基于ARMA的高精度GPS多普勒估計

楊曉波

（石家莊職業技術學院電子工程系 河北 石家莊 050081）

0 引言

GPS接收機在冷啟動的情況下，對于接收機要進行碼相位和載波多普勒的二維搜索，當對于衛星軌道沒有任何先驗知識的情況下，這個搜索范圍是很大的，例如，對于地面靜止的GPS接收機，不確定的多普勒范圍是±5kHz[1]，對于積分時間為1ms的傳統接收機，多普勒分為21個500Hz的頻率單元，500Hz對于PLL帶寬來說多普勒估計太過粗糙[2]，在一些接收機中，以FLL輔助PLL，先以帶寬較大的FLL將載波頻率估計鎖定到PLL的捕捉頻率范圍，然后由FLL傳遞到PLL跟蹤，但是由于FLL帶寬較大，達到鎖定狀態需要40ms到50ms，為了改善這一情況，文獻[2]提出對解擴后的信號利用FFT來估計載波多普勒，由于FFT分辨率受到信號長度的限制，也不能取得很好的效果。例如，在5MHz的采樣率下，1ms數據采樣點為5000個，只能達到1kHz的分辨率，要達到100Hz的分辨率需要10ms數據，50000個采樣點，這樣不但計算量增大同時需要大的存儲空間。文獻[3]提出提高多普勒頻率估計的分辨率的方法，將多普勒搜索單元設窄一些如250Hz、125Hz，但該方法會加大搜索空間，并且非常耗時。

本文在研究GPS信號特點的基礎上，提出利用諧波恢復的ARMA建模法[4]對載波多普勒進行估計，仿真結果表明該方法可以得到非常穩定和精確的多普勒頻率估計。高分辨率的多普勒估計不但可以縮短從捕獲到穩定跟蹤的時間，同時可將跟蹤環路的帶寬設計的較窄以達到較好的抗干擾的目的。

1 GPS信號模型

接收機接收到的信號模型為：

其中

M：可見衛星個數

Di：電文

Pi：偽隨機碼

ωi：GPS信號載波頻率加多普勒頻率

τi：信號延遲

φi：載波初始相位

N（t）：加性高斯白噪聲

如果第j個信號被捕獲，則解擴后的信號模型為：

上式等號右邊第二項中Rij為第j個偽隨機碼和第i個偽隨機碼的互相關，研究表明互相關部分最大可能功率為-21dB[5]，第三項為偽隨機碼和加性白噪聲的相關。這兩部分可以看作高斯白噪聲，第一項為載波部分，其中載波相位φj是[-π，π]之間均勻分布的隨機數。所以，解擴后的信號可以認為是平穩諧波過程與高斯白噪聲的和，這樣的觀測信號，可以利用諧波恢復的ARMA建模法對載波的多普勒頻率進行高分辨率的估計[6]。

當諧波信號在加性白噪聲中被觀測時，觀測過程是一個特殊的隨機過程，它的AR參數和MA參數完全相同，這一特殊的ARMA過程所服從的法方程為：

與修正的Yule-Walker方程類似，該方程可以構造超定的方程組，并使用SVD-TLS[6]算法求解。

具體算法：

式中 pe＞2p，并且 M>>p；

步驟2 將矩陣Re當作增廣矩陣，利用算法SVD-TLS確定AR的階數2p和系數向量a的總體最小二乘估計；

步驟3 計算特征多項式

的共軛根 (zi，)，其中 i=1，…，p；

步驟 4 利用 fi＝arctan[Im（zi）/Re（zi）]/2π 計算載波的頻率。

表1 本文采用的算法中奇異值分解特征值矩陣

2 諧波恢復的ARMA建模法

諧波恢復ARMA建模法由于使用了奇異值分解和總體最小二乘方法，整個計算具有好的數值穩定性，而且AR階數和參數估計具有非常高的精確度。

圖1 本文方法估計載波多普勒仿真圖

表2 頻率估計RMS

3 仿真結果

本文利用MATLAB仿真，載波多普勒頻率設為200.3kHz，仿真數據1ms，采樣頻率5MHz，由于估計的諧波頻率只有 1個，所以 p=1，取 M=12，pe=10，當然也可以取其它值，只要滿足擴展階自相關矩陣的要求即可。表1為信噪比23dB時的奇異值分解特征矩陣，可以看出主要特征值2個，所以需要確定的AR階數為2，諧波的個數即為1。

圖1為20次仿真的譜估計圖，可以看出每次的估計結果非常穩定，精確。

表2為仿真進行50次的頻率均方誤差和FFT的比較，由于FFT的頻率分辨率對于1kHz的數據長度為1ms，其輸出頻率為1kHz的整數倍，所以其誤差不隨信噪比變化，為 300Hz。

另外，研究表明在MATLAB仿真環境下，對于1ms的積分時間，21個500Hz頻率單元，需要125 e6次浮點運算，FLL若50ms達到穩定（頻率牽引到20Hz內）需要40 e6次浮點運算，而本文采用的頻譜估計方法學要20 e6次浮點運算，可見，采用高分辨率的載波多普勒估計可以大大減少從捕獲到跟蹤的時間。

4 結論

以上研究表明，對于解擴后的GPS信號，視為平穩隨機過程和高斯白噪聲的和，通過諧波恢復的ARMA模型法，對GPS多普勒進行高分辨率估計是完全可行的，可以取得非常滿意的精度，以及穩定的結果，而且計算量也相對小得多，這對于減少GPS接收機從捕獲到跟蹤的時間，同時降低跟蹤環路帶寬以提高GPS接收機抗干擾能力是非常有意義的。

［1］Kaplan,E.Understanding GPS:Principles and Applications,Artech House,1996.

［2］Tsui,J.Fundamentals of Global Positioning System Receivers:A Software Approach.Wiley Inter-Science,2000.

［3］Lin,D.,Tsui,J.Comparison of Acquisition Methodes for Software GPS Receiver.Proceedings of ION:2385-2391,September,2000.

［4］Zhang X D,Takeda H.An approach to time series analysis and ARMA spectralestimation.IEEE Trans.Acoust.,Speech,Signal Processing,1987,35:1303-1313.

［5］Parkinson,B.,et al.(editors).Global Poisitioning System.Volume Ⅰ.American Institute of Astronautics and Aeronautics,1996.

［6］張賢達.現代信號處理[M].2版.北京:清華大學出版社,2003.