基于Matlab的巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)

祝廣場 李志 梅映新

（中國船舶重工集團(tuán)公司第七一二研究所，武漢 430064）

1 巴特沃斯濾波器原理

巴特沃斯濾波器具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，而且隨著頻率的增加而單調(diào)下降[1]。

其幅度平方函數(shù)具有如下形式：

其中，N為整數(shù)，稱為濾波器階數(shù)，N越大，通帶和阻帶的近似性越好，過渡性也越陡。如圖1所示：

1.1 歸一化模擬低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)

歸一化 L（L為偶數(shù)）階巴特沃斯模擬低通濾波器的傳遞函數(shù)為

可見，巴特沃斯濾波器可以寫成L/2個(gè)2階級(jí)聯(lián)的形式。

圖1 巴特沃斯濾波器的幅值響應(yīng)曲線

1.2 模擬濾波器到數(shù)字濾波器的變換

（1）計(jì)算預(yù)畸變后模擬濾波器的通帶邊界頻率

（2）模擬濾波器的頻率尺度變換：

數(shù)字濾波克服了硬件濾波的許多不足，它與硬件濾波相比有以下優(yōu)點(diǎn)[1]：

（1）數(shù)字濾波用軟件實(shí)現(xiàn)，不需要增加硬件設(shè)備因而可靠性高、穩(wěn)定性好，不存在阻抗匹配問題。

（2）硬件濾波通常是各通道專用，而數(shù)字濾波則可多通道共享，從而降低了成本。

（3）數(shù)字濾波可以對(duì)頻率很低的信號(hào)進(jìn)行濾波（如0.01 Hz），而硬件濾波由于受電路元件的限制，頻率不可能太低。

（4）數(shù)字濾波可以根據(jù)信號(hào)的不同，采用不同的濾波方法或?yàn)V波參數(shù)，具有靈活、方便、功能強(qiáng)的特點(diǎn)。

2 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)

2.1 巴特沃斯數(shù)字濾波算法[2]

在單片機(jī)系統(tǒng)中常用的數(shù)字濾波器算法有程序判斷法、中值判斷法、算術(shù)平均值濾波法、加權(quán)濾波法、滑動(dòng)濾波法、低通濾波法和復(fù)合濾波法等，這幾種方法原理簡單，已廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)等領(lǐng)域，但是采用上述濾波算法后數(shù)據(jù)的精度不高。而巴特沃斯數(shù)字濾波器屬于無限沖擊響應(yīng)數(shù)字濾波器IIR的一種，被稱為最平的幅頻響應(yīng)濾波器，IIR數(shù)字濾波器用系統(tǒng)函數(shù)表示為：

當(dāng)系數(shù){ai；i=1，2，3，…，N}至少有一個(gè)是非零時(shí)，式（3）描述的系統(tǒng)被稱為無限沖擊響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器。對(duì)于IIR濾波器，一般情況下滿足M≤N，這時(shí)系統(tǒng)稱為N階IIR數(shù)字濾波器。由式（3）可得出表示輸入輸出關(guān)系的常系數(shù)差分方程表達(dá)式：

IIR 濾波器的結(jié)構(gòu)分為直接型（包括直接Ⅰ型和直接Ⅱ型）、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型三種。在選擇濾波器結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)該本著易于控制濾波性能、適于模塊化和編程實(shí)現(xiàn)的原則，一般情況下可設(shè)計(jì)一個(gè)二階濾波器，通過級(jí)聯(lián)可實(shí)現(xiàn)可控的高階IIR 濾波器。也可以設(shè)計(jì)一個(gè)具有良好特性的雙二階濾波器，然后通過控制級(jí)聯(lián)的個(gè)數(shù)，就可以實(shí)現(xiàn)任意階數(shù)的濾波器[3]。本系統(tǒng)根據(jù)控制精度和系統(tǒng)內(nèi)部資源的要求選用直接Ⅱ型濾波器。

2.2 用Matlab 設(shè)計(jì)巴特沃斯數(shù)字濾波器

數(shù)字濾波器的一般設(shè)計(jì)步驟是：首先利用模擬頻率和數(shù)字頻率的關(guān)系將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的頻率指標(biāo)，然后根據(jù)模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器的H(s)，最后用脈沖響應(yīng)不變法，將模擬濾波器H(s)轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)濾波器H(z)。這種傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法繁瑣且效率不高。

用Matlab設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器有兩種方法，第一種是用函數(shù)設(shè)計(jì)，Matlab中提供了buttord()和butter()兩個(gè)函數(shù)，在輸入通帶阻帶的截止頻率和衰減后可得到欲設(shè)計(jì)的巴特沃斯濾波器的階數(shù)和截止頻率，進(jìn)而得到濾波器的系數(shù)。另一種方法是用Matlab的信號(hào)處理工具箱特有的濾波器分析設(shè)計(jì)工具FDATOOL，它是圖形GUI 分析設(shè)計(jì)工具，可以直接設(shè)計(jì)濾波器并觀察實(shí)際效果，隨時(shí)修改，所見即所得，方便高效快捷。所以我們采用這種方法來設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器。

（1）在Matlab命令窗口中，輸入FDATOOL，回車，即可打開濾波器設(shè)計(jì)工具箱，其設(shè)計(jì)界面如圖2所示：

圖2 Matlab濾波器設(shè)計(jì)工具界面

（2）在濾波器類型中選擇“Lowpass”，設(shè)計(jì)方法選“IIR-Butterworth”，指定濾波器階數(shù)為5階，采樣頻率1000 Hz，截至頻率25Hz，然后點(diǎn)“Design Filter”，就完成了低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)，結(jié)果如圖3所示。

圖3 Butterworth濾波器設(shè)計(jì)圖

（3）導(dǎo)出系數(shù)。從圖4-8的左上部可以看出，5階的巴特沃斯濾波器被分成了3節(jié)級(jí)聯(lián)的形式。從設(shè)計(jì)界面的File菜單中，可以將濾波器的增益和系數(shù)矩陣導(dǎo)出到Matlab的工作空間中，如圖4所示：

圖4 導(dǎo)出系數(shù)

（4）圖5為濾波器傳遞函數(shù)系數(shù)，每一行代表一個(gè)二階濾波器的傳遞函數(shù)系數(shù)，他們之間的增益是2.341e-006。然后根據(jù)濾波器的級(jí)聯(lián)關(guān)系，算出5階巴特沃斯濾波器的系數(shù)為：

圖5 濾波器系數(shù)矩陣

（5）將IIR數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)寫成如下一般形式：

再根據(jù)式（5）列出5階巴特沃斯的差分方程，并作變形如下：

式（6）即為巴特沃斯濾波器的差分方程式，在程序中采用迭代方式來實(shí)現(xiàn)。

3 結(jié)束語

本文在巴特沃斯濾波器原理的基礎(chǔ)上探討了其特性，根據(jù)巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)算法，利用Matlab工具箱中的FDATOOL設(shè)計(jì)工具，設(shè)計(jì)出了一個(gè)5階的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器。在GPS的加速度處理中，其濾波性能良好，保證了測量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。

[1]李鐘鎮(zhèn). 基于Matlab 設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器. 信息技術(shù), 2003, (3).

[2]馬杰, 董金明. IIR數(shù)字濾波器在定點(diǎn)DSP上的實(shí)現(xiàn).聲學(xué)與電子工程, 2006, (2)：40-44.

[3]公丕波, 郝金明, 朱偉剛. GPS接收機(jī)與PC機(jī)間串口通信的實(shí)現(xiàn). 海洋測繪, 2005, (5).