擬線性熱方程的函數分離變量解

婁丹,謝離麗

(西北大學數學系,陜西 西安 710069)

擬線性熱方程的函數分離變量解

婁丹,謝離麗

(西北大學數學系,陜西 西安 710069)

用群狀結構法研究擬線性熱方程的分離變量解,對于允許和型分離變量解的二階擬線性熱方程給出了一個完整的分類.說明了一些帶有函數類型反應項的方程具有函數分離變量解,推廣了前人的結論.

函數分離變量解;群狀結構法;擬線性熱方程

1 引言

本文研究帶有反應項的擬線性熱方程

的函數分離變量解,其中K(u),D(u)均為足夠光滑的函數.分離變量法是用來解決數學物理中的帶有初邊值條件偏微分方程的有效方法.李點對稱的方法[1]在帶有變系數的線性偏微分方程的分離變量解的研究中扮演了十分重要的作用[2].對非線性的偏微分方程而言,一個自然的問題就是它們是否存在分離變量解.因此,研究非線性偏微分方程的分離變量解是有意義的.例如文獻[3]對帶有熱源項的非線性反應-擴散方程

的函數分離變量解作了具體的研究.

對于(n+1)維非線性偏微分方程:

這里u=u(x,t),x=x(x1,x2,…).

如果方程(2)有形如u=φ(x)+ψ(t)的解,稱之為和形式的分離變量解;如果方程(2)有形如u=φ(x)ψ(t)的解,則稱之為乘積形式分離變量解.

如果方程(2)有形如f(u)=φ(x)+ψ(t)的解,這里f(u)/=u,f(u)/=ln u,稱之為函數分離變量解.研究表明許多非線性偏微分方程有函數分離變量解.

文獻[3-5]中分別研究了方程:

的函數分離變量解.

下面將討論帶有反應項的擬線性熱方程(1)的函數分離變量解.

2 群狀結構法

3 擬線性熱方程的函數分離變量解

4 結論

本文利用群狀結構法討論了擬線性熱方程的函數分離變量解問題.結論是對于某些具有函數類型反應項的方程,能得到函數分離變量解.

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Functional separable solutions to quasi-linear heat equation

Lou Dan,X ie Lili
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710069,China)

In this paper, we considered the separable solutions to the quasi-linear heat equation with the group foliation method. A classification was carried out for the second order heat equations which admit additive separable solutions. The result is an extension of some known conclusions about the functional separation of variable solutions.

functional separable solution, group foliation method, quasi-linear heat equation

O175.2

A

1008-5513(2012)02-0242-05

2011-05-20.

國家自然科學基金(10671156).

婁丹(1985-),碩士生,研究方向:偏微分方程.

2010 MSC:38Q80