號的幅值隨時間衰減關系圖Fig.5 Curve of signal amplitude damping with time

圖6 輸出信號幅頻特性圖Fig.6 Amplitude-frequency characteristics of step signal with noise after passing through the single-frequency-pass filter

由圖6可知：通過濾波器之后，干擾信號的頻率能夠很容易被識別出來，為進一步消除干擾提供了幫助.仿真過程中，在施加階躍信號的同時，在輸出通道上加入了多種頻率的干擾信號，并分別將可變中心頻率的實際點頻濾波器分別接入在對象的輸入和輸出端，濾波之后的信號進入相位、幅值比較器，從而獲得對象或系統的頻率特性.首先，抽取了中心頻率為0.02rad／s的仿真結果圖（圖7）.圖7中兩條正弦波曲線分別是兩個實際點頻濾波器的輸出信號.對比兩個信號可知：對象輸出端頻率信號幅值比對象輸入端頻率信號的幅值下降了0.5倍，相位滯后了90°.該結果完全符合對象傳遞函數在0.02 rad／s處對應的頻率特性.仿真結果證明了筆者提出方法的正確性和有效性.

圖7 頻率為0.02rad／s的對象輸入信號和輸出信號比較圖Fig.7 Comparison of relative amplitude between input and output signal at f＝0.02rad／s

為了進一步證明筆者提出方法的有效性，給出了頻率為0.001～0.230rad／s的頻率特性仿真結果，見圖8和圖9.

圖8 幅頻特性仿真試驗結果圖Fig.8 Amplitude-frequency characteristics obtained by simulation test

圖9 相頻特性仿真試驗結果圖Fig.9 Phase-frequency characteristics obtained by simulation test

從圖8和圖9可以看出：仿真結果和對象理論上的頻率特性在試驗頻段上重合，僅僅在加入干擾的兩個頻率點（0.12rad／s和0.18rad／s）存在差異，干擾信號在頻率特性的分析下暴露無遺.因此，在實際的頻率分析中可以將相位和幅值同時有突變的頻率點剔除，提高整個系統的抗干擾能力.

5 實際應用

筆者將所提出的方法運用于廣東沙角發電C廠2號660 MW 機組過熱汽溫控制系統頻率特性的離線辨識［14］，該系統的階躍響應趨勢見圖10.

圖10 過熱汽溫控制系統在500 MW 負荷階躍響應趨勢圖Fig.10 Step response of superheated steam temperature control system at 500 MW

5.1 離線辨識數據處理

將圖10中的調節閥位、噴水后汽溫和過熱器出口溫度離線數據分別進行時間延拓處理，目的是將離線數據截止后的時間尺度延拓到足夠長，以滿足離線計算的需要.具體為：離線數據終止后的部分分別用各自離線數據的最終值進行填充，然后同步將各時間延拓數據按前后次序逐點輸出，以供離線程序計算.該離線數據的時間間隔為1s.

實際的辨識用了3個實際點頻濾波器，實際點頻濾波器的帶寬設為10-6rad／s.

5.2 實際點頻濾波器的中心頻率和帶寬調節

根據式（3）和式（6），考慮到計算方便，令TI＝TD＝To，則得到LCR 帶通濾波器中心頻率調節公式和LCR 帶通濾波器帶寬調節公式：

將TI＝TD＝To代入式（2），并進行適當的變形，得到了閉環回路的具體形式，見式（16），它實現了帶通濾波器的功能.

由式（14）、式（15）和式（16）對應的實際點頻濾波器系統見圖11.

圖11 實際點頻濾波器系統圖Fig.11 Block diagram of a practical single-frequency-pass filter

如圖11所示，得到了設定中心頻率和帶寬的實際點頻濾波器.其中濾波器復位端用于復位控制，其原理是：進行復位控制時，將濾波器的R設置為一個較大值，使輸出頻率信號的幅值迅速衰減為零.

具體的頻率信號離線辨識過程是：將時間延拓數據接入實際點頻濾波器輸入端，設置濾波器中心頻率和濾波器帶寬，在每次開始頻率信號辨識前首先對濾波器進行復位控制.

3個實際點頻濾波器頻率信號辨識是同步進行的，分別得到調節閥位頻率信號、噴水后汽溫頻率信號、過熱器出口溫度頻率信號.

5.3 確定頻率特性的頻率范圍

理論上，階躍頻譜信號或階躍響應頻譜信號提供了海量的信息量，頻率特性的頻率范圍是無限制的.實際上僅是最高可辨識頻率受離線數據的時間間隔限制，實際離線數據2點之間的時間間隔為1 s，按照信號采樣頻率最少為信號頻率2倍計算，則可辨識的最高頻率為0.5 Hz，對應角頻率為3.14 rad／s.也就是說，辨識頻率范圍上限為3.14rad／s，但其下限沒有限制.

對于2個辨識頻率信號的比較，可以從上限頻率開始，設定連續辨識頻率間隔（如0.001rad／s），不斷減少辨識頻率值和不斷得到頻率特性辨識結果，當2個辨識頻率信號比較得到的幅頻增益基本穩定后，停止辨識，此時的辨識頻率即為下限辨識頻率.如此則得到了設定連續辨識頻率間隔的頻率特性和辨識頻率上限到下限范圍的頻率特性.

5.4 實際頻率特性辨識

圖12為過熱器出口溫度頻率信號與閥位指令頻率信號相比較得到的幅值頻率特性圖，頻率范圍0.001～0.060rad／s，辨識頻率間隔為0.000 1rad／s.

圖12 過熱器出口溫度相對閥位幅值頻率特性Fig.12 Amplitude-frequency characteristics of superheater outlet temperature relative to valve level

圖13為噴水后汽溫頻率信號與閥位指令頻率信號相比較得到的幅值頻率特性圖，頻率范圍0.001 ～0.060rad／s，辨識頻率間隔為0.000 1rad／s.

圖13 噴水后汽溫相對閥位幅值頻率特性Fig.13 Amplitude-frequency characteristics of sprayed steam temperature relative to valve level

5.5 過熱器對象模型頻率特性辨識

過熱器出口溫度頻率信號與噴水后汽溫頻率信號相比較得到過熱器對象模型頻率特性，見表1和圖14、圖15.

圖14 過熱器對象模型幅值頻率特性辨識圖Fig.14 Identification graph of amplitude-frequency characteristics with superheater object model

表1 過熱汽溫對象模型頻率特性辨識結果表Tab.1 Identification results of frequency characteristics with superheated temperature object model

圖15 過熱器對象模型相位頻率特性辨識圖Fig.15 Identification graph of phase-frequency characteristics with superheater object model

由圖14和圖15可見：過熱器對象的頻率特性幅頻增益和相頻相位曲線是單調下降的，基本符合高階對象的頻率特性.根據所辨識出的頻率特性，還可繼續辨識出該對象的近似數學模型，但限于篇幅，這個問題在本文不再繼續討論.

6 結 語

在分析階躍信號頻率特性的基礎上，提出了階躍信號是對象頻域分析的理想激勵信號源.在帶通濾波器的基礎上提出了點頻濾波器的具體形式，并通過了仿真試驗和實際應用證明了該方法的有效性和正確性.

所提出的方法將在頻域范圍的控制系統性能分析、參數模型辨識和干擾信號的分析等方面有實際應用價值.

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