關于亞純函數φ(z)fn(z)f(k)(z)的值分布

金瑾

(畢節學院數學與計算機科學學院,貴州 畢節 551700)

關于亞純函數φ(z)fn(z)f(k)(z)的值分布

金瑾

(畢節學院數學與計算機科學學院,貴州 畢節 551700)

設n和k為任意的正整數,f(z)是復平面上超越亞純函數,φ(z)為f(z)的不恒為零的小函數,討論了亞純函數φ(z)fn(z)f(k)(z)值分布,并提出一個新的定理,進行了較為詳細的證明.

超越亞純函數;Nevanlinna理論;值分布

1 引言與主要結果

等.1959年,文獻[1]證明了下面的著名定理.

定理1.1[1]設f(z)為超越亞純函數,n為正整數,如果n≥3,則fn(z)f′(z)取每一個非零有窮復數無窮多次.

文獻 [2]中還猜測:定理1.1的結論對 n=1和 n=2也成立.1979年,文獻 [3]解決了n=2的情形.1995年,文獻[4-5]獨立地解決了n=1的情形,并得到如下定理.

定理 1.2[4-5]設f(z)為超越亞純函數,則f(z)f′(z)取每一個非零有窮復數無窮多次.

文獻[6-11]做了大量的工作并得到了許多漂亮的結果.1999年,文獻[9]得到如下結果.

定理 1.3[9]設f(z)為超越整函數,n和k為正整數,f(z)的所有零點的重數至少為k,則fn(z)f(k)(z)取每一個非零有窮復數無窮多次.

文獻[15]對函數f(k)(z)?afn(z)進行了研究,并得到了如下結論.

定理 1.4[15]設f(z)為平面內的超越亞純函數,a為非零有窮復數,則當n≥k+3時,函數f(k)(z)?afn(z)有無窮多個零點.

文獻[16]中證明了定理1.5和定理1.6.

定理 1.5[16]設f(z)為超越亞純函數,k正整數,k≥2,f(z)的所有零點的重數至少為n,則對每一個 k(k≥2),f(z)f(k)(z)取每一個非零有窮復數無窮多次.其中,當 2≤k≤4時, n=k+1;當k=5時,n=5;當k≥6時,n=6.

假定讀者熟悉Nevanlinna關于亞純函數理論的標準記號和主要結果[1-31],如

定理 1.6[16]設 f(z)為超越亞純函數,f(z)的所有零點的重數至少為 n,則f(z)f(k)(z)取每一個非零有窮復數無窮多次.至多除去三個可能的例外正整數(n=2,3,4).

文獻[17]得到如下結論.

定理 1.7[17]設f(z)為平面內的超越亞純函數,a為任意非零復數,對任意的正整數

則當m≥λ+?+2時,

可取無窮多個零點.

文獻[18]研究了f(z)+a(f′(z))n的值分布,得到下面結論.

定理 1.8[18]設f(z)為平面內的超越亞純函數,a為非零復數,對任意的正整數n≥2,函數f(z)+a(f′(z))n取每一個有窮復數無窮多次.

在本文中,利用亞純函數的Nevanlinna值分布理論和技巧,進一步探討亞純函數的值分布,得到如下結論.

定理 1.9 設n和k都是正整數,f(z)為復平面上的超越亞純函數,φ(z)為f(z)的不恒為零的小函數,若k≤4時,

則φfnf(k)取每一個非零有窮復數無窮多次.

2 引理及其證明

引理 2.1 設f(z)為復平面上的超越亞純函數,φ(z)為f(z)不恒為零的小函數,則

3 定理1.9的證明

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The valued istribu tion of the m erom orphic function φ(z)fn(z)f(k)(z)

Jin Jin

(Departm ent of M athem atics and Com puter Science,Bijie University,Bijie 551700,China)

Let n and k be positive integer,f(z)be a transcendentalm erom orphic function in the com p lex p lane, andφ(z)be small function of not constant zero of f(z).Value distributions of atranscendentalmeromorphic functionφ(z)fn(z)f(k)(z)is discussed in this paper,and a new theorem is presented and proved in m ore details.

transcendentalm erom orphic function,Nevanlinna theory,value distribution

O174.52

A

1008-5513(2012)06-0711-08

2012-02-10.

貴州省科學技術基金(2012GZ10526);貴州省畢節地區科研基金([2011]02).

金瑾(1962-),教授,研究方向:復分析.

2010 M SC:30D35