Kalman 濾波器及其在雷達尋的中的應用

左瑞芹

(中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009)

Kalman 濾波是一種建立在最小均方誤差估計基礎上的時域濾波方法。Kalman 濾波采用狀態描述系統，其算法采用遞推形式，數據存儲量小，便于實現在線實時濾波。自Kalman 濾波器問世以來，其在科學和工程上已得到了廣泛應用。

以雷達尋的制導系統而論，由于雷達目標的運動具有隨機性，故雷達導引頭輸出的代表導彈-目標視線角速度的電信號中，一般都混雜有測量噪聲，通常需要設法抑制這些噪聲，求取有用信號的最佳估計值，以削弱其對導引精度的影響。

本文主要介紹了帶有噪聲的導引系統方程，建立了具有Kalman 濾波器的導彈比例導引的系統方程，給出了濾波增益的計算方法，并對不同條件進行了仿真分析，對工程實現具有一定的參考意義。

1 系統方程

對線性系統而言，Kalman 濾波器能夠提供最優估計。為了說明Kalman 濾波理論，這里用矩陣微分方程的形式來描述系統

其中:x 是描述系統的列向量;F 為系統的動態矩陣;u 為已知的控制向量;w 為白色噪聲。

定義1 個與噪聲向量相關的矩陣Q

從另一方面講，Q 為白色噪聲在時域變換的期望。

如果觀測量與系統狀態向量線性相關，則有

其中:z 為觀測向量;H 是觀測矩陣;v 是白色噪聲觀測值。

定義1 個與噪聲觀測向量v 相關的噪聲觀測矩陣R

式(1)～式(4)描述的都是連續系統，對于離散系統需要經過1 個采樣時間Ts后系統才會更新信息，因此需要把系統模型進行離散化。

定義與系統動態矩陣相關的矩陣為

其中:I 是辨識矩陣;L-1為拉普拉斯逆變換。

式(5)的離散變換矩陣為

式(3)、式(4)的離散形式為:

2 Kalman 濾波器方程

離散形式的Kalman 濾波系統方程以遞推的形式給出:

其中:Kk代表Kalman 增益矩陣，從如下的Ricatti 矩陣方程可計算得到:

其中:Pk是狀態估計更新前的誤差協方差矩陣;Mk是狀態估計更新后的誤差協方差矩陣;Qk為離散噪聲矩陣。

3 比例導引系統

導彈的末制導，一般采用比例導引規律引導導彈飛向目標，其一般形式為

式中:nc為導彈加速度，m/s2;N'為比例導引常數，或導航比;Vc為導彈與目標的相對速度，m/s;λ 為導彈對目標視線與參考線的夾角或視線角，rad;λ˙ 為視線角的導數，也即視線角速度。

圖1 為在同一平面內導彈和目標的相對運動圖。圖1中:VT為目標速度，m/s;VM為導彈速度，m/s;nT為目標加速度，m/s2;RTM為彈目相對距離;y 為彈目相對高度。

圖1 在同一平面內導彈和目標的相對運動

從圖1 中可以看出，彈目沿y 方向的相對加速度為

如果β、λ 為很小，則有

同時有

假設彈目相對速度Vc為常數，則有

定義

其中:tF為導彈總共飛行時間;t 為當前時間;tgo為截獲時間。

由式(18)～式(20)可得

對式(20)兩邊求導，可得

通過上面的分析，可以得到比例導引的制導模型框如圖2 所示。

圖2 比例導引律制導模型

假設已知導彈加速度nc，且目標加速度nT是定常的，目標隨機機動，且起動時刻在導彈的攔截工作時間內均勻分布，目標機動的隨機性可以看成通過1 個積分器的白色噪聲過程，其噪聲的譜密度為［6］

圖2 中的模型可以表示為

把式(24)中F 的值帶入式(5)，可得

寫成離散形式為

由式(9)、式(24)和式(26)可得離散形式的G 為

由式(7)可取系統離散形式的觀測方程

由式(9)、式(26)～式(28)可得圖2 的帶Kalman 濾波器的形式，表示成矩陣為:

由式(15)和式(22)可得與狀態估值相關的制導指令為

由式(18)、式(29)和式(30)可知，系統可用圖3 所示的框圖形式表示。圖3 中為引入噪聲之后的視線角;z-1為純延遲;z-1yk表示yk-1。圖3 中Kalman 濾波器給出了相對位置、相對速度和目標加速度的最優估計。

圖3 加入了Kalman 濾波器制導系統

4 Kalman 增益的計算

圖3 所示的系統需要先計算濾波器的增益Kk，這些增益可通過一系列Ricatti 方程計算得到。對于圖2 所示的三狀態系統，第1 個Ricatti 方程Mk可通過代入式(2)、式(14)和式(26)后整理得到

第2 個Ricatti 方程用來計算Kalman 增益。對于圖2 來說，Rk是1 ×1，因此有:

那么，第3 個Ricatti 方程的解為

為了求解Ricatti 方程，式(31)需要初始化系數矩陣P0。1 種經驗的初始化方法為

5 仿真實例

采用圖2 的制導系統模型和圖3 的濾波框圖，取nT=3 g，Vc=1 200 m/s，VM=850 m/s，VT=350 m/s，σnoise=0.001，HE=20°，tF=10 s，ts=0.1 s 來進行制導系統仿真。圖4所示為取不同σnoise時的加速度估計值曲線，圖5 為加速度估計誤差的曲線。

從圖4 可以看出，σnoise取值較小時，系統估計值的上升時間短。從圖5 中可看出，加速度估計誤差很快進入了σ 的理論范圍之內。

圖4 不同σnoise的估計值比較

圖5 加速度誤差

6 結束語

本文主要介紹了Kalman 濾波器及其在導彈自動導引中的應用，給出了Kalman 濾波器方程及其增益計算方法，推導了Kalman 濾波器在比例導引中的工程應用方法，對給定的飛行條件進行了仿真分析，仿真結果證明了方法的有效性。

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