拋光機(jī)器人軌跡連續(xù)性規(guī)劃與仿真

張 棟，贠 超，何競擇，宋 濤

（北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191）

0 引言

隨著對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量要求的提高，在更多產(chǎn)品中使用拋光加工以提高表面質(zhì)量。目前，復(fù)雜幾何形狀工件的拋光工藝主要由人工完成。人工拋光加工，勞動(dòng)繁重，環(huán)境惡劣，生產(chǎn)效率低，且對(duì)工人經(jīng)驗(yàn)要求較高，產(chǎn)品一致性差[1,2]。

與數(shù)控機(jī)床拋光相比，機(jī)器人拋光更具柔性和靈活性，適合復(fù)雜曲面的拋光操作[3]。而通用機(jī)器人在結(jié)構(gòu)剛度上表現(xiàn)欠佳，不能完全滿足拋光加工力較大的要求，且存在一定的振動(dòng)，因而拋光質(zhì)量，效率和適用范圍受到制約[4]。而對(duì)專用的拋光機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃研究，將有助于提高其加工能力和質(zhì)量，減少對(duì)示教的依賴。

1 拋光機(jī)器人結(jié)構(gòu)分析

本文所述的拋光機(jī)器人系統(tǒng)，專為復(fù)雜曲面的拋光加工設(shè)計(jì)，同時(shí)具備了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)靈活和機(jī)床結(jié)構(gòu)剛度高的優(yōu)點(diǎn)，在較大拋光力作用下，較高速的拋光加工中，表現(xiàn)突出。從而可以適應(yīng)較復(fù)雜曲面，獲得較高的質(zhì)量、精度和效率。

該拋光機(jī)器人系統(tǒng)為兩工位同步運(yùn)動(dòng)的3P3R型，6自由度機(jī)器人，如圖1所示。其中，拋光輪安裝部分具有2個(gè)自由度，分別是沿豎直方向的移動(dòng)自由度Z，以及與Z軸和拋光輪旋轉(zhuǎn)軸線均垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度A；工件裝卡結(jié)構(gòu)部分具有4個(gè)自由度，分別是水平面內(nèi)相互垂直的移動(dòng)自由度X和Y，軸線沿豎直方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度B，以及軸線與B軸垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度C。

圖1 拋光機(jī)器人結(jié)構(gòu)

另外，拋光輪輪軸的軸承座，通過滑塊導(dǎo)軌，安裝于拋光輪支架上，在振動(dòng)汽缸的帶動(dòng)下，可沿拋光輪旋轉(zhuǎn)軸線方向振動(dòng)。振動(dòng)頻率在每分鐘30～200次，以適應(yīng)加工要求。拋光輪會(huì)隨著拋光加工的進(jìn)行發(fā)生磨損，本機(jī)安裝的拋光輪許用直徑為300mm～600mm。

為獲得較理想的靈活空間，需使用拋光輪上不同位置進(jìn)行加工，所以，拋光加工點(diǎn)所在的扇區(qū)位置，被認(rèn)為是一個(gè)可由操作人員指定的自由度。而變換扇區(qū)由人為設(shè)置，即只能設(shè)定離散的值，即會(huì)造成實(shí)際拋光軌跡的不連續(xù)。為解決因扇區(qū)改變?cè)斐傻牟贿B續(xù)，首先，應(yīng)盡量避免同一工件加工中不必要的扇區(qū)更改，即盡量通過A, B,C, X, Y, Z等6個(gè)自由度調(diào)節(jié)機(jī)器人姿態(tài)，完成拋光作業(yè)；其次，在拋光路徑上，扇區(qū)改變時(shí)，連續(xù)插入多個(gè)示教補(bǔ)充點(diǎn)，且這些點(diǎn)應(yīng)為工件坐標(biāo)系下一定規(guī)律曲線上的點(diǎn)。

2 拋光機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 D-H方法

為描述相鄰桿件問平移和轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)系，Denavit和Hanenberg于1955年提出了一種為關(guān)節(jié)鏈中的每一桿件建立附體坐標(biāo)系的矩陣方法。對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)角是關(guān)節(jié)變量，其余參數(shù)固定不變；對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)，偏置是關(guān)節(jié)變量，其余參數(shù)固定不變。

2.2 建立D-H坐標(biāo)系

通用的6R型工業(yè)機(jī)器人一般以世界坐標(biāo)系作為第0坐標(biāo)系，進(jìn)行建模。而本拋光機(jī)器人的自由度分列于工件和工具兩部分，為研究拋光加工點(diǎn)，在工件坐標(biāo)系內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，以工件坐標(biāo)系作為第0坐標(biāo)系。原點(diǎn)建于BC軸交點(diǎn)上。并根據(jù)拋光機(jī)器人結(jié)構(gòu)尺寸，按照D-H方法依次建立各坐標(biāo)系。為描述拋光加工時(shí)所使用的拋光輪上弧段的區(qū)域，建立第7坐標(biāo)系。如圖2所示。

相應(yīng)各桿件的結(jié)構(gòu)參數(shù)和運(yùn)動(dòng)參數(shù)，如表1所示。與該套建系方案相對(duì)應(yīng)，須規(guī)定各關(guān)節(jié)的正方向及移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)范圍。則第8系原點(diǎn)為加工點(diǎn)，Z8指向加工法向，X8指向拋光速度方向。

表1 拋光機(jī)器人D-H參數(shù)表

2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

圖2 拋光機(jī)器人D-H建模圖

解得各項(xiàng)如下：

依次繞固定坐標(biāo)系的X0，Y0，Z0軸旋轉(zhuǎn)γ角，β角，α角。可由矩陣形式描述為：

則有，在cosβ≠0時(shí)，

所求得的px，py，pz和α，β，γ即可描述拋光加工點(diǎn)的位置和姿態(tài)。

2.4 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

在已知拋光點(diǎn)在工件坐標(biāo)系中的位置，法線方向和拋光速度方向的條件下，要求得各關(guān)節(jié)的移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)量，就需要求解運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆解。對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，進(jìn)行觀察求解可得：

式（19）!式（24）中，b1＝51.5。

3 三次參數(shù)曲線插值

波音公司的弗格森（1963）首先引入?yún)?shù)三次方程，用于在飛機(jī)設(shè)計(jì)中進(jìn)行曲線和曲面的定義。

參數(shù)三次（parametric cubic）曲線，簡稱PC曲線，

用冪基表示：

將式（25）對(duì)參數(shù)t求導(dǎo)：

用t＝0，1分別代入式（25）和式（26）中，有

其矩陣形式即：

將式（25）代入式（31）。可以得到用兩斷電及其切矢表示的參數(shù)三次曲線段：

某拋光軌跡，共有n個(gè)點(diǎn)，其中第i個(gè)點(diǎn)，當(dāng)1＜i＜n時(shí)，令該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為線段（pi-1，pi）和線段（pi，pi+1）的斜率的均值，則有：

即可得到一條由n-1段參數(shù)三次曲線拼得的一條連續(xù)可微的曲線段（p1，p2，…，pn）。

4 軌跡規(guī)劃仿真

以一條35個(gè)點(diǎn)的拋光示教軌跡為例，根據(jù)上述三次參數(shù)曲線插值的方法，對(duì)該軌跡進(jìn)行插值。令式（32）至式（35）中 p 分別以上述px，py，pz和?，?，?為研究對(duì)象，帶入三次參數(shù)曲線方程中，進(jìn)行插值計(jì)算，獲得響應(yīng)的插值點(diǎn)，同時(shí)包括加工點(diǎn)的位置和角度信息。

利用matlab進(jìn)行仿真，可以得到松弛方法獲得的拋光加工軌跡如圖3中左圖所示，較大程度上偏離了工件表面，拋光輪吃入量時(shí)大時(shí)小，尤其在工件表面曲率較大處較為明顯。而圖3中右圖所示，為采用三次參數(shù)曲線插值方法獲得的加工路徑，可以看出各加工點(diǎn)均勻平滑，且拋光加工的方向和主速度方向變化連續(xù)。

在X-Y平面和X-Z平面內(nèi)觀察軌跡，如圖4和圖5所示，可明顯體現(xiàn)出應(yīng)用三次參數(shù)曲線插值的方法，規(guī)劃得到的拋光加工軌跡與工件表面契合程度高，軌跡光順，變化連續(xù)與實(shí)際工件表面最大距離小于1mm；而松弛的拋光軌跡在示教點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)規(guī)律隨機(jī)性較大，特別是在曲率變化較大的局部偏離加工面的現(xiàn)象嚴(yán)重，與工件表面點(diǎn)最大偏離超過4毫米，將嚴(yán)重影響加工質(zhì)量。

當(dāng)控制條件為最大關(guān)節(jié)速度恒定時(shí)，各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)中轉(zhuǎn)速最高的電機(jī)的轉(zhuǎn)速為定值，則兩點(diǎn)間的運(yùn)行時(shí)間：

圖3 軌跡連續(xù)控制方法與松弛位置方法的軌跡對(duì)比

圖4 X0-Y0平面內(nèi)軌跡投影對(duì)比（橫軸為X0，縱軸為Y0，單位mm）

圖5 X0-Z0平面內(nèi)軌跡投影對(duì)比（橫軸為X0，縱軸為Z0，單位mm）

在較小長度范圍內(nèi)，認(rèn)為兩點(diǎn)間的拋光軌跡為直線，則有拋光軌跡速度

采用軌跡連續(xù)的控制策略時(shí)，已知相鄰兩點(diǎn)間的距離和各關(guān)節(jié)中的發(fā)生最大位移量的關(guān)節(jié)。所以，在速度過快時(shí)，可以通過改變nmax，以限制最高速度，實(shí)現(xiàn)進(jìn)給運(yùn)動(dòng)的速度穩(wěn)定。圖6為伺服電機(jī)最高轉(zhuǎn)速為1200r/min時(shí)，在工件坐標(biāo)系內(nèi)，拋光加工點(diǎn)移動(dòng)速度的對(duì)比。

松弛的拋光軌跡，速度變化突然，波動(dòng)范圍大，最高速度達(dá)到270mm/s，大大超過了拋光加工所要求的進(jìn)給速度。應(yīng)用連續(xù)軌跡控制方法，速度波動(dòng)范圍較小。變化相對(duì)連續(xù)。基本在50mm/s至80mm/s速度范圍內(nèi)，符合工藝要求。

5 結(jié)論

本文在拋光機(jī)器人的結(jié)構(gòu)分析、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和軌跡規(guī)劃等三個(gè)方面的結(jié)論如下：

1)專用型拋光機(jī)器人，結(jié)構(gòu)剛度高、運(yùn)動(dòng)靈活、適應(yīng)復(fù)雜曲面和加工質(zhì)量高；

2) 應(yīng)用D-H方法，獲得運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解，以實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人姿態(tài)和加工軌跡的控制；

3）基于三次參數(shù)曲線，設(shè)計(jì)軌跡規(guī)劃方法，以實(shí)現(xiàn)拋光機(jī)器人加工軌跡，位置和姿態(tài)連續(xù)變化的規(guī)劃，解決各示教點(diǎn)間拋光軌跡偏離和加工姿態(tài)不理想的問題。

圖6 工件坐標(biāo)系內(nèi)拋光加工點(diǎn)移動(dòng)速度對(duì)比曲線圖

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