強擬閉集與強擬連續

吳耀強

(宿遷學院教師教育系,江蘇 宿遷 223800)

強擬閉集與強擬連續

吳耀強

(宿遷學院教師教育系,江蘇 宿遷 223800)

利用半閉集引入強擬閉集概念,研究了半開集、強擬開集、強擬閉集概念之間的關系,得到了強擬閉集是連續閉映射下的不變量及其相關性質;最后給出強擬連續概念并得到其等價刻畫.

拓撲空間;半開集;強擬閉集;強擬連續

1 引言

自一般拓撲學產生以來,許多拓撲學者在開集這一概念的基礎上,引入了一些近似開集的概念,如Levine、Stone、Mashhour等先后分別引入半開集、正則開集、準開集等概念,研究半開集等近似開集理論已成為一般拓撲學中重要的專題,并且得到了一些好的結果.那么,我們能否采用半開集概念加以定義其它近似開集？回答是肯定的,同時這無疑是全新的研究方式.本文基于半開集定義了一種新的近似開集—強擬閉集,并由強擬閉集概念進一步引入了強擬開集、強擬連續等概念,得到許多有趣的結果.文中引入的這些概念的名稱可能在其他文獻中出現過,但它們的內涵卻不盡相同.

2 強擬閉集

本文中X是非空集合,(X,T)是拓撲空間,用T與F分別表示X的開集族與閉集族,若A?X,用A°和A-分別表示為A的內部和閉包,本文未申明的概念與記號均引自文獻[1-3].

定義2.1設(X,T)是拓撲空間,A,B?X,

(1)[1]如果存在開集U,使得U?A?U-,則稱A為半開集,以SO(X)表示半開集族;

(2)[2]若X-B∈SO(X),則稱B為半閉集,以SC(X)表示半閉集族.

注2.1文獻[2]給出半閉集的等價定義:設(X,T)是拓撲空間,B?X,

(1)X-B∈SC(X)?存在閉集F,使得F°?B?F;

(2)X-B∈SC(X)?B?B-°.

定義2.2設(X,T)是拓撲空間,C?X,如果存在半閉集B,使得B°-?C?B,則稱C為強擬閉集,以SPC(X)表示強擬閉集族.

定理2.1設(X,T)是拓撲空間,C?X,C∈SPC(X)?C?C-°-.

證明若C?C-°-,由定義2.2易得C∈SPC(X);反之,設C∈SPC(X),則存在半閉集B,使得B°-?C?B,又B∈SC(X),由注2.1知B?B-°,這樣B-°-=(B-°)°-?B°-,有C?B-°-,又由于B?C,易得B°-?C°-,故C?C-°-.

引理2.1[3]設(X,T)是拓撲空間,E?X,則E°′=E′-,E′°=E-′,E′表示E的余集.

注2.2(1)由引理2.1我們可以把強擬閉集的余集定義為強擬開集,則由B°-?C?B,可得B′?C′?(B°)-′=(B′)-°,即D為強擬開集當且僅當存在半開集A使得A?D?A-°,并以SPO(X)表示強擬開集族;

(2)顯然T?SPO(X)?SO(X);F?SPC(X)?SC(X);

(3)設(X,T)是拓撲空間,D?X,D∈SPO(X)?D?D°-°.

定理2.2設(X,T)是拓撲空間,{Cγ}γ∈Γ是X的一個強擬閉集族(其中指標集Γ非空),則∩γ∈ΓCγ為強擬閉;對偶地,若{Dγ}γ∈Γ是X的一個強擬開集族,則∪γ∈ΓDγ為強擬開.

證明由于任意γ∈Γ,Cγ∈SPC(X),則存在Bγ∈SC(X),使得B°-γ?Cγ?Bγ,進而∩γ∈ΓB°-γ?∩γ∈ΓCγ?∩γ∈ΓBγ,又∩γ∈ΓB°-γ?(∩γ∈ΓB°γ)-,且∩γ∈ΓB°γ?(∩γ∈ΓBγ)°,故

易知∩γ∈ΓBγ∈SC(X),從而∩γ∈ΓCγ∈SPC(X).

命題2.1設(X,T)是拓撲空間,C∈SPC(X),且C°-?E?C,則E∈SPC(X).

證明由于C∈SPC(X),根據注2.2知C?SC(X),使得C°-?E?C,有E∈SPC(X).

定理2.3設B={Bα}是拓撲空間(X,T)的一個子集族,滿足i)F?B;ii)若B∈B,且B°-?C?B,則C∈B.那么SPC(X)?B;且SPC(X)是滿足i)與ii)最小集族.

證明設E∈SPC(X),則存在半閉集F,使得F°-?E?F;又F∈SC(X),則存在閉集U,使得U°?F?U,可得U°-?F°-,故U°-?F°-?E?F?U,由i)得U∈B;再由ii)可得E∈B,所以SPC(X)?B.

假設A={Aα}為任意一個滿足i)與ii)的拓撲空間X的一個子集族,則有F?A,所以A包含了所有閉集;另外,設A∈SPC(X),則存在半閉集F,使得F°-?A?F;所以A∈A,即A包含了所有的強擬閉集.

定理2.4設Y是(X,T)的一個子空間,且C?Y?X,若C∈SPC(X),則C∈SPC(Y).

證明設C∈SPC(X),則存在半閉集B,使得B°-?C?B;且C?Y?X,這樣可得B°-∩Y?C∩Y=C?B∩Y;下證B∩Y為子空間Y中的半閉集.事實上,由于B是半閉集,則存在閉集F,使得F°-?B?F;進而F°∩Y?B∩Y?F∩Y;根據F°=F°(Y)∩Y°,(這里F°(Y)表示F在子空間Y中的內部,下同)即得(F∩Y)°(Y)?F°∩Y,所以(F∩Y)°(Y)?B∩Y?F∩Y,令U=F∩Y,顯然U為Y中的閉集,且U°(Y)?B∩Y?U,故B∩Y為子空間Y中的半閉集.

此外,由于B°-∩Y=(B°)-(Y),且B°=B)°(Y)∩Y°,則

進而(B∩Y)°(Y)-(Y)?C?B∩Y,由前知B∩Y為子空間Y中的半閉集,所以C∈SPC(Y).

注2.3定理2.4之逆不真.例如:令

取C=,顯然C°?Y?X,且C為Y中閉集,也為Y中強擬閉集,但C-°-={b,c}/?C,根據定理2.1可知C/∈SPC(Y).

命題2.2設(X,T)是拓撲空間,則有下列結論:(1)若F是閉集,則F-F°為X中無處稠密子集,即其閉包不含內點;(2)[2]若U是開集,則U-U為X中無處稠密子集;(3)若F是X中的無處稠密子集,則F′為X中的稠密子集.

證明(1)由于F-F°=F∩(F°)′,易知F與(F°)′均為X中的閉集,進而F-F°為X中的閉集,故(F-F°)-°=(F-F°)°=?;

(2)證明見文獻[2];

(3)由設知F-′-=X,則F-′為稠密子集,又F-′=F′°?F′,即F-′-?F′-,故F′-=X.

定理2.5設C是拓撲空間(X,T)的強擬閉集,則有下列結論:(1)存在集合F與U,使得C=F°-∪U,其中F與U滿足:①F∈F;②U為無處稠密子集;③C=F°-∩U=?. (2)存在集合F與T,使得C=F∩T,其中F與T滿足:①F∈F;②T為稠密子集;③F∪T=X.(3)存在集合F與S,使得C=F-S,其中F與S滿足:①F∈F;②S為無處稠密子集;③S?F.

證明由設知C∈SPC(X),則存在半閉集B,使得B°-?C?B;又B∈SC(X),則存在閉集F,使得F°?B?F,從而有F°-?B°-?C?B?F.(1)由于C=F°-∪(C-F°-),記U=C-F°-,則F°-∩U=?.下證U為X中無處稠密子集.事實上U?F-F°-?F-F°,由命題2.2(1)知F-F°為X中無處稠密子集,故U為X中無處稠密子集.

(2)由于C=F∩(C∪F′),記T=C∪F′,則F′?C′?F°-′?F°′?F′-.另外由于C′=F′∪(C′-F′),記V=C′-F′,可得V?F′--F′.由命題2.2(2)知F′--F′為X中無處稠密子集,故V為X中無處稠密子集.又由于V′=(C′-F′)′=C∪F′=T,于是根據命題2.2(3)即知T為X中稠密子集,且F∪T=F∪(C-F′)=F∪F′∪C=X.

(3)由于C=F-(F-C),記S=F-C,則S?F,且S?F-F°-?F-F°,由引理2.2(1)知F-F°為X中無處稠密子集,故S為X中無處稠密子集.

注2.4上述結論的逆不真.僅以結論(3)為例說明.

例設X是實數空間,C={x|0≤x≤2}-{1}.令F={x|0≤x≤2},S={1}為X中無處稠密子集,且S?F,即滿足定理2.5(3)的條件①、②、③,但是

根據定理2.1可知C/∈SPC(X).

定理2.6設(X1,T1),(X2,T2)是兩個拓撲空間,X1×X2為它們的拓撲積空間,若A1和A2分別為X1和X2上的強擬閉(開)集,則A1×A2是X1×X2上的強擬閉(開)集.

證明僅證強擬閉集情形.設Ai(i=1,2)分別為Xi(i=1,2)的強擬閉集,則存在Bi∈SC(Xi)(i=1,2),使得B°-i?Ai?Bi(i=1,2),則又Bi∈SC(Xi)(i=1,2),則存在Fi∈Fi(i=1,2),使得F°i?Bi?Fi(i=1,2),有

進而B1×B2為X1×X2上的半閉集,故A1×A2是X1×X2上的強擬閉集.

定理2.7設(X,TX),(Y,TY)拓是兩個拓撲空間,f:X→Y是連續閉映射,A?X,則有下列結論成立:(1)半閉集是連續閉映射下的不變量,即A是(X,TX)中半閉集,則f(A)是(Y,TY)中半閉集;(2)強擬閉集是連續閉映射下的不變量,即A是(X,TX)中強擬閉集,則f(A)是(Y,TY)中強擬閉集.

證明(1)由于A∈SC(X),則?F∈F,使得F°?A?F,故f(F°)?f(A)?f(F),由f連續,易得(f(F))°?f(A)?f(F),又f為閉映射,則f(F)∈FY,故f(A)∈SC(Y).

(2)由于A∈SPC(X),則?G∈SC(X),使得G°-?A?G,故f(G°-)?f(A)?f(G),由于f(G°)?f(G°-),有((f(G))°)-?(f(G°-))-,題設f為閉映射,則f(G°-)為閉集,即(f(G°-))-=f(G°-),這樣(f(G°))-?f(A)?f(G),又f連續,則(f(G))°?f(G°),,于是(f(G))°-?f(A)?f(G),由定理2.6(1)可知f(G)∈SC(Y),故f(A)∈SPC(Y).

注2.5定理1.7中條件”閉映射”不可省去,否則上述結論不成立.例如:設X是實數空間,令Y={a,b,c},TY={Y,φ,{a},{b,c}},定義映射f:X→Y,這里?x∈X,f(x)=b.這樣f([0,1])=,易驗證/∈SC(Y),/∈SPC(Y),顯然[0,1]是X中閉集,當然也是X中半閉集和強擬閉集.

3 強擬連續

定義3.1[3]設(X,TX),(Y,TY)拓是兩個拓撲空間,映射f:X→Y,如果對于Y中任何一個開集U的原像f-1(U)是X中的一個開集,則稱f是從X到Y一個連續映射.

定義3.2設(X,TX),(Y,TY)拓是兩個拓撲空間,映射f:X→Y,如果對于Y中任何一個閉集F的原像f-1(F)是X中的一個強擬閉集,則稱f是從X到Y一個強擬連續映射.

注3.5顯然f是從X到Y一個連續映射,則f也是一個強擬連續映射.反之未必一定成立.例如:設X=Y=[0,2],定義映射f(x)=2(0≤x≤1),f(x)=0(1≤x≤2),易驗證f在[0,2]上為強擬連續映射,顯然f在[0,2]上不為連續映射.

定理3.1設(X,TX)與(Y,TY)是兩個拓撲空間,映射f:X→Y,f是強擬連續映射?對于Y中任何一個強擬開集O,f-1(O)是X中強擬開集.

證明設O是Y中任意一個開集,令F=O′,則F是Y中一個閉集,由于f是強擬連續映射,由定義3.2知,f-1(F)是X中的一個強擬閉集,根據引理2.1注2(1)知(f-1(F))′是X中的一個強擬開集;又f-1(O)=f-1(F′)=(f-1(F))′,故f-1(O)是X中強擬開集.

反之,設F是Y中任意一個閉集,令O=F′,則O是Y中一個開集,由設可得f-1(O)是X中強擬開集,根據引理2.1注2(1)知(f-1(O))′是X中的一個強擬閉集;又

從而f-1(F)是X中強擬閉集,故f是強擬連續映射.

定理3.2設(X,TX)與(Y,TY)是兩個拓撲空間,映射f:X→Y,f是強擬連續映射?對于Y中任何一個開集V,f(p)∈V,存在X中強擬開集B,使得p∈B,f(B)?V.

證明設V是Y中任意一個開集,由于f是強擬連續映射,根據定理3.1知f-1(V)是X中強擬開集.任取令f(p)∈V,則p∈(f-1V),令B=f-1(V),則

反之,設V是Y中任意一個開集,p∈(f-1V),則f(p)∈V,故存在一個強擬開集Bp,使得p∈Bp,f(Bp)?V,這樣Bp?f-1(f(Bp))?f-1(V),故f-1(V)=∪p∈f-1(V)Bp,由定理2.2可知f-1(V)為X的一個強擬開集,根據定理3.1知f為是一個強擬連續映射.

定理3.3設(Xi,TXi)與(Yi,TYi)(i=1,2)是兩個拓撲空間,映射fi:Xi→Yi(i=1,2)是強擬連續映射,令f:X1×X2→Y1×Y2,這里f(x1,x2)=(f(x1),f(x2)),則f是強擬連續映射.

根據定理2.6知f-1(V1×V2)為X1×X2的強擬開集.設V是Y1×Y2任意一個開集,由上易知f-1(V)=f-1(∪Bp)=∪f-1(Bp),這里Bp是形如V1×V2的強擬開集,由定理2.2可知f-1(V)為X的一個強擬開集,根據定理3.1知f是一個強擬連續映射.

[1] Levine N. Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces[J]. Amer. Math. Monthly, 1963,70(1):36-41.

[2] Crossley S G, Hildebrand S K. Semi-closure[J]. Texas J. Sci., 1971,22(2/3):99-112.

[3]熊金誠.點集拓撲講義[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.

[4]吳耀強.基于半開集的強擬開集運算與性質[J].吉林師范大學學報:自然科學版,2010,31(2):59-62.

Strongly quasi -closed sets and strongly quasi-continuous

Wu Yaoqiang

(Department of Teachers Education, Suqian College, Suqian 223800, China)

First,the concept of strongly quasi-closed sets was introduced by sem i-closed sets,the connections among sem i-open sets,strongly quasi-open sets and strong quasi-closed sets were discussed.Furthermore,the conclusion which strongly quasi-closed setswere invariant under the continuous closed mapping was obtained, some resu lts of strongly quasi-closed setswere given through further research.Finally,the concep t of strongly quasi-continuousm app ing was introduced,then its characterizing theorem was proved.

topological space, semi-open sets, strongly quasi-closed sets, strongly quasi-continuous mapping

O189.11

A

1008-5513(2012)02-0181-05

2010-11-10.

吳耀強(1973-),碩士,副教授,研究方向:拓撲學.

2010 MSC:54A 05