擴散項與時滯有關的單種群模型的全局穩定性

李曉艷，姚 頻

(蘭州城市學院 a.數學學院;b.附中，蘭州 730070)

用數學模型的方法來研究種群生態學問題是常見的方法，具有擴散的種群模型的周期解問題的結論較多，而具有時滯的單種群擴散模型中擴散項僅依賴于當時種群的密度是不完全符合現實的。

在自然界中，許多生物體(尤其是植物)必須經歷一段時間才能發生擴散;舉例來說，柳樹、松樹要遷移，必須靠風的力量，由風傳播它們的種子才能生根發芽;麻雀在出生后不能立即展翅飛翔，要經過一段時間后才能飛，這是發生擴散的基本條件。因此，為了更符合客觀事實，應考慮擴散項具有時滯的模型。

1 模型建立

考慮如下非自治單種群模型

其中:ai(t)是內稟增長率;bi(t)為密度制約因子;Ci(t)為繁殖率;Di(t)(i=1，2)是擴散率;τ 是關于t 的函數且τi(t)(i=1，2，3)是連續的ω 周期函數，且ai(t)，bi(t)，Ci(t)，Di(t)均大于0，τi(t)≥0，τ˙i(t)＜1，t≥0。

2 周期解的存在唯一性與穩定性

定理1 設系統(1)滿足如下假設

則系統(1)的任一正解均一致有界。

證明:由假設(A1)必存在r ＞1，H ＞1，使得

定義:V ( x1，x2)=max { x1，x2}，下面分2 種情況

可見“醉鬼”不醉，只是以醉態示人。至于為何如此，有人說是他藏形隱色，掩飾真功以防暗算的一種做法；有人說是他為了免除權貴騷擾，故意所作的玩物喪志飲酒誤事的假象。

(1)若V ( x1，x2)= x1，沿 系 統(1)的 正 解 計 算 的 右 導 數，若‖ (x1(t)，x2(t))‖ ≥H，則 對 任 意θ ∈ [ -τ，0 ]，有V (x1( t+θ )，x2( t+θ ))＜rV (x1(t)，x2(t))。由( 1 )得

(2)若V ( x1，x2)=x2，同理可得·V＜-1。由Lyapunov 穩定性定理知，正解是最終一致有界的。

設M ＞H ＞1，(x1(t)，x2(t))表示具有初始條件 ( σ，φ )的任意正解，φ = ( φ1，φ2)∈C+。當θ∈ [ -τ，0 ]時，有0≤φi( θ )≤M，( i=1，2 ).下證對t≥σ，都有‖ (x1(t)，x2(t))‖≤M。

假設存在ˉt ＞σ，使得

若

則

由(4)和(5)得

引理1［4］設條件 ( A1)成立，則存在正數ε ( 0 ＜ε ＜M )，使得對給定的0 ＜δ ＜d，總存在正數T = T ( δ，d )＞0，使得對任意t ＞σ+T(σ∈R，φ∈C+[ δ，d ])有xi( σ，φ )≥ε。

證明:令 (x1(t)，x2(t))是系統( 1 )的正解，作變換Xi(t)=ln ( xi(t ))，i=1，2，則系統( 1 )轉化為關于X1，X2的新系統。由定理1與引理1 可知，新系統的解也一致有界，由定理4.2［5］得新系統至少存在一個不動點，即至少存在一個正ω 周期解，從而系統( 1 )至少存在一個正ω 周期解。

令σi(t)=t-τi(t)，則σi(t)有反函數，記作ui(t)=max {Di(t)t∈R，i=1，2 }。

定理3 對系統(1) ，若滿足以下假設

其中i，j=1，2，i≠j，ε 和M 分別為系統(1) 的任意正解的最終下界和上界，則系統(1) 存在唯一全局漸進穩定的正ω 周期解。

由假設(A2)得D+V(t)≤0，所以系統(1)的周期解是全局漸近穩定的。

同時文獻［7］的模型是bij(t)=cij(t)=0 時的特殊情況。

［1］Wang H，Zhang S.Permanence and Existence of Periodic Solutions of a Predator-Prey Patchy Model with Dispersal and Time Delay［J］.Journal of Biomathematics，2007，22(1):25-36.

［2］陳超，紀昆.具有Holling III 類功能性反應的多種群捕食競爭系統的周期解［J］.應用數學學報，2006，29(4):756-765.

［3］韓思遠，賈建文.具有時滯和擴散的基于比例的捕食系統的正概周期解［J］.陜西師范大學學報，2008，4(21):18-21.

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［5］Hale J.Theory of Functional Differential Equations［M］.Heidelberg:Spinger Verage，1977.

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［7］馬知恩.種群生態學的數學建模與研究［M］.合肥:安徽教育出版社，2000.

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