渦旋式膨脹機的非線性數學模型及動態仿真

侯國蓮，胡國強，畢珊珊，張建華

（華北電力大學 控制與計算機工程學院，北京102206）

膨脹機是有機朗肯循環系統（簡稱ORC 系統）中一個重要的部分，它利用從蒸發器出來的高溫高壓氣體工質輸出機械能并且帶動發電機發電，實現了由機械能到電能的轉化，工作原理如圖1所示. 目前，用于ORC 系統的膨脹機主要分為兩類：一類是速度型膨脹機，它利用噴嘴和葉輪將高溫高壓工質氣體轉化為高速流體，然后再將高速流體的動能轉化為旋轉機械能.速度型膨脹機功率越小，轉速越高，甚至可能達到每分鐘十幾萬轉，因而速度型膨脹機不可能做得很小［1］.當前國內外關于ORC系統的研究大都屬于小型或微型系統［2-4］，膨脹機不可能做得很大，因此速度型膨脹機只適用于小型或微型的有機朗肯循環系統.另外一類是容積式膨脹機，通過改變體積來獲得膨脹比和焓降，適合于小流量、大膨脹比的場合，同時其輸出功率較小，轉速較低，并且輸出功率隨著轉速的增大而增大，適用于小型或微型的ORC系統［1］.

圖1 有機朗肯循環系統工作原理圖Fig.1 Working principle of an organic Rankine cycle system

渦旋式膨脹機是容積式膨脹機的一種，由于其造價低、轉速小和膨脹比大，在ORC 系統的研究中越來越受到人們的關注，關于渦旋式膨脹機的研究也越來越多.高小軍等［5］研究了用于回收PEM 燃料電池能量的渦旋式膨脹機的性能，并且進行了該膨脹機的數字仿真.Vincent等［6-7］用渦旋式膨脹機的半經驗模型預測了膨脹機在ORC 系統中的性能.Sylvain等［8］從膨脹機熱力學性能的角度出發，根據膨脹機進氣腔、膨脹腔、排氣腔等組建的靜態數學關系，提出了用于ORC 系統的渦旋式膨脹機靜態數學模型，將根據模型計算得到的數據與膨脹機原型測得的數據進行對比，驗證了此模型的有效性.之前關于渦旋式膨脹機模型的絕大多數研究都是從研究渦旋式膨脹機的熱力學性能角度出發，基于模型參數間的變量靜態關系建立數學模型，模型過于復雜.針對渦旋式膨脹機的控制設計，筆者選取R123為工質，從膨脹機系統的熱力學機理分析出發，將機前閥門開度sz作為輸入量，膨脹機轉子轉速N（或轉子角速度w）作為輸出量，利用數學建模的解析方法和步驟［9-10］，得出了渦旋式膨脹機的非線性微分方程，并進行了動態仿真.

1 渦旋式膨脹機的數學建模

渦旋式膨脹機的工作過程包括進氣、膨脹、排氣三個過程，這些過程可以分解為以下六部分［7］（1）suc-suc＿1：絕熱壓降；（2）suc＿1-suc＿2：等壓降溫；（3）suc＿2-adp：絕熱可逆；（4）adp-exh＿2：絕熱等容；（5）exh＿2-exh＿1：絕熱混合；（6）exh＿1-exh：等壓升溫，如圖2所示.

圖2 渦旋式膨脹機工作過程的分解示意圖Fig.2 Working process decomposition of a scroll expander

圖2中suc表示渦旋式膨脹機進氣口處；suc＿1表示膨脹機進氣管道與進氣腔連接處；suc＿2 表示膨脹機進氣結束時動靜渦盤所形成腔體內選取的平均點；adp表示膨脹機膨脹過程結束而排氣還未開始時形成腔體內選取的平均點；exh＿2表示膨脹機從排氣開始到排氣結束時排氣腔內的平均點；exh＿1表示與排氣腔相連接的管道入口處；exh表示與排氣腔相連接的管道出口處；Qsuc表示吸氣過程所放出的熱量；Qexh表示排氣過程所吸收的熱量；M·表示進入膨脹機的工質質量流量，kg／s；M·in表示進入膨脹腔內的工質質量流量，kg／s；M·leak表示工質進入膨脹機內泄漏的質量流量，kg／s；Pin表示進入膨脹機膨脹腔內的高壓工質氣體對外做功所產生的功率，W；PL表示負載消耗功率，W；Ploss表示由于摩擦等造成的機械損失功率，W.

1.1 系統建模假設

在建模之前先進行如下假設［6］：

（1）將suc-suc＿1 過程等效為等熵流通過一個收縮噴嘴的過程，收縮噴嘴的出口截面積（A2）近似為一個常數；

（2）進入膨脹機的工質的流速很小；

（3）氣體工質為理想氣體；

（4）工質氣體常數（Rg）及絕熱指數（κ）近似等于常數；

（5）進氣管道及進氣腔內的工質氣體均勻分布，即在進氣管道及進氣腔內工質氣體密度處處相等；并且認為氣體流經該進氣管道及進氣腔時，其狀態變化是按多變過程進行的.

1.2 渦旋式膨脹機變量靜態關系

渦旋式膨脹機的靜態關系是進氣管道、進氣腔、膨脹腔及排氣腔等特性的綜合，分析膨脹機動態特性是以靜態關系為基礎的.根據假設條件，得出以下主要靜態關系［11-12］.

根據假設有：

式中：A2為收縮噴嘴出口截面面積，m2；cf2為收縮噴嘴出口截面上的速度，m／s；v2為收縮噴嘴出口截面上氣體的比體積，m3／kg.

結合質量守恒方程和能量守恒方程，進入膨脹腔內的質量流量可以用下式表示.

式中：Asuc為進氣口橫截面積；hsuc和h分別為等效噴嘴進口和出口截面的比焓；vsuc＿1為等效噴嘴出口截面的比體積.

式中：csuc和csuc＿1分別為噴嘴進口和出口截面上的氣流速度；h0為滯止時氣體的焓.

式中：κ為等熵指數；psuc和psuc＿1分別為等效噴嘴進口和出口處的壓力.

根據假設（2）可得

根據假設（3）可得

聯立式（1）～式（8）可得

在文獻［6］給定的工況下，按照式（9）計算進入膨脹腔內的質量流量為0.082 5kg／s，而實驗測得的數據約為0.086 8kg／s，兩者相差0.004 3kg／s，誤差為4.95%，滿足誤差要求.

由式（9）可知，進入膨脹腔內工質質量流量的函數＝fM（psuc，Tsuc）可用拋物線函數或線性函數近似［13］，本文用psuc和Tsuc的線性函數組合近似：

1.3 非線性微分方程及求解

根據能量守恒和質量守恒原理，建立渦旋式膨脹機系統的非線性微分方程.

（1）根據進氣管道及進氣腔輸入與輸出的總質量守恒，推導容積方程，這一方程描述了閥門開度與進氣管道及進氣腔中工質壓力的關系.圖3為進氣管道及進氣腔容積的示意圖.

圖3中為流過節流閥的工質質量流量，取決于閥門開度sz，即

為進入膨脹腔的工質質量流量，取決于進氣腔進氣管道入口處的壓力psuc和溫度Tsuc，而psuc和Tsuc取決于容積內積存工質的多少.

圖3 進氣管道及進氣腔容積的示意圖Fig.3 Pressure-volume diagram of the inlet pipe and inlet chamber

根據假設（4）和（5）有

式中：Vs，exp為膨脹機排氣體積，屬于膨脹機的結構參數，為常數.

將式（10）、式（11）和式（13）代入式（12）可得

因為ρsuc、psuc和Tsuc均是可變的，所以式（14）是一個非線性微分方程.

式中：Pin為工質氣體進入膨脹機內做功產生的功率.

式中：τp為壓力比，τp＝為膨脹機的等熵效率，是壓力比τp和轉速N的函數，由于工作中其值變化范圍不大，這里取常數［6］；PL表示負載消耗功率，是一個取決于外部因素的量；Pmech是由于摩擦等造成的機械損失功率，是一個與w有關的非線性函數，可近似認為［6］

式中：Tloss為機械損失轉矩，可認為是常數.

將式（10）、式（16）和式（17）代入式（15）后得

由于w、psuc、Tsuc均是可變的，因此式（18）是一個非線性微分方程.利用小偏差線性化的方法將其轉化為一個近似線性方程.設ρ0、psuc，0、sz0均為額定工況下所對應的參數，則每個變量都可以寫成額定值加變化量的形式，即

將式（19）代入式（14），得

故式（20）可簡化為

與ρsuc，0、psuc，0和Tsuc，0相比，Δρsuc、Δpsuc和ΔTsuc僅僅是個很小的變化量，所以通過小偏差線性化可將近似為這種近似結果影響甚微.實踐表明，這種簡化所帶來的誤差僅為1%～2%［14］.

同理，對式（18）進行小偏差線性化，將式中所有變量記為常量與小偏差的和，即

由Pin，0-PL，0-Pmech，0＝0

2 模型理論驗證及動態仿真

本文中渦旋式膨脹機的工作點為：轉速N0為2 296r／min，即ω＝240.436 6rad／s；膨脹機入口壓力psuc，0和入口溫度Tsuc，0分別為1.003 MPa和415K，膨脹機出口壓力pexp，0為0.201 MPa，工質為R245fa.此工況條件下的計算結果如下：τp＝0.200 4，κ＝1.15，τκ＝0.130 4，ηexp＝66.25%，ρsuc＝52.206 9 kg／m3.此 時κ1＝0.234 5，κ2＝-0.000 104 75，κ3＝-0.104 9.

在閥門開度和負荷發生擾動時進行仿真實驗.

（1）當給閥門開度sz一個幅值為1 的階躍變化、仿真時間取0.1s時，仿真曲線如圖4所示.

圖4 進氣管道入口壓力隨閥門開度擾動的動態響應Fig.4 Dynamic response of inlet pressure with disturbance of valve opening

由圖4可知，當閥門開度階躍變化時，膨脹機進氣管道入口壓力能夠在極短的時間內達到穩定，這是因為與汽輪機相比，渦旋式膨脹機本身的功率極小，而汽輪機的容積時間常數通常為0.1～0.3 s［14］，所以膨脹機的進氣管道及進氣腔的容積效應對進氣的影響極小，其動態響應時間極快，這與實際情況相符.

（2）當給膨脹機內部功率Pin一個幅值為0.01的階躍變化時，膨脹機角速度相對變化量的變化曲線如圖5所示.

圖5 膨脹機角速度隨內部功率擾動的動態響應Fig.5 Dynamic response of angular velocity with disturbance of internal power

由圖5可知，在時間為6s左右時，曲線達到了穩定，說明隨著膨脹機內部功率的變化，膨脹機的轉速能夠在很短的時間內趨于一個穩定值，這與實際中膨脹機小功率的特性相吻合.

（3）當閥門開度不變，負荷階躍擾動為0.005、0.01和0.015時，動態響應曲線分別如圖6（a）、圖6（b）和圖6（c）所示.

由圖6可知，在相同閥門開度下，當負荷擾動逐漸增大時，膨脹機轉速變化量的穩定值減小.

（4）當負荷不變，閥門開度階躍擾動分別為0.02和0.03時，渦旋式膨脹機角速度相對變化量的響應曲線如圖7（a）和圖7（b）所示.

圖6 負荷階躍擾動時渦旋式膨脹機角速度相對變化量的響應曲線Fig.6 Dynamic response of angular velocity with load disturbance

圖7 閥門開度階躍擾動時渦旋式膨脹機角速度相對變化量的響應曲線Fig.7 Dynamic response of angular velocity with disturbance of valve opening

由圖7可知，當閥門開度增大時，膨脹機轉速的穩定值也逐漸增大，這是因為閥門開度增大時，膨脹機進氣管道及進氣腔內儲存的工質質量流量增大，從而使進入膨脹機膨脹腔內做功的工質流量增大，膨脹機發出的功率增大，在負荷一定的情況下帶動膨脹機轉子的轉速增加.

3 結 論

（1）兩組非線性微分方程的動態仿真結果與渦旋式膨脹機功率小、動態響應快等特點相符.

（2）在相同閥門開度擾動時，在不同負荷擾動情況下，轉子轉速的變化量與負荷變化的趨勢一致；在相同的負荷擾動下，隨著閥門開度增大，轉子轉速也相應地增加.仿真結果表明所建立的模型從機理上正確地反映了渦旋式膨脹機的特點.

［1］顧偉.低品位熱能有機物朗肯動力循環機理研究和實驗驗證［D］.上海：上海交通大學機械與動力工程學院，2009.

［2］劉廣彬，趙遠揚，李連生，等.低溫余熱回收用渦旋膨脹機性能模擬研究［J］.西安交通大學學報，2009，43（7）：88-91.LIU Guangshan，ZHAO Yuanyang，LI Liansheng，et al.Simulation of scroll expander used in low-temperature waste heat recovery system［J］.Journal of Xi＇an Jiaotong University，2009，43（7）：88-91.

［3］王輝濤，王華.低溫太陽能熱力發電有機朗肯循環工質的選擇［J］.動力工程，2009，29（3）：287-291.WANG Huitao，WANG Hua.Selection of working fluids for low-temperature solar thermal power generation organic Rankine cycles［J］.Journal of Power Engineering，2009，29（3）：287-291.

［4］LEMORT V，QUOILIN S，PIRE C.Experimental investigation on a hermetic scroll expander［C］／／7th International IIR Conference Compressors.Papiernicka：Compressor，2009.

［5］GAO X J，LI L S，ZHAO Y Y，etal.Research on a scroll expander used recovering work in a fuel cell［J］.International Journal of Thermodynamics，2004，7（1）：1-8.

［6］LEMORT V，QUOILIN S，CUEVAS C，etal.Testing and modeling a scroll expander integrated into an organic Rankine cycle［J］.Applied Thermal Engineering，2009，29（14／15）：3094-3102.

［7］LEMORT V，QUOILIN S，LEBRUN J.Numerical simulation of a scroll expander for use in a Rankine cycle［C］／／Proceeding of the International Compressor Engineering Conference at Purdue.Purdue：［s.n.］，2008.

［8］QUOILIN S，LEMORT V，LEBRUN J.Experimen-tal study and modeling of an oraganic Rankine cycle using scroll expander［J］.Applied Energy，2010，87（4）：1260-1268.

［9］謝兆鴻，范正森，王艮遠.數學建模技術［M］.北京：中國水利水電出版社，2003.

［10］陳理榮.數學建模導論［M］.北京：北京郵電大學出版社，1999.

［11］沈維道，蔣智敏，童鈞根.工程熱力學［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［12］QUDILIN S.Experimental study and modeling of a low temperature Rankine cycle for small scale cogeneration［D］.Liège：Faculty of Applied Sciences Aerospace and Mechanical Engineering Department，University of Liège，2007.

［13］AILER P，SANTA I，SZEDERKENYI G.Nonlinear model-building of a low-power gas turbine［J］.Periodica Polytechnica Ser Transportation Engineering，2001，29（1／2）：117-135.

［14］郭鈺峰，徐志強，于達仁.汽輪機調節原理［M］.北京：機械工業出版社，2010.