基于基礎坐標概念的逐點比較法圓弧插補原理及其應用

趙慶志，席港港

ZHAO Qing-zhi, XI Gang-gang

0 引言

經濟型數控機床能夠滿足常規加工需要、價格較低、操作簡單、性價比較高，占有比較大的市場，該類數控機床常采用逐點比較法圓弧插補方法。

1 傳統的逐點比較法圓弧插補原理存在的問題及其改進

傳統的逐點比較法圓弧插補原理分為以下四個步驟：偏差判別、坐標進給、新點偏差計算和終點判別。在坐標進給時并沒有考慮進給后插補誤差的大小而決定進給坐標，致使插補誤差較大，這種插補方法使得刀具每次在X或Y坐標進給一個脈沖當量，而不能使得X、Y兩坐標同時聯合進給。圖1所示為插補逆圓弧時產生了較大的插補誤差。事實上當圓弧切線趨向于45°斜線時若能X、Y兩坐標同時進給一步，插補誤差就大大減小[1～7]；在圖1所示的起點A若進給+Y也能大大減小插補誤差，本文在前人研究的基礎上，引進基礎坐標的概念，研究出了逐點比較法圓弧插補新原理，簡化了插補過程，大大減小了插補誤差，用該方法開發數控系統控制程序很方便。

新逐點比較法圓弧插補步驟改為：先確定基礎坐標[8]，插補四個步驟改為：兩種進給方案的新點偏差計算、偏差大小比較、基礎坐標或雙坐標進給、終點判別。即先分別計算出F、Fxy兩種進給方案新點的偏差值，然后比較兩者大小，再決定基礎坐標進給還是兩坐標聯合進給。令F代表基礎坐標進給一步后的插補偏差，Fxy代表兩坐標X、Y聯合進給后的插補偏差。

1.1 改進后逐點比較法圓弧插補原理推導

如圖1所示，第一象限逆圓弧AB由A點向B點加工，插補過程動點坐標為（Xi，Yi），則傳統的逐點比較法圓弧插補原理偏差判別函數為[8]：

起點坐標A(X0,Y0)=A(5,0)。當X0＞Y0時，為保持偏差F趨于0，Yi增大的速度就比Xi快；當Y0＞X0時，為保持偏差F趨于0，Xi增大的速度就比Yi快；所以分如下三種情況分析進給新點的偏差計算和坐標進給：

1）當X0＞Y0時，每次進給都進給+Y基礎坐標，只是考慮在什么條件下+Y、-X兩坐標聯合進給，不再考慮單獨進給-X坐標。

進給+Y坐標一步新點的坐標為（Xi，Yi+1）=( Xi，Yi+1),帶入（1）式得新點的偏差：

在此對偏差F省去下標，默認公式右邊的F是上次插補偏差，以下同，式（2）記為：

聯合進給-X、+Y一步新點的坐標為（Xi+1，Yi+1）=(Xi-1，Yi+1),帶入（1）式得新點的偏差為：

圖1 傳統逐點比較法圓弧插補軌跡

(3)、(4)兩公式即表1中第3組公式，顯然，當|F|＜|Fxy|時，只進給基礎坐標+Y，Fxy=F；當|F|≥|Fxy|時，聯合坐標進給-X、+Y，F=Fxy；即取插補偏差小的進給坐標進給。

2）當X0＜Y0時，每次進給都進給-X基礎坐標，只是考慮在什么條件下-X、+Y兩坐標聯合進給。不再考慮單獨進給+Y坐標。-X坐標進給一步的插補偏差公式為：

聯合進給-X、+Y一步新點的偏差計算公式為（3）式。

顯然，當|F|＜|Fxy|時，只進給基礎坐標-X坐標一步，Fxy=F；當|F|≥|Fxy|時，聯合進給兩坐標-X、+Y，F=Fxy；即取插補偏差小的進給坐標進給。

表1 順逆時針各段圓弧插補公式

續表

3）插補過程中，動點Xi、Yi的大小發生變化時，基礎坐標調換，則插補公式相應調換。

1.2 改進后的各象限逐點比較法圓弧插補公式與坐標進給

圖2 四個象限分成8個基礎坐標區域圓弧

圖3 基于基礎坐標概念的逐點比較法圓弧插補框圖

圖2所示的四個象限被兩條過坐標原點交叉的45°直線分為8個區域，不管逆時針圓弧還是順時針圓弧，1、4、5、8段分別記為NR1、NR4、NR5、NR8段圓弧的基礎坐標為Y坐標；不管逆時針圓弧還是順時針圓弧，2、3、6、7段圓弧的基礎坐標為X坐標；推導歸納出順逆時針各8段圓弧插補公式如表1所示，基于基礎坐標的逐點比較法圓弧插補原理如圖3所示，n=|Xe-X0|+|Ye-Y0|是對一個象限的圓弧計算的，當圓弧在幾個象限時要分別計算相加得n。

1.3 基于基礎坐標概念的各象限逐點比較法圓弧插補相關問題

1.3.1 插補過程中基礎坐標的轉換

插補過程中插補坐標Xi、Yi不斷變化，就會出現基礎坐標變換，這時要按表1相應變換插補公式。如圖2所示第一象限逆時針圓弧被45°直線分成1、2兩段，NR1開始時X0＞Y0基礎坐標為+Y，用第3組插補公式，當插補動點Xi≤Yi時按表1圓弧變為NR2，基礎坐標變為-X，改為用第4組插補公式，圖4是用新插補方法對圖1進行插補軌跡。

1.3.2 插補過程中的過象限處理

過象限的標志是動點坐標之一為0，對圖2所示1、2、3、4……逆圓弧,當Xi=0時由第一象限過到第二象限；當Yi=0時由第二象限過到第三象限等等，順圓弧也以此類推，過象限時按表1插補公式變換。

圖4 基于基礎坐標概念的逐點比較法圓弧插補軌跡

2 基于基礎坐標概念的逐點比較法圓弧插補案例

圖4所示為用基于基礎坐標概念的逐點比較法圓弧插補原理對圖1所示圓弧進行插補的軌跡圖，按照圖3所示框圖插補進行如下：

n=(|0-5|+|5-0|)+(|-3-0|+|4-5|)=14,在自A點向B點插補時，因為X0＞Y0，所以按表1所示NR1的信息進行插補，整個插補過程見表2，經歷了基礎坐標變化、插補公式變換、過象限處理等問題處理，插補軌跡如圖4所示，圖4比圖1的插補誤差明顯減小了。

表2 圖4所示基于基礎坐標概念的逆圓弧插補過程

3 基于基礎坐標概念的逐點比較法圓弧插補原理的應用特點

本文介紹的基于基礎坐標概念的逐點比較法圓弧插補原理有如下五個特點。

1） 將傳統的逐點比較法圓弧插補公式提煉成表1所示4套公式，插補思路更加清晰，插補信息一目了然。

2） 圖3所述基于基礎坐標概念的逐點比較法圓弧插補框圖符合結構化程序一進口兩出口分支結構的特點，與有關文獻研究提出的多分支結構相比，使得開發數控控制程序更加方便。

3） 該方法避免了有關文獻所述方法中涉及的導數計算、有可能出現斜率無窮大、多分支判斷支路多、計算麻煩等缺點。

4） 新插補方法通用性強，使得表2所示的基礎坐標變換、過象限處理等數據信息自然過渡銜接，不易出錯。

5）由表2看出，圖4所示的14步坐標進給只用10步插補就完成了，插補速度得以提高。

4 結束語

該方法已在作者開發的數控雕刻機控制系統中得到了實際應用，效果很好。

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